Direktprodukt von Gruppen - Direct product of groups

Algebraische Struktur → Gruppentheorie Gruppentheorie
Grundbegriffe Untergruppe Normale Untergruppe Quotientengruppe (Halb-) Direktprodukt Gruppenhomomorphismen Kernel Bild direkte Summe Kranzprodukt einfach endlich unendlich kontinuierlich multiplikativ Zusatzstoff zyklisch abelian V-förmig nilpotent lösbar Handlung Glossar der Gruppentheorie Liste der Themen der Gruppentheorie
Endliche Gruppen Klassifikation endlicher einfacher Gruppen zyklisch abwechselnd Lügentyp sporadisch Satz von Cauchy Satz von Lagrange Sylow-Theoreme Halls Theorem p-Gruppe Elementare abelsche Gruppe Frobenius-Gruppe Schur-Multiplikator Symmetrische Gruppe S n Klein Vierergruppe V Diedergruppe D n Quaternionengruppe Q Dicyclische Gruppe Dic n
Diskrete Gruppen Gitter Ganzzahlen ( )${\displaystyle \mathbb{Z}}$ Kostenlose Gruppe Modulare Gruppen PSL(2, )${\displaystyle \mathbb{Z}}$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb{Z}}$ Arithmetische Gruppe Gitter Hyperbolische Gruppe
Topologische und Lie-Gruppen Magnet Kreis Allgemeine lineare GL( n ) Spezielle lineare SL( n ) Orthogonal O( n ) Euklidisches E( n ) Spezielles orthogonales SO( n ) Einheitliches U( n ) Spezielle einheitliche SU( n ) Symplektische Sp( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré konform Diffeomorphismus Schleife Unendlich dimensionale Lügengruppe O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraische Gruppen Lineare algebraische Gruppe Reduktionsgruppe Abelische Vielfalt Elliptische Kurve
v T e

In der Mathematik , insbesondere in der Gruppentheorie , ist das direkte Produkt eine Operation, die zwei Gruppen G und H nimmt und eine neue Gruppe konstruiert, die normalerweise mit G × H bezeichnet wird . Diese Operation ist das gruppentheoretische Analogon des kartesischen Produkts von Mengen und einer von mehreren wichtigen Begriffen des direkten Produkts in der Mathematik.

Im Zusammenhang mit abelschen Gruppen wird das direkte Produkt manchmal als direkte Summe bezeichnet und bezeichnet . Direkte Summen spielen bei der Klassifikation abelscher Gruppen eine wichtige Rolle: Nach dem Fundamentalsatz der endlichen abelschen Gruppen lässt sich jede endliche abelsche Gruppe als direkte Summe zyklischer Gruppen ausdrücken . ${\displaystyle G\oplus H}$

Definition

Gegebenen Gruppen G (mit Operation * ) und H (mit Operation ∆ ) ist das direkte Produkt G × H wie folgt definiert:

Das resultierende algebraische Objekt erfüllt die Axiome für eine Gruppe. Speziell:

Assoziativität

Die binäre Operation auf G × H ist assoziativ .

Identität

Das direkte Produkt hat ein Identitätselement , nämlich (1 _G , 1 _H ) , wobei 1 _G das Identitätselement von G und 1 _H das Identitätselement von  H ist .

Invers

Die Inverse eines Elements ( g , h ) von G × H ist das Paar ( g ⁻¹ , h ⁻¹ ) , wobei g ⁻¹ die Inverse von g in G und h ⁻¹ die Inverse von h in  H . ist .

Beispiele

• Sei R die Gruppe der reellen Zahlen unter Addition . Dann ist das direkte Produkt R × R die Gruppe aller zweikomponentigen Vektoren ( x , y ) unter der Operation der Vektoraddition :

( X ₁ , y ₁ ) + ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂ ) .

• Sei R ⁺ die Gruppe der positiven reellen Zahlen bei der Multiplikation. Dann ist das direkte Produkt R ⁺ × R ⁺ die Gruppe aller Vektoren im ersten Quadranten unter der Operation der komponentenweisen Multiplikation

( X ₁ , y ₁ ) x ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ x x ₂ ,  y ₁ × y ₂ ) .

