Gelfand-Vertretung - Gelfand representation

In der Mathematik ist die Gelfand-Darstellung in der Funktionalanalysis (benannt nach IM Gelfand ) eines von zwei Dingen:

• eine Möglichkeit, kommutative Banach-Algebren als Algebren stetiger Funktionen darzustellen ;
• die Tatsache, dass für kommutative C*-Algebren diese Darstellung ein isometrischer Isomorphismus ist.

Im ersteren Fall kann man die Gelfand-Darstellung als eine weitreichende Verallgemeinerung der Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion ansehen. Im letzteren Fall ist der Gelfand-Naimark-Darstellungssatz ein Weg in der Entwicklung der Spektraltheorie für Normaloperatoren und verallgemeinert den Begriff der Diagonalisierung einer Normalmatrix .

Historische Bemerkungen

Eine von Gelfands ursprünglichen Anwendungen (und eine, die historisch einen Großteil des Studiums der Banach-Algebren motivierte) bestand darin, einen viel kürzeren und konzeptionelleren Beweis für ein berühmtes Lemma von Norbert Wiener (siehe das Zitat unten) zu liefern , das die Elemente der Gruppenalgebren charakterisiert L ¹ ( R ) und deren Translationen dichte Unterräume in den jeweiligen Algebren überspannen. ${\displaystyle \ell^{1}({\mathbf{Z}})}$

Die Modellalgebra

Für jeden lokal kompakten topologischen Hausdorff- Raum X ist der Raum C ₀ ( X ) stetiger komplexwertiger Funktionen auf X , die im Unendlichen verschwinden, auf natürliche Weise eine kommutative C*-Algebra:

• Die Struktur der Algebra über den komplexen Zahlen erhält man durch Berücksichtigung der punktweisen Additions- und Multiplikationsoperationen.
• Die Involution ist eine punktweise komplexe Konjugation.
• Die Norm ist die einheitliche Norm für Funktionen.

Die Bedeutung von X ist lokal kompakt und Hausdorff ist, dass dies X in einen vollständig regulären Raum verwandelt . In einem solchen Raum ist jede abgeschlossene Teilmenge von X die gemeinsame Nullmenge einer Familie stetiger komplexwertiger Funktionen auf X , die es erlaubt, die Topologie von X aus C ₀ ( X ) zurückzugewinnen.

Beachten Sie, dass C ₀ ( X ) genau dann unital ist , wenn X kompakt ist. In diesem Fall ist C ₀ ( X ) gleich C ( X ), der Algebra aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf X .

Gelfand-Darstellung einer kommutativen Banach-Algebra

Sei eine kommutative Banach-Algebra , die über dem Körper der komplexen Zahlen definiert ist. Ein von Null verschiedener Algebra-Homomorphismus (ein multiplikatives lineares Funktional) wird als Charakter von bezeichnet ; die Menge aller Zeichen von wird mit bezeichnet . ${\displaystyle A}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle \Phi\colon A\to\mathbb{C}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$

Es kann gezeigt werden, dass jedes Zeichen on automatisch stetig ist und somit eine Teilmenge des Raums der stetigen linearen Funktionale on ist ; außerdem, wenn es mit der relativ schwachen * Topologie ausgestattet ist , stellt sich als lokal kompakt und Hausdorff heraus. (Dies folgt aus dem Banach-Alaoglu-Theorem .) Der Raum ist (in der eben definierten Topologie) genau dann kompakt, wenn die Algebra ein Identitätselement hat. ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle A}$

Gegeben definiert man die Funktion durch . Die Definition von und die Topologie darauf stellen sicher, dass stetig ist und im Unendlichen verschwindet , und dass die Abbildung einen normabnehmenden, einheitenerhaltenden Algebra-Homomorphismus von bis definiert . Dieser Homomorphismus ist die Gelfand-Darstellung von und ist die Gelfand-Transformation des Elements . Im Allgemeinen ist die Darstellung weder injektiv noch surjektiv. ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle {\widehat{a}}:\Phi_{A}\to {\mathbb{C}}}$${\displaystyle {\widehat{a}}(\phi)=\phi(a)}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle {\widehat{a}}}$${\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{0}(\Phi_{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\widehat{a}}}$${\displaystyle a}$

