Kontinuierliche lineare Ausdehnung - Continuous linear extension

In der Funktionsanalyse ist es häufig zweckmäßig, eine lineare Transformation in einem vollständigen , normierten Vektorraum zu definieren , indem zuerst eine lineare Transformation in einer dichten Teilmenge von definiert wird und sich dann über den folgenden Satz auf den gesamten Raum erstreckt . Die resultierende Erweiterung bleibt linear und begrenzt (also kontinuierlich ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$

Dieses Verfahren ist als kontinuierliche lineare Ausdehnung bekannt .

Satz

Jede begrenzte lineare Transformation von einem normierten Vektorraum zu einem vollständigen normierten Vektorraum kann von der Fertigstellung von bis eindeutig zu einer begrenzten linearen Transformation erweitert werden . Darüber hinaus ist die Operatornorm von ist genau dann , wenn die Norm heißt . ${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ tilde {\ mathsf {T}}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathsf {T}}}}$${\ displaystyle c}$

Dieser Satz wird manchmal als B L T -Satz für eine begrenzte lineare Transformation bezeichnet .

Anwendung

Betrachten Sie zum Beispiel die Definition des Riemannschen Integrals . Eine Sprungfunktion in einem geschlossenen Intervall ist eine Funktion der Form: Wo sind reelle Zahlen und bezeichnet die Indikatorfunktion des Satzes . Der durch die Norm normierte Raum aller Schrittfunktionen (siehe Lp-Raum ) ist ein normierter Vektorraum, den wir bezeichnen . Definieren Sie das Integral einer Schrittfunktion durch : . als Funktion ist eine begrenzte lineare Transformation von in . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle f \ equiv r_ {1} {\ mathit {1}} _ {[a, x_ {1})} + r_ {2} {\ mathit {1}} _ {[x_ {1}, x_ { 2})} + \ cdots + r_ {n} {\ mathit {1}} _ {[x_ {n-1}, b]}}$${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}$${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ ldots <x_ {n-1} <x_ {n} = b}$${\ displaystyle {\ mathit {1}} _ {S}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {I}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} {\ mathit {1}} _ {[x_ {i-1}, x_ {i} )} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1})}$${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Lassen Sie bezeichnen den Raum begrenzt, abschnittsweise stetigen Funktionen auf , die von der rechten Seite durchgängig sind, zusammen mit der Norm. Der Raum ist dicht , daher können wir den BLT-Satz anwenden, um die lineare Transformation auf eine begrenzte lineare Transformation von bis zu erweitern . Dies definiert das Riemannsche Integral aller Funktionen in ; für jeden , . ${\ displaystyle {\ mathcal {PC}}}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {PC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ mathsf {I}}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {PC}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {PC}}}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {PC}}}$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = {\ tilde {\ mathsf {I}}} (f)}$

Der Hahn-Banach-Satz

Der obige Satz kann verwendet werden, um eine begrenzte lineare Transformation auf eine begrenzte lineare Transformation von bis zu erweitern , wenn sie dicht ist . Wenn es nicht dicht ist , kann das Hahn-Banach-Theorem manchmal verwendet werden, um zu zeigen, dass eine Erweiterung existiert . Die Erweiterung ist jedoch möglicherweise nicht eindeutig. ${\ displaystyle T: S \ rightarrow Y}$${\ displaystyle {\ bar {S}} = X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

Verweise

• Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics. 1: Funktionsanalyse . San Diego: Akademische Presse. ISBN 0-12-585050-6.

Fußnoten