de Sitter-Raum - de Sitter space

In der mathematischen Physik ist der n- dimensionale de Sitter-Raum (oft mit dS _n abgekürzt ) eine maximal symmetrische Lorentzsche Mannigfaltigkeit mit konstanter positiver Skalarkrümmung . Es ist das Lorentzsche Analogon einer n- Kugel (mit seiner kanonischen Riemannschen Metrik ).

Die Hauptanwendung des de Sitter-Raums ist seine Verwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie , wo er als eines der einfachsten mathematischen Modelle des Universums dient, das mit der beobachteten beschleunigten Expansion des Universums übereinstimmt . Genauer gesagt ist der de Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven kosmologischen Konstante (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und einem negativen Druck). Es gibt kosmologische Beweise dafür, dass das Universum selbst asymptotisch de Sitter ist , dh es wird sich in ferner Zukunft wie das de Sitter-Universum entwickeln, wenn dunkle Energie dominiert. ${\displaystyle \Lambda}$

de Sitter space und anti-de Sitter space sind nach Willem de Sitter (1872–1934), Professor für Astronomie an der Universität Leiden und Direktor des Leidener Observatoriums benannt . Willem de Sitter und Albert Einstein arbeiteten in den 1920er Jahren in Leiden eng an der Raumzeitstruktur unseres Universums. de Sitter space wurde auch unabhängig und ungefähr zur gleichen Zeit von Tullio Levi-Civita entdeckt .

Definition

Der de Sitter-Raum kann als Untermannigfaltigkeit eines verallgemeinerten Minkowski-Raums einer höheren Dimension definiert werden . Nehmen Minkowski Raum R ^{1, n} mit der Standard - Metrik :

${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.}$

de Sitter-Raum ist die Untermannigfaltigkeit, die durch das Hyperboloid eines Blattes beschrieben wird

${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha^{2}}$

wobei eine von Null verschiedene Konstante mit Längenmaßen ist. Die Metrik im de Sitter-Raum ist die Metrik, die von der umgebenden Minkowski-Metrik induziert wird. Die induzierte Metrik ist nicht entartet und hat eine Lorentzsche Signatur. (Beachten Sie, dass , wenn einer ersetzt mit in der obigen Definition, man einen erhält Hyperboloids aus zwei Blättern. Die Metrik induziert ist in diesem Fall positiv definite und jedes Blatt eine Kopie der hyperbolischen n -Raum . Für eine detaillierte proof, siehe Minkowski Raum § Geometrie .) ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \alpha^{2}}$${\displaystyle -\alpha ^{2}}$

Der de-Sitter-Raum kann auch als Quotient O(1, n ) / O(1, n − 1) zweier unbestimmter orthogonaler Gruppen definiert werden , was zeigt, dass es sich um einen nicht-riemannschen symmetrischen Raum handelt .

Topologisch ist der de Sitter-Raum R × S ^{n −1} (so dass für n ≥ 3 der de Sitter-Raum einfach zusammenhängend ist ).

Eigenschaften

Die Isometriegruppe des de Sitter-Raums ist die Lorentzgruppe O(1, n ) . Die Metrik hat also dann n ( n + 1)/2 unabhängige Killing-Vektorfelder und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat eine konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor von de Sitter ist gegeben durch

${\displaystyle R_{\rho\sigma\mu\nu}={1\over\alpha^{2}}\left(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu }g_{\sigma\mu}\right).}$

Der de Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor proportional zur Metrik ist:

${\displaystyle R_{\mu\nu}={\frac{n-1}{\alpha^{2}}}g_{\mu\nu}}$

Dies bedeutet, dass der de Sitter-Raum eine Vakuumlösung der Einstein-Gleichung mit einer kosmologischen Konstante ist, die durch gegeben ist

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha^{2}}}.}$

Die skalare Krümmung des de Sitter-Raums ist gegeben durch

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

Für den Fall n = 4 gilt Λ = 3/ α ² und R = 4Λ = 12/ α ² .

Statische Koordinaten

Wir können statische Koordinaten für de Sitter wie folgt einführen : ${\displaystyle (t,r,\ldots)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {\alpha^{2}-r^{2}}}\sinh \left({\frac {1}{\alpha}}t \right)\\x_{1}&={\sqrt {\alpha^{2}-r^{2}}}\cosh \left({\frac{1}{\alpha}}t\right)\ \x_{i}&=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.\end{ausgerichtet}}}$

wobei gibt den Standard an, der die ( n − 2) -Kugel in R ^{n −1} einbettet . In diesen Koordinaten hat die de Sitter-Metrik die Form: ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\ frac {r^{2}}{\alpha^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega_{n-2}^{2}. }$

Beachten Sie, dass es eine kosmologische Horizont auf . ${\displaystyle r=\alpha}$

Flaches Schneiden

Lassen

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x_{0}&=\alpha\sinh\left({\frac{1}{\alpha}}t\right)+{\frac{1}{2\alpha}} r^{2}e^{{\frac{1}{\alpha}}t},\\x_{1}&=\alpha\cosh\left({\frac{1}{\alpha}}t\ rechts)-{\frac {1}{2\alpha}}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{i}&=e^{{\ frac {1}{\alpha}}t}y_{i},\qquad 2\leq i\leq n\end{ausgerichtet}}}$

wo . Dann in der Koordinatenmetrik lautet: ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$${\displaystyle \left(t,y_{i}\right)}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2{\frac {1}{\alpha}}t}dy^{2}}$

wo ist die flache Metrik auf 's. ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$${\displaystyle y_{i}}$

