Mangelhafte Nummer - Deficient number

Demonstration des Mangels der Zahl 8 . mit Cuisenaire-Ruten

In der Zahlentheorie ist eine mangelhafte Zahl oder eine fehlerhafte Zahl eine Zahl n, für die die Summe der Teiler von n kleiner als 2 n ist . Äquivalent ist es eine Zahl, für die die Summe der richtigen Teiler (oder Aliquotsumme ) kleiner als n ist . Zum Beispiel sind die richtigen Teiler von 8 1, 2 und 4, und ihre Summe ist kleiner als 8, also ist 8 mangelhaft.

Bezeichnet man mit σ ( n ) die Summe der Teiler, der Wert 2 n  -  σ ( n ) ist die Anzahl der genannten Mangel . Bezogen auf die Aliquotsumme s ( n ) beträgt der Mangel n  −  s ( n ).

Beispiele

Die ersten paar fehlerhaften Zahlen sind

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (Sequenz A005100 im OEIS )

Betrachten Sie als Beispiel die Zahl 21. Ihre richtigen Teiler sind 1, 3 und 7, und ihre Summe ist 11. Da 11 kleiner als 21 ist, ist die Zahl 21 mangelhaft. Sein Mangel beträgt 2 × 21 − 32 = 10.

Eigenschaften

Da die aliquoten Summen der Primzahlen gleich 1 sind, sind alle Primzahlen defizitär. Allgemeiner gesagt sind alle ungeraden Zahlen mit einem oder zwei verschiedenen Primfaktoren defizitär. Daraus folgt, dass es unendlich viele ungerade defiziente Zahlen gibt. Es gibt auch unendlich viele gerade defizitäre Zahlen wie alle Zweierpotenzen ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 x -1 = 2 x - 1 ).

Allgemeiner gesagt sind alle Primzahlen mangelhaft, weil ihre einzigen richtigen Teiler die Summe sind , die höchstens ist .

Alle richtigen Teiler mangelhafter Zahlen sind mangelhaft. Außerdem sind alle echten Teiler perfekter Zahlen defizitär.

Für alle hinreichend großen n existiert mindestens eine defiziente Zahl im Intervall .

Verwandte konzepte

Euler Diagramm von reichlich , primitiven reichlich , sehr reichlich , überreichlich , kolossal reichlich , sehr Verbund , überlegen hoch Composite , seltsam und perfekten Zahlen unter 100 in Bezug auf einen Mangel und zusammengesetzte Zahlen

Eng verwandt mit defizienten Zahlen sind perfekte Zahlen mit σ ( n ) = 2 n und reichlich vorhandene Zahlen mit σ ( n ) > 2 n . Die natürlichen Zahlen wurden zuerst von Nikomachus in seiner Introductio Arithmetica (um 100 n. Chr.) als entweder mangelhaft, perfekt oder reichlich klassifiziert .

Siehe auch

Verweise

  • Sandor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, Hrsg. (2006). Handbuch der Zahlentheorie I . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300 .

Externe Links