Einheitenintervall - Unit interval

Das Einheitsintervall als Teilmenge der reellen Geraden

In der Mathematik ist das Einheitsintervall das geschlossene Intervall [0,1] , also die Menge aller reellen Zahlen , die größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1 sind. Es wird oft mit I bezeichnet (Großbuchstabe I ). Zusätzlich zu seiner Rolle in der reellen Analyse wird das Einheitsintervall verwendet, um die Homotopietheorie auf dem Gebiet der Topologie zu studieren .

In der Literatur wird der Begriff "Einheitsintervall" manchmal auf die anderen Formen angewendet, die ein Intervall von 0 bis 1 annehmen könnte: (0,1] , [0,1) und (0,1) . Die Notation I ist jedoch am häufigsten für das geschlossene Intervall [0,1] reserviert .

Eigenschaften

Das Einheitsintervall ist ein vollständiger metrischer Raum , homöomorph zur erweiterten reellen Zahlengerade . Als topologischer Raum ist er kompakt , kontrahierbar , pfadverbunden und lokal pfadverbunden . Der Hilbert-Würfel erhält man, indem man ein topologisches Produkt von abzählbar vielen Kopien des Einheitsintervalls nimmt.

In mathematischer Analyse ist das Einheitsintervall ein eindimensionaler analytischer Verteiler , deren Grenze besteht aus den beiden Punkten 0 und 1. Die Standardorientierung von 0 bis 1 geht.

Das Einheitsintervall ist eine total geordnete Menge und ein vollständiges Gitter (jede Teilmenge des Einheitsintervalls hat ein Supremum und ein Infimum ).

Kardinalität

Die Größe oder Kardinalität einer Menge ist die Anzahl der Elemente, die sie enthält.

Das Einheitsintervall ist eine Teilmenge der reellen Zahlen . Es hat jedoch die gleiche Größe wie das gesamte Set: die Kardinalität des Kontinuums . Da die reellen Zahlen verwendet werden können, um Punkte entlang einer unendlich langen Linie darzustellen , bedeutet dies, dass ein Liniensegment der Länge 1, das ein Teil dieser Linie ist, die gleiche Anzahl von Punkten wie die gesamte Linie hat. Außerdem hat er die gleiche Anzahl von Punkten wie ein Quadrat der Fläche 1, wie ein Würfel des Volumens 1 und sogar wie ein unbeschränkter n- dimensionaler euklidischer Raum (siehe Raumfüllende Kurve ). ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Die Anzahl der Elemente (entweder reelle Zahlen oder Punkte) in allen oben genannten Mengen ist unzählbar , da sie strikt größer ist als die Anzahl der natürlichen Zahlen .

Verallgemeinerungen

Das Intervall [-1,1] mit der Länge zwei, abgegrenzt durch die positiven und negativen Einheiten, kommt häufig vor, etwa im Bereich der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus und der Hyperbelfunktion tanh. Dieses Intervall kann für den Bereich der Umkehrfunktionen verwendet werden . Wenn zum Beispiel 𝜃 auf [−π/2, π/2] beschränkt ist, dann liegt es in diesem Intervall und der Arkussinus ist dort definiert. ${\displaystyle \sin\theta}$

Manchmal wird der Begriff "Einheitsintervall" verwendet, um sich auf Objekte zu beziehen, die in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine Rolle spielen, analog zu der Rolle, die [0,1] in der Homotopietheorie spielt. Zum Beispiel ist in der Theorie der Köcher das (Analoge des) Einheitsintervalls der Graph, dessen Eckenmenge ist und der eine einzelne Kante e enthält, deren Quelle 0 und deren Ziel 1 ist. Man kann dann einen Begriff der Homotopie zwischen . definieren Köcher homomorphisms analog zum Begriff der Homotopie zwischen Dauerkarten. ${\displaystyle \{0,1\}}$

Fuzzy-Logik

In der Logik kann das Einheitsintervall [0,1] als Verallgemeinerung des Booleschen Bereichs {0,1} interpretiert werden , wobei in diesem Fall nicht nur die Werte 0 oder 1 angenommen werden können, sondern auch jeder Wert zwischen 0 und 1 (einschließlich) . Algebraisch wird die Negation (NOT) durch 1 − x ersetzt ; Konjunktion (UND) wird durch Multiplikation ( xy ) ersetzt; und Disjunktion (OR) ist nach den Gesetzen von De Morgan als 1 − (1 − x )(1 − y ) definiert .

Die Interpretation dieser Werte als logische Wahrheitswerte ergibt eine mehrwertige Logik , die die Grundlage für Fuzzy-Logik und Wahrscheinlichkeitslogik bildet . In diesen Interpretationen wird ein Wert als „Grad“ der Wahrheit interpretiert – inwieweit eine Aussage wahr ist oder wie wahrscheinlich die Aussage ist.

Siehe auch

• Intervall-Notation
• Einheit Quadrat , Würfel , Kreis , Hyperbel und Kugel
• Einheitsimpuls
• Einheitsvektor

Verweise

• Robert G. Bartle, 1964, Die Elemente der realen Analyse , John Wiley & Sons.