Setzen wir die konform flache Metrik: ${\displaystyle \zeta =\zeta_{\infty}-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha}}t}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha^{2}}{(\zeta_{\infty}-\zeta)^{2}}}\left(dy^{2}-d\ Zeta ^{2}\right)}$

Offenes Schneiden

Lassen

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha}}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&= \alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sinh \left({\frac {1}{\ alpha }}t\rechts)\sinh\xi ,\qquad 2\leq i\leq n\end{ausgerichtet}}}$

wobei a mit der Standardmetrik gebildet wird . Dann lautet die Metrik des de Sitter-Raums ${\textstyle \sum_{i}z_{i}^{2}=1}$${\displaystyle S^{n-2}}$${\textstyle \sum_{i}dz_{i}^{2}=d\Omega_{n-2}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha^{2}\sinh^{2}\left({\frac{1}{\alpha}}t\right)dH_{n- 1}^{2},}$

wo

${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi^{2}+\sinh^{2}(\xi)d\Omega_{n-2}^{2}}$

ist die standardmäßige hyperbolische Metrik.

Geschlossenes Schneiden

Lassen

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha\sinh\left({\frac{1}{\alpha}}t\right),\\x_{i}&=\alpha\cosh \left({\frac {1}{\alpha}}t\right)z_{i},\qquad 1\leq i\leq n\end{ausgerichtet}}}$

wobei s a beschreiben . Dann lautet die Metrik: ${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha^{2}\cosh^{2}\left({\frac{1}{\alpha}}t\right)d\Omega_ {n-1}^{2}.}$

Wenn wir die Zeitvariable in die konforme Zeit über ändern, erhalten wir eine Metrik, die dem statischen Universum von Einstein konform entspricht: ${\textstyle \tan\left({\frac{1}{2}}\eta\right)=\tanh\left({\frac{1}{2\alpha}}t\right)}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha^{2}}{\cos^{2}\eta}}\left(-d\eta^{2}+d\Omega_{n- 1}^{2}\right).}$

Diese Koordinaten, auch als "globale Koordinaten" bekannt, decken die maximale Ausdehnung des de Sitter-Raums ab und können daher verwendet werden, um sein Penrose-Diagramm zu finden .

dS-Schneiden

Lassen

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x_{0}&=\alpha\sin\left({\frac {1}{\alpha}}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{ \alpha}}t\right)\cosh\xi,\\x_{1}&=\alpha\cos\left({\frac{1}{\alpha}}\chi\right),\\x_{2 }&=\alpha\sin\left({\frac{1}{\alpha}}\chi\right)\cosh\left({\frac{1}{\alpha}}t\right),\\x_ {i}&=\alpha z_{i}\sin\left({\frac{1}{\alpha}}\chi\right)\sinh\left({\frac{1}{\alpha}}t\ rechts)\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n\end{ausgerichtet}}}$

wobei s a beschreiben . Dann lautet die Metrik: ${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin^{2}\left({\frac {1}{\alpha}}\chi \right)ds_{dS,\alpha ,n -1}^{2},}$

wo

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha^{2}\sinh^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-2}^{2}}$

ist die Metrik eines dimensionalen de Sitter-Raums mit Krümmungsradius in offenen Schnittkoordinaten . Die hyperbolische Metrik ist gegeben durch: ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi^{2}+\sinh^{2}(\xi)d\Omega_{n-3}^{2}.}$

Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Schnittkoordinaten unter und auch umschalten und weil sie ihre zeit-/raumhafte Natur verändern. ${\displaystyle \left(t,\xi,\theta,\phi_{1},\phi_{2},\ldots,\phi_{n-3}\right)\to \left(i\chi ,\xi,it,\theta,\phi_{1},\ldots,\phi_{n-4}\right)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{2}}$

Siehe auch

• Anti-de-Sitter-Raum
• de Sitter-Universum
• AdS/CFT-Korrespondenz
• de Sitter-Schwarzschild-Metrik

Verweise

Weiterlesen

• Qingming Cheng (2001) [1994], "De Sitter space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Nomizu, Katsumi (1982), "The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension", Hokkaido Mathematical Journal , 11 (3): 253–261, doi : 10.14492/hokmj/1381757803
• Coxeter, HSM (1943), "Ein geometrischer Hintergrund für de Sitters Welt", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 50 (4): 217–228, doi : 10.2307/2303924 , JSTOR  2303924
• Süßkind, L.; Lindesay, J. (2005), An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe , p. 119(11.5.25)

Externe Links

• Vereinfachte Anleitung zu de Sitter- und Anti-de-Sitter-Räumen Eine pädagogische Einführung in de Sitter- und Anti-de-Sitter-Räume. Der Hauptartikel ist vereinfacht, fast ohne Mathematik. Der Anhang ist technisch und richtet sich an Leser mit Physik- oder Mathematikkenntnissen.