• Lassen G und H werden cyclische Gruppen mit jeweils zwei Elementen:

Dann wird das direkte Produkt G × H ist isomorph zu der Klein Vier-Gruppen :

${\displaystyle G\times H}$

*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a,b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a,b)	(1,1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Elementare Eigenschaften

Algebraische Struktur

Seien G und H Gruppen, seien P = G × H und betrachte die folgenden zwei Teilmengen von  P :

G '= {( g , 1): g ∈ G }    und    H ' = {(1, h ): h ∈ H } .

Beide sind tatsächlich Untergruppen von P , wobei die erste isomorph zu G und die zweite isomorph zu H ist . Wenn wir diese mit G bzw. H identifizieren , können wir uns vorstellen, dass das direkte Produkt P die ursprünglichen Gruppen G und H als Untergruppen enthält.

Diese Untergruppen von P haben die folgenden drei wichtigen Eigenschaften: (Wir sagen noch einmal, dass wir G ′ und H ′ mit G bzw. H identifizieren .)

1. Der Schnitt G ∩ H ist trivial .
2. Jedes Element von P kann eindeutig als Produkt eines Elements von G und eines Elements von  H ausgedrückt werden .
3. Jedes Element von G kommutiert mit jedem Element von H .

Zusammen bestimmen diese drei Eigenschaften die algebraische Struktur des direkten Produkts P vollständig . Das heißt, wenn P ist jede Gruppe Untergruppen G und H , die die obigen Eigenschaften erfüllen, dann P , um das direkte Produkt notwendigerweise isomorph ist G und H . In dieser Situation wird P manchmal als das interne direkte Produkt seiner Untergruppen G und H bezeichnet .

In einigen Kontexten wird die dritte Eigenschaft oben durch Folgendes ersetzt:

3'. Sowohl G als auch H sind in P normal .

Diese Eigenschaft ist äquivalent zu Eigenschaft 3, da die Elemente zweier Normalteiler mit trivialem Schnitt notwendigerweise kommutieren, was man aus der Betrachtung des Kommutators [ g , h ] eines beliebigen g in G , h in H ableiten kann .

Beispiele

Präsentationen

Die algebraische Struktur von G × H kann verwendet werden, um eine Präsentation für das direkte Produkt im Sinne der Präsentationen von G und H zu geben . Nehmen wir konkret an, dass

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \ }$ und ${\displaystyle \ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,}$

wobei und (disjunkte) Erzeugungsmengen sind und und Relationen definieren. Dann ${\displaystyle S_{G}}$${\displaystyle S_{H}}$${\displaystyle R_{G}}$${\displaystyle R_{H}}$

${\displaystyle G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle}$

wobei eine Menge von Beziehungen ist, die angeben, dass jedes Element von mit jedem Element von kommutiert . ${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle S_{G}}$${\displaystyle S_{H}}$

Zum Beispiel, wenn

${\displaystyle G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \ }$ und ${\displaystyle \ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle }$

dann

${\displaystyle G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .}$

Normale Struktur

Wie oben erwähnt, sind die Untergruppen G und H in G × H normal . Definieren Sie insbesondere die Funktionen π _G : G × H → G und π _H : G × H → H durch

π _G ( g , h ) = g     und     π _H ( g , h ) = h .

Dann π _G und π _H sind homomorphisms , wie bekannt Vorsprung homomorphisms , deren Kerne sind H und G dargestellt.

Daraus folgt, dass G × H eine Erweiterung von G um H ist (oder umgekehrt). Für den Fall, dass G × H eine endliche Gruppe ist , folgt daraus, dass die Zusammensetzungsfaktoren von G × H genau die Vereinigung der Zusammensetzungsfaktoren von G und der Zusammensetzungsfaktoren von H sind .

Weitere Eigenschaften

Universelles Eigentum

Das direkte Produkt G × H kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden . Seien π _G : G × H → G und π _H : G × H → H die Projektionshomomorphismen. Dann gibt es für jede Gruppe P und alle Homomorphismen ƒ _G : P → G und ƒ _H : P → H einen eindeutigen Homomorphismus ƒ: P → G × H , der das folgende Diagramm kommutiert :

Konkret ist der Homomorphismus ƒ durch die Formel

ƒ ( p ) =  ( ƒ _G ( p ), ƒ _H ( p ) ) .

