Kreisbahn - Circular orbit

Teil einer Serie über
Astrodynamik
Orbitalmechanik
Orbitale Elemente
Arten von Zweikörperbahnen nach Exzentrizität
Gleichungen
Himmelsmechanik
Gravitationseinflüsse
N-Körper-Bahnen
Technik und Effizienz
Preflight-Engineering
Effizienzmaßnahmen
v T e

Im oberen linken Quadranten dieses Diagramms ist eine Kreisbahn dargestellt, wobei der Gravitationspotentialtopf der Zentralmasse die potentielle Energie und die kinetische Energie der Bahngeschwindigkeit rot dargestellt ist. Die Höhe der kinetischen Energie bleibt während der Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit konstant.

Oben im Diagramm startet ein Satellit auf einer Kreisbahn im Uhrzeigersinn (gelber Fleck) Objekte mit vernachlässigbarer Masse:
(1 - blau) zur Erde,
(2 - rot) von der Erde weg,
(3 - grau) in Richtung Fahrtrichtung und
(4 - schwarz) entgegen der Fahrtrichtung.

Gestrichelte Ellipsen sind Bahnen relativ zur Erde. Durchgezogene Kurven sind Störungen relativ zum Satelliten: In einer Umlaufbahn kehren (1) und (2) zum Satelliten zurück, nachdem sie auf beiden Seiten des Satelliten eine Schleife im Uhrzeigersinn gemacht haben. Ohne Intuition dreht sich (3) immer weiter nach hinten, während (4) nach vorne wirbelt.

Eine Kreisbahn ist eine Bahn mit einem festen Abstand um den Schwerpunkt ; das heißt, in Form eines Kreises .

Unten aufgeführt ist eine Kreisbahn in der Astrodynamik oder Himmelsmechanik unter Standardannahmen. Hier ist die Zentripetalkraft die Gravitationskraft , und die oben erwähnte Achse ist die Linie durch den Mittelpunkt der Zentralmasse senkrecht zur Bewegungsebene.

Dabei sind nicht nur der Abstand, sondern auch Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit , potentielle und kinetische Energie konstant. Es gibt keine Periapsis oder Apoapsis. Diese Umlaufbahn hat keine radiale Version.

Kreisbeschleunigung

Querbeschleunigung ( senkrecht zur Geschwindigkeit) bewirkt Richtungsänderung. Ist sie betragsmäßig konstant und ändert sich ihre Richtung mit der Geschwindigkeit, so kommt es zu einer Kreisbewegung . Aus zwei Ableitungen der Teilchenkoordinaten nach der Zeit ergibt sich die Zentripetalbeschleunigung

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

wo:

• ${\displaystyle v\,}$ist die Umlaufgeschwindigkeit des umkreisenden Körpers,
• ${\displaystyle r\,}$ist der Radius des Kreises
• ${\displaystyle \omega\}$ist die Winkelgeschwindigkeit , gemessen in Radiant pro Zeiteinheit.

Die Formel ist dimensionslos und beschreibt ein Verhältnis, das für alle Maßeinheiten gilt, die einheitlich auf die Formel angewendet werden. Wenn der Zahlenwert von in Metern pro Sekunde pro Sekunde gemessen wird, werden die Zahlenwerte für in Meter pro Sekunde, in Metern und in Radiant pro Sekunde angegeben. ${\displaystyle\mathbf{a}}$${\displaystyle v\,}$${\displaystyle r\,}$${\displaystyle \omega\}$

Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit (oder der Betrag der Geschwindigkeit) relativ zum zentralen Objekt ist konstant:

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over{r}}}={\sqrt {\mu\over{r}}}}$

wo:

• ${\displaystyle G}$, ist die Gravitationskonstante
• ${\displaystyle M}$, ist die Masse beider umlaufender Körper , obwohl in der gängigen Praxis die kleinere Masse oft vernachlässigt wird, wenn die größere Masse deutlich größer ist, mit minimaler Änderung des Ergebnisses.${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$, ist der Standard-Gravitationsparameter .