Für den Fall, dass hat ein Identitätselement, gibt es eine Bijektion zwischen und der Menge der maximalen Ideale in (dies beruht auf dem Gelfand-Mazur-Theorem ). Folglich kann der Kern der Gelfand-Darstellung mit dem Jacobson-Radikal von identifiziert werden . So ist die Gelfand Darstellung injektiv , wenn und nur wenn ist (Jacobson) halbeinfach . ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi_{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Beispiele

In dem Fall , in dem die Gruppe von Algebra , dann ist homeomorphic zu und die Gelfand - Transformation ist die Fourier - Transformation . ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb{R})}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb{R})}$ ${\displaystyle {\tilde{f}}}$

Für den Fall , dass die -Faltungsalgebra der reellen Halblinie homöomorph zu ist und die Gelfand-Transformation eines Elements die Laplace-Transformation ist . ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb{R}_{+})}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle \Phi_{A}}$${\displaystyle \{z\in\mathbb{C} ~\colon ~\operatorname {Re} (z)\geq 0\}}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb{R}_{+})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}f}$

Der C*-Algebra-Fall

Betrachten Sie als Motivation den Spezialfall A = C ₀ ( X ). Gegeben x in X sei eine punktweise Auswertung bei x , dh . Dann ist ein Zeichen auf A , und es kann gezeigt werden, dass alle Zeichen von A von dieser Form sind; eine genauere Analyse zeigt, dass wir Φ _A mit X nicht nur als Mengen, sondern als topologische Räume identifizieren können . Die Gelfand-Darstellung ist dann ein Isomorphismus ${\displaystyle \varphi_{x}\in A^{*}}$${\displaystyle \varphi_{x}(f)=f(x)}$${\displaystyle\varphi_{x}}$

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi_{A}).\ }$

Das Spektrum einer kommutativen C*-Algebra

Das Spektrum oder Gelfand-Raum einer kommutativen C*-Algebra A , mit  bezeichnet , besteht aus der Menge der von Null verschiedenen *-Homomorphismen von A bis zu den komplexen Zahlen. Elemente des Spektrums werden Zeichen auf A genannt . (Es kann gezeigt werden, dass jeder Algebra-Homomorphismus von A bis zu den komplexen Zahlen automatisch ein *-Homomorphismus ist , so dass diese Definition des Begriffs 'Charakter' mit der obigen übereinstimmt.)

Insbesondere ist das Spektrum einer kommutativen C*-Algebra ein lokal kompakter Hausdorff-Raum: Im unitalen Fall, dh wenn die C*-Algebra ein multiplikatives Einheitselement 1 hat, müssen alle Zeichen f unital sein, dh f (1) ist die komplexe Nummer eins. Dies schließt den Nullhomomorphismus aus. So  unter schwach- * Konvergenz geschlossen und das Spektrum ist eigentlich kompakt . In dem nicht-unital Fall die Schwach- * Schließung von  ist  ∪ {0}, wobei 0 die Null - Homomorphismus, und die Entfernung von einem einzigen Punkt aus einem kompakten Hausdorff - Raum ergibt sich ein lokal kompakten Hausdorff - Raum.

Beachten Sie, dass Spektrum ein überladenes Wort ist. Es bezieht sich auch auf das Spektrum σ( x ) eines Elements x einer Algebra mit Einheit 1, also die Menge der komplexen Zahlen r, für die x  −  r 1 in A nicht invertierbar ist . Für unitale C*-Algebren sind die beiden Begriffe wie folgt verbunden: ( x ) ist die Menge der komplexen Zahlen f ( x ), wobei f über den Gelfand-Raum von A reicht . Zusammen mit der Spektralradiusformel zeigt dies, dass  eine Teilmenge der Einheitskugel von A* ist und als solche die relative schwache*-Topologie erhalten kann. Dies ist die Topologie der punktweisen Konvergenz. Ein Netz { f _k } _k von Elementen des Spektrums A konvergiert zu f , wenn und nur wenn für jeden x in A , das Netz komplexer Zahlen { f _k ( x )} _k konvergiert zu f ( x ).