Dies ist ein Spezialfall der universellen Eigenschaft für Produkte in der Kategorientheorie .

Untergruppen

Wenn A eine Untergruppe von G und B eine Untergruppe von H ist , dann ist das direkte Produkt A × B eine Untergruppe von G × H . Zum Beispiel ist die isomorphe Kopie von G in G × H das Produkt G × {1} , wobei {1} die triviale Untergruppe von H ist .

Sind A und B normal, dann ist A × B eine normale Untergruppe von G × H . Außerdem ist der Quotient der direkten Produkte isomorph zum direkten Produkt der Quotienten:

( G × H ) / ( A × B ) ≅ ( G / A ) x ( H / B ) .

Beachten Sie, dass es nicht allgemein gilt, dass jede Untergruppe von G × H das Produkt einer Untergruppe von G mit einer Untergruppe von H ist . Wenn beispielsweise G eine nichttriviale Gruppe ist, dann hat das Produkt G × G eine diagonale Untergruppe

= { ( g , g ) : g ∈ G }

welches nicht das direkte Produkt zweier Untergruppen von G ist .

Die Untergruppen der direkten Produkte werden durch das Lemma von Goursat beschrieben . Andere Untergruppen umfassen Faserprodukte von G und H .

Konjugation und Zentralisierer

Zwei Elemente ( g ₁ , h ₁ ) und ( g ₂ , h ₂ ) sind Konjugat in G × H , wenn und nur wenn g ₁ und g ₂ sind Konjugat in G und h ₁ und h ₂ sind Konjugat in H . Daraus folgt, dass jede Konjugationsklasse in G × H einfach das kartesische Produkt einer Konjugationsklasse in G und einer Konjugationsklasse in H ist .

Entsprechend ist, falls ( g , h ) ∈ G × H , der Zentralisierer von ( g , h ) einfach das Produkt der Zentralisierer von g und h :

C _{G × H} ( g , h )  =  C _G ( g ) × C _H ( h ) .

Ebenso ist der Mittelpunkt von G × H das Produkt der Mittelpunkte von G und H :

Z ( G × H )  =  Z ( G ) × Z ( H ) .

Normalisierer verhalten sich komplexer, da nicht alle Untergruppen von Direktprodukten selbst als Direktprodukte zerfallen.

Automorphismen und Endomorphismen

Wenn α ein Automorphismus von G und β ein Automorphismus von H ist , dann ist die Produktfunktion α × β : G × H → G × H definiert durch

( α × β ) ( g , h ) = ( α ( g ), β ( h ) )

ist ein Automorphismus von G × H . Daraus folgt, dass Aut( G × H ) eine Untergruppe hat, die isomorph zum direkten Produkt Aut( G ) × Aut( H ) ist .

Allgemein gilt nicht, dass jeder Automorphismus von G × H die obige Form hat. (Das heißt, Aut( G ) × Aut( H ) ist oft eine echte Untergruppe von Aut( G × H ) .) Wenn beispielsweise G eine beliebige Gruppe ist, dann existiert ein Automorphismus σ von G × G , der die beiden Faktoren, dh

σ ( g ₁ , g ₂ ) = ( g ₂ , g ₁ ) .

Für ein anderes Beispiel, die automorphism Gruppe von Z x Z ist , GL (2, Z ) , die Gruppe aller 2 × 2 - Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante , ± 1 . Diese Automorphismengruppe ist unendlich, aber nur endlich viele der Automorphismen haben die oben angegebene Form.

Im Allgemeinen lässt sich jeder Endomorphismus von G × H als 2 × 2- Matrix schreiben

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

wobei α ein Endomorphismus von G ist , δ ein Endomorphismus von H ist und β : H → G und γ : G → H Homomorphismen sind. Eine solche Matrix muss die Eigenschaft haben, dass jedes Element im Bild von α mit jedem Element im Bild von β kommutiert und jedes Element im Bild von γ mit jedem Element im Bild von δ kommutiert .

Wenn G und H unzerlegbare, zentrumslose Gruppen sind, dann ist die Automorphismusgruppe relativ einfach, nämlich Aut( G ) × Aut( H ), wenn G und H nicht isomorph sind, und Aut( G ) wr 2 wenn G ≅ H , wr bezeichnet das Kranzprodukt . Dies ist Teil des Krull-Schmidt-Theorems und gilt allgemeiner für endliche direkte Produkte.