Bewegungsgleichung

Die Umlaufbahn Gleichung in Polarkoordinaten, die im allgemeinen gibt r in Bezug auf θ , reduziert sich auf:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu}}}$

wo:

• ${\displaystyle h=rv}$ist der spezifische Drehimpuls des umkreisenden Körpers.

Das ist weil ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

Winkelgeschwindigkeit und Umlaufzeit

${\displaystyle \omega^{2}r^{3}=\mu}$

Daher kann die Umlaufzeit ( ) wie folgt berechnet werden: ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu}}}}$

Vergleichen Sie zwei proportionale Größen, die freie Fallzeit (Zeit, um aus der Ruhe auf eine Punktmasse zu fallen)

${\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu}}}}$ (17,7% der Umlaufzeit in einer Kreisbahn)

und die Zeit, um auf einen Massenpunkt in einer radialen parabolischen Bahn zu fallen

${\displaystyle T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu}}}}$ (7,5% der Umlaufzeit in einer Kreisbahn)

Dass sich die Formeln nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, ist aus der Dimensionsanalyse von vornherein klar .

Energie

Die spezifische Bahnenergie ( ) ist negativ, und ${\displaystyle \epsilon\,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu\over {2r}}}$

Somit gilt der Virialsatz auch ohne Zeitmittelwert:

• die kinetische Energie des Systems ist gleich dem Absolutwert der Gesamtenergie
• die potentielle Energie des Systems ist gleich der doppelten Gesamtenergie

Die Fluchtgeschwindigkeit aus jeder Entfernung beträgt √ 2- mal die Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn in dieser Entfernung: die kinetische Energie ist doppelt so hoch, daher ist die Gesamtenergie null.

Delta-v, um eine kreisförmige Umlaufbahn zu erreichen

Das Manövrieren in eine große Kreisbahn, zB eine geostationäre Umlaufbahn , erfordert ein größeres Delta-v als eine Fluchtbahn , obwohl letzteres bedeutet, dass man sich beliebig weit entfernen und mehr Energie haben muss, als für die Umlaufgeschwindigkeit der Kreisbahn benötigt wird. Es geht auch darum, in die Umlaufbahn zu manövrieren. Siehe auch Hohmann-Transferbahn .

Bahngeschwindigkeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der Schwarzschild-Metrik wird die Bahngeschwindigkeit für eine Kreisbahn mit Radius durch die folgende Formel angegeben: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

wo ist der Schwarzschildradius des Zentralkörpers. ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Ableitung

Der Einfachheit halber wird die Ableitung in Einheiten geschrieben, in denen . ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

Die Vierergeschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn ist gegeben durch:

${\displaystyle u^{\mu}=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi}})}$

( ist auf einer Kreisbahn konstant, und die Koordinaten können so gewählt werden, dass ). Der Punkt über einer Variablen bezeichnet die Ableitung nach der Eigenzeit . ${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

Für ein massives Teilchen erfüllen die Komponenten der Vierergeschwindigkeit die folgende Gleichung:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi}}^{2} =1}$

Wir verwenden die geodätische Gleichung:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu}+\Gamma_{\nu\sigma}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^ {\sigma}=0}$

Die einzige nichttriviale Gleichung ist die für . Es gibt: ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left (1-{\frac{2M}{r}}\right){\dot {\phi}}^{2}=0}$

Daraus erhalten wir:

${\displaystyle {\dot {\phi}}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

Setzt man dies in die Gleichung für ein massives Teilchen ein, erhält man:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}} ^{2}=1}$

Somit:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Angenommen, wir haben einen Beobachter mit Radius , der sich nicht in Bezug auf den Zentralkörper bewegt, dh seine Vierergeschwindigkeit ist proportional zum Vektor . Die Normierungsbedingung impliziert, dass sie gleich ist: ${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \partial_{t}}$

${\displaystyle v^{\mu}=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

Das Skalarprodukt der vier Geschwindigkeiten des Beobachters und des umlaufenden Körpers ist gleich dem Gammafaktor für den umlaufenden Körper relativ zum Beobachter, also:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu\nu}u^{\mu}v^{\nu}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

Oder in SI-Einheiten:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

Siehe auch

• Elliptische Umlaufbahn
• Liste der Umlaufbahnen
• Zweikörperproblem

Verweise