Achterknoten (Mathematik) - Figure-eight knot (mathematics)

Achterknoten
Gemeinsamen Namen	Achterknoten
Arf-Invariante	1
Geflechtlänge	4
Geflecht Nr.	3
Brücke Nr.	2
Kreuzkappe Nr.	2
Kreuzung Nr.	4
Gattung	1
Hyperbolisches Volumen	2.02988
Stock Nr.	7
Entknoten Nr.	1
Conway-Notation	[22]
A–B-Notation	4 1
Dowker-Notation	4, 6, 8, 2
Letztes/Nächstes	3 1 /  5 1
Sonstiges
alternierend , hyperbolisch , faserig , prim , vollständig amphichiral , twist

Achterknoten mit praktischer Knotenbindung, mit verbundenen Enden

In der Knotentheorie ist ein Achterknoten (auch Listing-Knoten genannt ) der einzigartige Knoten mit einer Kreuzungszahl von vier. Damit ist er der Knoten mit der drittkleinsten möglichen Kreuzungszahl nach dem Unknoten und dem Kleeblattknoten . Der Achterknoten ist ein Primknoten .

Herkunft des Namens

Der Name kommt daher, weil das Einbinden eines normalen Achterknotens in ein Seil und das anschließende Zusammenfügen der Enden auf natürlichste Weise ein Modell des mathematischen Knotens ergibt.

Beschreibung

Eine einfache parametrische Darstellung des Achterknotens ist die Menge aller Punkte ( x , y , z ) wobei

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\ rechts)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{ausgerichtet}}}$

für t über die reellen Zahlen variierend (siehe 2D-Visualisierung unten rechts).

Der Achterknoten ist prim , alternierend , rational mit einem assoziierten Wert von 5/2 und ist achiral . Der Achterknoten ist ebenfalls ein Faserknoten . Dies folgt aus anderen, weniger einfachen (aber sehr interessanten) Darstellungen des Knotens:

(1) Es ist ein homogenes geschlossenes Geflecht (nämlich der Abschluss des 3-String-Geflechts σ ₁ σ ₂ ⁻¹ σ ₁ σ ₂ ⁻¹ ), und ein Satz von John Stallings zeigt, dass jedes geschlossene homogene Geflecht faserig ist.

(2) Es ist die Verknüpfung an (0,0,0,0) eines isolierten kritischen Punktes einer reell-polynomialen Abbildung F : R ⁴ → R ² , also (nach einem Satz von John Milnor ) die Milnor-Abbildung von F ist eigentlich eine Fibration. Bernard Perron fand das erste solche F für diesen Knoten, nämlich

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),\,\!}$

wo

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+ x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^ {2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}}$

Mathematische Eigenschaften

Der Achterknoten hat in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten historisch eine wichtige Rolle gespielt (und tut dies auch weiterhin) . Irgendwann Mitte bis Ende der 1970er Jahre zeigte William Thurston , dass die Acht hyperbolisch war , indem er ihr Komplement in zwei ideale hyperbolische Tetraeder zerlegte . (Robert Riley und Troels Jørgensen, die unabhängig voneinander arbeiteten, hatten zuvor auf andere Weise gezeigt, dass der Achterknoten hyperbolisch ist.) Diese damals neue Konstruktion führte ihn zu vielen wirkungsvollen Ergebnissen und Methoden. Zum Beispiel konnte er zeigen, dass alle bis auf zehn Dehn-Operationen am Achterknoten zu nicht- Haken , nicht- Seifert-fasrigen irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten führten; dies waren die ersten Beispiele dieser Art. Viele weitere wurden entdeckt, indem man Thurstons Konstruktion auf andere Knoten und Verbindungen verallgemeinerte.

Der Achterknoten ist auch der hyperbolische Knoten, dessen Komplement das kleinstmögliche Volumen hat (Sequenz A091518 im OEIS ), wobei die Lobatschewsky-Funktion ist . Aus dieser Perspektive kann der Achterknoten als der einfachste hyperbolische Knoten angesehen werden. Das Achter-Knoten-Komplement ist eine Doppelhülle der Gieseking-Mannigfaltigkeit , die das kleinste Volumen unter den nicht kompakten hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten hat. ${\displaystyle 6\Lambda (\pi/6)\ca. 2.02988...}$${\displaystyle \Lambda}$

Der Achterknoten und der (−2,3,7) Brezelknoten sind die einzigen zwei hyperbolischen Knoten, von denen bekannt ist, dass sie mehr als 6 außergewöhnliche Operationen haben , Dehn-Operationen, die zu einer nicht-hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit führen; sie haben 10 bzw. 7. Ein Satz von Lackenby und Meyerhoff, dessen Beweis auf der Geometrisierungsvermutung und Computerunterstützung beruht , besagt, dass 10 die größtmögliche Anzahl außergewöhnlicher Operationen eines hyperbolischen Knotens ist. Es ist jedoch derzeit nicht bekannt, ob der Achterknoten der einzige ist, der die Schranke von 10 erreicht. Eine bekannte Vermutung ist, dass die Schranke (mit Ausnahme der beiden erwähnten Knoten) 6 ist.

Einfache quadratische Darstellung einer Achterkonfiguration.

Symmetrische Darstellung erzeugt durch parametrische Gleichungen.

Mathematische Oberfläche zur Veranschaulichung von Achterknoten

Der Achterknoten hat die Gattung 1 und ist faserig. Daher seine Komplementärfasern über dem Kreis, wobei die Fasern Seifert-Flächen sind, die zweidimensionale Tori mit einer Grenzkomponente sind. Die Monodromieabbildung ist dann ein Homöomorphismus des 2-Torus, der in diesem Fall durch die Matrix dargestellt werden kann . ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}})}$

Invarianten

Das Alexanderpolynom des Achterknotens ist

${\displaystyle \Delta(t)=-t+3-t^{-1},\ }$

das Conway-Polynom ist

${\displaystyle \nabla(z)=1-z^{2},\ }$

und das Jones-Polynom ist

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

Die Symmetrie zwischen und im Jones-Polynom spiegelt die Tatsache wider, dass der Achterknoten achiral ist. ${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{-1}}$

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Achterknoten

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

• Ian Agol , Bounds on außergewöhnlicher Dehn-Füllung , Geometry & Topology 4 (2000), 431–449. MR 1799796
• Chun Cao und Robert Meyerhoff, The orientable cusped hyperbolic 3-Manifolds of minimum volume , Inventiones Mathematicae, 146 (2001), No. 3, 451–478. MR 1869847
• Marc Lackenby , Word hyperbolic Dehn Chirurgie , Inventiones Mathematicae 140 (2000), Nr. 2, 243–282. MR 1756996
• Marc Lackenby und Robert Meyerhoff, Die maximale Anzahl außergewöhnlicher Dehn-Operationen , arXiv:0808.1176
• Robion Kirby , Probleme in der niederdimensionalen Topologie , (siehe Problem 1.77, von Cameron Gordon , für außergewöhnliche Steigungen)
• William Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds , Vorlesungsnotizen der Princeton University (1978–1981).

Externe Links

• " 4_1 ", Der Knotenatlas . Zugriff: 7. Mai 2013.
• Weisstein, Eric W. "Figur Achter Knoten" . MathWorld .