Bargmann-Wigner-Gleichungen - Bargmann–Wigner equations
- Dieser Artikel verwendet die Einstein-Summationskonvention für Tensor- / Spinor- Indizes und verwendet Hüte für Quantenoperatoren .
Quantenfeldtheorie |
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Geschichte |
In relativistischer Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie , die Bargmann-Wigner Gleichungen beschreiben freie Teilchen beliebiger Spin j eine ganze Zahl für Bosonen ( j = 1, 2, 3 ... ) oder halbzahligen für Fermionen ( j = 1 / 2 , 3 / 2 , 5 / 2 ... ). Die Lösungen der Gleichungen sind Wellenfunktionen , mathematisch in Form von Mehrkomponenten- Spinorfeldern .
Sie sind nach Valentin Bargmann und Eugene Wigner benannt .
Geschichte
Paul Dirac veröffentlichte die Dirac-Gleichung erstmals 1928 und erweiterte sie später (1936) auf Teilchen mit einem halbzahligen Spin, bevor Fierz und Pauli 1939 die gleichen Gleichungen fanden, und etwa ein Jahrzehnt vor Bargman und Wigner. Eugene Wigner schrieb 1937 eine Arbeit über einheitliche Darstellungen der inhomogenen Lorentz-Gruppe oder der Poincaré-Gruppe . Wigner merkt an, dass Ettore Majorana und Dirac infinitesimale Operatoren verwendet haben, die auf Funktionen angewendet wurden. Wigner klassifiziert Repräsentationen als irreduzibel, faktoriell und unitär.
1948 veröffentlichten Valentine Bargmann und Wigner die nun nach ihnen benannten Gleichungen in einem Aufsatz über eine gruppentheoretische Diskussion relativistischer Wellengleichungen.
Aussage der Gleichungen
Für ein freies Teilchen mit Spin j ohne elektrische Ladung sind die BW-Gleichungen ein Satz von 2 j gekoppelten linearen partiellen Differentialgleichungen , jede mit einer ähnlichen mathematischen Form wie die Dirac-Gleichung . Der vollständige Satz von Gleichungen ist
die dem Muster folgen;
-
( 1 )
für r = 1, 2, ... 2 j . (Einige Autoren, zB Loide und Saar verwenden n = 2 j , um Faktoren von 2 zu entfernen. Auch die Spinquantenzahl wird in der Quantenmechanik normalerweise mit s bezeichnet , jedoch ist in diesem Zusammenhang j in der Literatur typischer). Die gesamte Wellenfunktion ψ = ψ ( r , t ) hat Komponenten
und ist ein Rang-2 j 4-Komponenten- Spinorfeld . Jeder Index nimmt die Werte 1, 2, 3 oder 4 an, es gibt also 4 2 j Komponenten des gesamten Spinorfeldes ψ , obwohl eine vollständig symmetrische Wellenfunktion die Anzahl der unabhängigen Komponenten auf 2(2 j + 1) reduziert . Weiterhin sind γ μ = (γ 0 , γ ) die Gammamatrizen , und
ist der 4-Impulsoperator .
Der Operator, der jede Gleichung bildet, (−γ μ P μ + mc ) = (− iħ γ μ ∂ μ + mc ) , ist wegen der γ μ- Matrizen eine 4 × 4- Matrix , und der mc- Term multipliziert die 4 × 4 Identitätsmatrix (normalerweise der Einfachheit halber nicht geschrieben). Explizit in der Dirac-Darstellung der Gammamatrizen :
wobei σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ x , σ y , σ z ) ein Vektor der Pauli-Matrizen ist , E der Energieoperator ist , p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) ist der 3-Impuls-Operator , I 2 bezeichnet die 2 × 2 Identitätsmatrix , die Nullstellen (in der zweiten Zeile) sind eigentlich 2 × 2 Blöcke von Nullmatrizen .
Der obige Matrixoperator kontrahiert mit jeweils einem Bispinor-Index von ψ (siehe Matrixmultiplikation ), daher gelten einige Eigenschaften der Dirac-Gleichung auch für die BW-Gleichungen:
- die Gleichungen sind Lorentz-kovariant,
- alle Komponenten der Lösungen ψ erfüllen auch die Klein-Gordon-Gleichung und damit die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ,
- eine zweite Quantisierung ist noch möglich.
