Schnittpunkt - Cut-point

Der "Hals" dieser achtähnlichen Figur ist ein Schnittpunkt.

In der Topologie ist ein Schnittpunkt ein Punkt eines verbundenen Raums, so dass durch seine Entfernung der resultierende Raum getrennt wird. Wenn das Entfernen eines Punkts nicht zu getrennten Leerzeichen führt, wird dieser Punkt als nicht geschnittener Punkt bezeichnet .

Beispielsweise ist jeder Punkt einer Linie ein Schnittpunkt, während kein Punkt eines Kreises ein Schnittpunkt ist.

Schnittpunkte sind nützlich, um zu bestimmen, ob zwei verbundene Räume homöomorph sind, indem die Anzahl der Schnittpunkte in jedem Raum gezählt wird. Wenn zwei Räume eine unterschiedliche Anzahl von Schnittpunkten haben, sind sie nicht homöomorph. Ein klassisches Beispiel ist die Verwendung von Schnittpunkten, um zu zeigen, dass Linien und Kreise nicht homöomorph sind.

Schnittpunkte sind auch nützlich bei der Charakterisierung topologischer Kontinua , einer Klasse von Räumen, die die Eigenschaften von Kompaktheit und Verbundenheit kombinieren und viele bekannte Räume wie das Einheitsintervall , den Kreis und den Torus umfassen .

Definition

Formale Definitionen

Eine Linie (geschlossenes Intervall) hat unendlich viele Schnittpunkte zwischen zwei Endpunkten. Ein Kreis hat keinen Schnittpunkt. Da sie eine unterschiedliche Anzahl von Schnittpunkten haben, sind Linien nicht homöomorph zu Kreisen

Ein Schnittpunkt eines verbundenen T ₁ -Topologieraums X ist ein Punkt p in X, so dass X - { p } nicht verbunden ist. Ein Punkt, der kein Schnittpunkt ist, wird als Nichtschnittpunkt bezeichnet .

Ein nicht leerer verbundener topologischer Raum X ist ein Schnittpunktraum, wenn jeder Punkt in X ein Schnittpunkt von X ist.

Grundlegende Beispiele

• Ein geschlossenes Intervall [a, b] hat unendlich viele Schnittpunkte. Alle Punkte mit Ausnahme der Endpunkte sind Schnittpunkte und die Endpunkte {a, b} sind nicht geschnittene Punkte.
• Ein offenes Intervall (a, b) hat auch unendlich viele Schnittpunkte wie geschlossene Intervalle. Da offene Intervalle keine Endpunkte haben, gibt es keine nicht geschnittenen Punkte.
• Ein Kreis hat keine Schnittpunkte und daraus folgt, dass jeder Punkt eines Kreises ein nicht geschnittener Punkt ist.

Notationen

• Ein Schnitt von X ist eine Menge {p, U, V}, wobei p ein Schnittpunkt von X ist, U und V eine Trennung von X- {p} bilden.
• Kann auch als X \ {p} = U | V geschrieben werden.

Theoreme

Schnittpunkte und Homöomorphismen

• Schnittpunkte bleiben bei kontinuierlichen Funktionen nicht unbedingt erhalten . Zum Beispiel: f : [0, 2 π ] → R ² , gegeben durch f ( x ) = (cos x , sin x ). Jeder Punkt des Intervalls (mit Ausnahme der beiden Endpunkte) ist ein Schnittpunkt, aber f (x) bildet einen Kreis ohne Schnittpunkte.
• Schnittpunkte bleiben unter Homöomorphismen erhalten. Daher ist der Schnittpunkt eine topologische Invariante .

Schnittpunkte und Kontinua

• Jedes Kontinuum (kompakt verbundener Hausdorff-Raum ) mit mehr als einem Punkt hat mindestens zwei nicht geschnittene Punkte. Insbesondere enthält jeder offene Satz, der eine Trennung des resultierenden Raums bildet, mindestens einen nicht geschnittenen Punkt.
• Jedes Kontinuum mit genau zwei Nichtschnittpunkten ist homöomorph zum Einheitsintervall.
• Wenn K ein Kontinuum mit den Punkten a, b ist und K- {a, b} nicht verbunden ist, ist K homöomorph zum Einheitskreis.

Topologische Eigenschaften von Schnittpunkträumen

• Sei X ein verbundener Raum und x ein Schnittpunkt in X, so dass X \ {x} = A | B. Dann ist {x} entweder offen oder geschlossen . Wenn {x} offen ist, sind A und B geschlossen. Wenn {x} geschlossen ist, sind A und B geöffnet.
• Sei X ein Schnittpunktraum. Die Menge der geschlossenen Punkte von X ist unendlich.

Irreduzible Schnittpunkte

Definitionen

Ein Schnittpunktraum ist nicht reduzierbar, wenn keine richtige Teilmenge davon ein Schnittpunktraum ist.

Die Khalimsky-Linie : Sei die Menge der ganzen Zahlen und wo ist eine Basis für eine Topologie auf . Die Khalimsky-Linie ist das Set , das mit dieser Topologie ausgestattet ist. Es ist ein Schnittpunkt. Außerdem ist es nicht reduzierbar. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle B = \ {\ {2i-1,2i, 2i + 1 \}: i \ in \ mathbb {Z} \} \ cup \ {\ {2i + 1 \}: i \ in \ mathbb {Z. } \}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Satz

• Ein topologischer Raum ist genau dann ein irreduzibler Schnittpunktraum, wenn X zur Khalimsky-Linie homöomorph ist. ${\ displaystyle X}$

Siehe auch

Schnittpunkt (Graphentheorie)

Verweise

• Hatcher, Allen, Anmerkungen zur einleitenden Punktmengen-Topologie , S. 20–21
• Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999), "Cut-Point Spaces" (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 127 (9): 2797–2803, doi : 10.1090 / s0002-9939-99-04839-x
• Willard, Stephen (2004). Allgemeine Topologie . Dover-Veröffentlichungen. ISBN   0-486-43479-6 . (Ursprünglich 1970 von Addison-Wesley Publishing Company, Inc. veröffentlicht.)