Wenn A eine separierbare C*-Algebra ist, ist die schwache*-Topologie auf beschränkten Teilmengen metrisierbar . Somit kann das Spektrum einer separierbaren kommutativen C*-Algebra A als metrischer Raum aufgefasst werden. Die Topologie lässt sich also über die Konvergenz von Folgen charakterisieren.

Äquivalent ist σ( x ) der Bereich von γ( x ), wobei γ die Gelfand-Darstellung ist.

Aussage des kommutativen Gelfand-Naimark-Theorems

Sei A eine kommutative C*-Algebra und sei X das Spektrum von A . Lassen

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

sei die oben definierte Gelfand-Darstellung.

Satz . Die Gelfand-Abbildung γ ist ein isometrischer *-Isomorphismus von A auf C ₀ ( X ).

Siehe die Arveson-Referenz unten.

Das Spektrum einer kommutativen C*-Algebra kann auch als Menge aller maximalen Ideale m von A mit der Hüllen-Kernel-Topologie betrachtet werden . (Siehe die früheren Bemerkungen für den allgemeinen, kommutativen Banach-Algebra-Fall.) Für jedes solche m ist die Quotientenalgebra A/m eindimensional (nach dem Satz von Gelfand-Mazur), und daher führt jedes a in A zu einem Komplex- bewertete Funktion auf Y .

Bei C*-Algebren mit Einheit führt die Spektrumabbildung zu einem kontravarianten Funktor aus der Kategorie der C*-Algebren mit einheits- und einheitenerhaltenden stetigen *-Homomorphismen, zur Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume und stetigen Abbildungen. Dieser Funktor ist die Hälfte einer kontravarianten Äquivalenz zwischen diesen beiden Kategorien (sein Adjungierter ist der Funktor, der jedem kompakten Hausdorff-Raum X die C*-Algebra C ₀ ( X ) zuordnet ). Insbesondere kompakter Hausdorff Räume gegeben X und Y , dann C ( X ) isomorph zu C ( Y ) (als C * -Algebra) , wenn und nur wenn X ist homeomorphic zu Y .

Der 'vollständige' Gelfand-Naimark-Satz ist ein Ergebnis für beliebige (abstrakte) nichtkommutative C*-Algebren A , die zwar nicht ganz analog zur Gelfand-Darstellung sind, aber eine konkrete Darstellung von A als Algebra von Operatoren liefern .

Anwendungen

Eine der wichtigsten Anwendungen ist die Existenz eines stetigen Funktionalkalküls für normale Elemente in der C*-Algebra A : Ein Element x ist genau dann normal, wenn x mit seinem adjungierten x* kommutiert , oder äquivalent genau dann, wenn es a . erzeugt kommutative C*-Algebra C*( x ). Nach dem Gelfand-Isomorphismus auf C*( x ) ist dies *-isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokal kompakten Raum. Diese Beobachtung führt fast sofort zu:

Satz . Sei A eine C*-Algebra mit Identität und x ein Element von A . Dann gibt es einen *-Morphismus f → f ( x ) aus der Algebra stetiger Funktionen auf dem Spektrum σ( x ) in A mit

• Es bildet 1 auf die multiplikative Identität von A ab ;
• Es bildet die Identitätsfunktion des Spektrums auf x ab .

Dies erlaubt uns, stetige Funktionen auf beschränkte Normaloperatoren im Hilbertraum anzuwenden.

Verweise

• Arveson, W. (1981). Eine Einladung zu C*-Algebren . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1973). Schließe Normierte Algebren ab . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Ein Kurs in Funktionsanalyse . Abschlusstexte der Mathematik. 96 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
• Wiener, N. (1932). „Taubersche Sätze“. Ann. von Mathe . II. Annalen der Mathematik. 33 (1): 1–100. doi : 10.2307/1968102 . JSTOR  1968102 .