Im Gegensatz zur Dirac-Gleichung, die das elektromagnetische Feld über minimale Kopplung einbeziehen kann, enthält der B-W-Formalismus intrinsische Widersprüche und Schwierigkeiten, wenn die Wechselwirkung des elektromagnetischen Felds berücksichtigt wird. Mit anderen Worten, es ist nicht möglich, die Änderung P μ → P μ − eA μ vorzunehmen , wobei e die elektrische Ladung des Teilchens und A μ = ( A 0 , A ) das elektromagnetische Viererpotential ist . Ein indirekter Ansatz zur Untersuchung elektromagnetischer Einflüsse des Teilchens besteht darin, die elektromagnetischen Vierströme und Multipolmomente für das Teilchen abzuleiten , anstatt die Wechselwirkungen in die Wellengleichungen selbst einzubeziehen.
Struktur der Lorentz-Gruppe
Die Darstellung der Lorentzgruppe für die BW-Gleichungen ist
wobei jedes D r eine irreduzible Darstellung ist. Diese Darstellung hat keinen bestimmten Spin, es sei denn, j ist gleich 1/2 oder 0. Man kann eine Clebsch-Gordan-Zerlegung durchführen , um die irreduziblen ( A , B ) Terme und damit den Spingehalt zu finden. Diese Redundanz erfordert, dass ein Teilchen mit definiertem Spin j , das sich unter der D BW- Darstellung transformiert, Feldgleichungen erfüllt.
Die Darstellungen D ( j , 0) und D (0, j ) können jeweils separat Teilchen des Spins j darstellen . Ein Zustands- oder Quantenfeld in einer solchen Darstellung würde keine Feldgleichung außer der Klein-Gordon-Gleichung erfüllen.
Formulierung in gekrümmter Raumzeit
Nach M. Kenmoku erfüllen die Gammamatrizen im lokalen Minkowski-Raum die Antikommutierungsrelationen :
wobei η ij = diag(−1, 1, 1, 1) die Minkowski-Metrik ist . Für die lateinischen Indizes hier i, j = 0, 1, 2, 3 . In der gekrümmten Raumzeit sind sie ähnlich:
wobei die räumlichen Gammamatrizen mit dem Vierbein b i μ kontrahiert werden , um γ μ = b i μ γ i zu erhalten , und g μν = b i μ b i ν der metrische Tensor ist . Für die griechischen Indizes; μ, = 0, 1, 2, 3 .
Eine kovariante Ableitung für Spinoren ist gegeben durch
mit der Verbindung Ω gegeben durch die Spinverbindung ω durch:
Die kovariante Ableitung transformiert sich wie ψ :
Mit diesem Setup wird Gleichung ( 1 ) zu:
Siehe auch
- Zweikörper-Dirac-Gleichung
- Verallgemeinerungen von Pauli-Matrizen
- Wigner D-Matrix
- Weyl-Brauer-Matrizen
- Höherdimensionale Gammamatrizen
- Joos-Weinberg-Gleichung , alternative Gleichungen, die freie Teilchen jeden Spins beschreiben
- Theorie des höheren Spins
Verweise
Anmerkungen
Weiterlesen
Bücher
- Weinberg, S, Die Quantentheorie der Felder, Bd. II
- Weinberg, S, Die Quantentheorie der Felder, Bd. III
- R. Penrose (2007). Der Weg zur Realität . Vintage-Bücher. ISBN 978-0-679-77631-4.
Ausgewählte Papiere
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Externe Links
Relativistische Wellengleichungen :
- Dirac-Matrizen in höheren Dimensionen , Wolfram Demonstrations Project
- Informationen zu Spin-1-Feldern , P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico
- Feldgleichungen für masselose Bosonen aus einem Dirac-Weinberg-Formalismus , RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics
- Quantenfeldtheorie I , Martin Mojžiš
- Die Bargmann-Wigner-Gleichung: Feldgleichung für willkürlichen Spin , FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Teheran, Iran
Lorentz-Gruppen in der relativistischen Quantenphysik:
- Vertretungen der Lorentz Group , indiana.edu
- Anhang C: Lorentz-Gruppe und die Dirac-Algebra , mcgill.ca
- The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics , DE Soper, University of Oregon, 2011
- Vertretungen der Lorentz- und Poincaré-Gruppen , J. Maciejko, Stanford University
- Darstellungen der Symmetry Group of Spacetime , K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009