Verallgemeinerungen

Endliche Direktprodukte

Es ist möglich, das direkte Produkt von mehr als zwei Gruppen gleichzeitig zu nehmen. Gegeben eine endliche Folge G ₁ , ..., G _n von Gruppen, das direkte Produkt

${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}}$

ist wie folgt definiert:

Dieses hat viele der gleichen Eigenschaften wie das direkte Produkt zweier Gruppen und kann auf ähnliche Weise algebraisch charakterisiert werden.

Unendliche Direktprodukte

Es ist auch möglich, das direkte Produkt von unendlich vielen Gruppen zu nehmen. Für eine unendliche Folge G ₁ , G ₂ , ... von Gruppen kann dies genau wie das endliche direkte Produkt von oben definiert werden, wobei Elemente des unendlichen direkten Produkts unendliche Tupel sind.

Allgemeiner gesagt , eine gegebene indizierte Familie {  G _i  } _{i ∈ I} von Gruppen, die direkte Produkt Π _{i ∈ I} G _i wie folgt definiert ist:

Im Gegensatz zu einem endlichen direkten Produkt wird das unendliche direkte Produkt Π _{i ∈ I} G _i nicht von den Elementen der isomorphen Untergruppen {  G _i  } _{i ∈ I erzeugt} . Stattdessen erzeugen diese Untergruppen eine Untergruppe des direkten Produkts, die als unendliche direkte Summe bekannt ist und aus allen Elementen besteht, die nur endlich viele Nicht-Identitätskomponenten haben.

Andere Produkte

Semidirektprodukte

Denken Sie daran, dass eine Gruppe P mit Untergruppen G und H isomorph zum direkten Produkt von G und H ist , solange sie die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Der Schnitt G ∩ H ist trivial .
2. Jedes Element von P kann eindeutig als Produkt eines Elements von G und eines Elements von  H ausgedrückt werden .
3. Sowohl G als auch H sind in P normal .

Durch Relaxation der dritten Bedingung erhält man ein semidirektes Produkt von G und H , so dass nur eine der beiden Untergruppen G , H normal sein muss. Das resultierende Produkt besteht immer noch aus geordneten Paaren ( g , h ) , jedoch mit einer etwas komplizierteren Multiplikationsregel.

Es ist auch möglich, die dritte Bedingung vollständig zu lockern, sodass keine der beiden Untergruppen normal sein muss. In diesem Fall wird die Gruppe P als Zappa-Szép-Produkt von G und H bezeichnet .

Kostenlose Produkte

Das freie Produkt von G und H , gewöhnlich als G ∗ H bezeichnet , ist dem direkten Produkt ähnlich, außer dass die Untergruppen G und H von G ∗ H nicht kommutieren müssen. Das heißt, wenn

G =〈S _G | R _G〉     und     H =〈S _H | R _H > ,

sind Präsentationen für G und H , dann

G ∗ H =〈S _G ∪ S _H | R _G ∪ R _H > .

Im Gegensatz zum direkten Produkt können Elemente des kostenlosen Produkts nicht durch geordnete Paare dargestellt werden. Tatsächlich ist das freie Produkt zweier nichttrivialer Gruppen unendlich. Das Gratisprodukt ist eigentlich das Kuppelprodukt in der Kategorie Gruppen .

Subdirect-Produkte

Wenn G und H Gruppen sind, ist ein subdirektes Produkt von G und H eine beliebige Untergruppe von G × H, die unter den Projektionshomomorphismen surjektiv auf G und H abbildet. Nach dem Lemma von Goursat ist jedes subdirekte Produkt ein Faserprodukt.

Faserprodukte

Seien G , H und Q Gruppen und seien φ : G → Q und χ : H → Q Homomorphismen. Das Faserprodukt von G und H über Q , auch Pullback genannt , ist die folgende Untergruppe von G × H :

G × _Q H  =  { ( g , h ) ∈ G × H  : φ (g) = χ (h) } .

Wenn φ : G → Q und χ : H → Q ist Epimorphismen , dann ist dies ein Subdirektes Produkt.

Verweise

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