Geodätisches Polyeder - Geodesic polyhedron

3 Konstruktionen für eine {3,5+} _6,0



Ein Ikosaeder und verwandte Symmetriepolyeder können verwendet werden, um ein hochgeodätisches Polyeder zu definieren, indem dreieckige Flächen in kleinere Dreiecke unterteilt und alle neuen Eckpunkte auf eine Kugel projiziert werden. Polygonale Flächen höherer Ordnung können durch Hinzufügen neuer Scheitelpunkte, die auf jeder Fläche zentriert sind, in Dreiecke unterteilt werden. Die neuen Flächen auf der Kugel sind keine gleichseitigen Dreiecke , aber sie haben ungefähr die gleiche Kantenlänge. Alle Scheitelpunkte sind Valenz 6, mit Ausnahme von 12 Scheitelpunkten, die Valenz 5 sind.

Konstruktion von {3,5+} _3,3

Geodätische Unterteilungen können auch von einem Augumented Dodekaeder aus vorgenommen werden, indem Pentagone in Dreiecke mit einem Mittelpunkt unterteilt und von diesem unterteilt werden.

Konstruktion von {3,5+} _6,3

Chirale Polyeder mit polygonalen Flächen höherer Ordnung können mit zentralen Punkten und neuen Dreiecksflächen ergänzt werden. Diese Dreiecke können dann für neue geodätische Polyeder weiter in kleinere Dreiecke unterteilt werden. Alle Scheitelpunkte sind Valenz-6, mit Ausnahme der 12, die auf den ursprünglichen Scheitelpunkten zentriert sind, die Valenz 5 sind.

Konstruktion einer gemischten geodätischen Form

Geodätische Unterteilungen können auch durch vergrößerte quadratische Flächen erfolgen, obwohl die resultierenden Dreiecke eher rechtwinklig als gleichseitig sind. Dieses Rhombicosidodekaeder- Beispiel hat 4 bis 7 Dreiecke um jeden Scheitelpunkt.

Ein geodätisches Polyeder ist ein konvexes Polyeder aus Dreiecken. Sie haben normalerweise eine ikosaedrische Symmetrie , so dass sie 6 Dreiecke an einem Scheitelpunkt haben, mit Ausnahme von 12 Scheitelpunkten, die 5 Dreiecke haben. Sie sind das Dual der entsprechenden Goldberg-Polyeder mit meist sechseckigen Flächen.

Geodätische Polyeder sind für viele Zwecke eine gute Annäherung an eine Kugel und treten in vielen verschiedenen Kontexten auf. Am bekanntesten sind möglicherweise die von Buckminster Fuller entworfenen geodätischen Kuppeln , nach denen geodätische Polyeder benannt sind. In der Geodäsie verwendete geodätische Gitter haben auch die Geometrie geodätischer Polyeder. Die Kapside einiger Viren haben die Form von geodätischen Polyedern, und Fullerenmoleküle haben die Form von Goldberg-Polyedern . Geodätische Polyeder sind als geometrische Grundelemente im Blender 3D-Modellierungssoftwarepaket verfügbar , das sie als Icosphären bezeichnet : Sie sind eine Alternative zur UV-Kugel und weisen eine regelmäßigere Verteilung der Scheitelpunkte auf als die UV-Kugel. Die Goldberg-Coxeter-Konstruktion ist eine Erweiterung der Konzepte, die geodätischen Polyedern zugrunde liegen.

Geodätische Notation

In Magnus Wenninger ‚s Spherical Modellen sind Polyeder gegeben geodätische Notation in der Form {3, q +} _{b , c} , wobei {3, q } das ist Schläfli Symbol für das regelmäßige Polyeder mit dreieckigen Flächen, und Q- Valenz Vertices. Das Symbol + zeigt die Wertigkeit der Eckpunkte an, die erhöht werden. b , c stellen eine Unterteilungsbeschreibung dar, wobei 1,0 die Grundform darstellt. Es gibt 3 Symmetrieklassen von Formen: {3,3+} _1,0 für ein Tetraeder , {3,4+} _1,0 für ein Oktaeder und {3,5+} _1,0 für ein Ikosaeder .

Die doppelte Notation für Goldberg-Polyeder lautet { q +, 3} _{b , c} mit Valenz-3-Eckpunkten mit q- gonalen und hexagonalen Flächen. Es gibt 3 Symmetrieklassen von Formen: {3 +, 3} _1,0 für einen Tetraeder , {4 +, 3} _1,0 für einen Würfel und {5 +, 3} _1,0 für ein Dodekaeder .

Die Werte für b , c sind in drei Klassen unterteilt:

Klasse I (b = 0 oder c = 0): {3, q +} _{b , 0} oder {3, q +} _{0, b} stellen eine einfache Unterteilung dar, wobei die ursprünglichen Kanten in b Unterkanten unterteilt sind.

Klasse II (b = c): {3, q +} _{b , b} sind aus dem Doppelpolyeder { q , 3} leichter zu erkennen , wobei q- gonale Flächen zuerst in Dreiecke mit einem Mittelpunkt unterteilt werden und dann alle Kanten geteilt werden in b Unterkanten.

Klasse III : {3, q +} _{b , c} haben ungleiche ungleiche Werte für b , c und existieren in chiralen Paaren. Für b > c können wir es als rechtshändige Form definieren, und c > b ist eine linkshändige Form.

Unterteilungen in Klasse III richten sich hier nicht einfach nach den ursprünglichen Kanten aus. Die Teilgitter können extrahiert werden, indem eine dreieckige Kachel betrachtet wird , ein großes Dreieck über Gitterscheitelpunkten und Gehwegen von einem Scheitelpunkt b in eine Richtung und eine Drehung entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn und dann eine weitere c zum nächsten positioniert wird primärer Scheitelpunkt.

Zum Beispiel ist das Ikosaeder {3,5+} _1,0 und das Pentakis-Dodekaeder {3,5+} _1,1 wird als reguläres Dodekaeder mit fünfeckigen Flächen angesehen, die in 5 Dreiecke unterteilt sind.

Die Primärfläche der Unterteilung wird als polyedrisches Hauptdreieck (PPT) oder als Durchbruchstruktur bezeichnet . Durch die Berechnung einer einzelnen PPT kann die gesamte Figur erstellt werden.

Die Frequenz eines geodätischen Polyeders wird durch die Summe von ν = b + c definiert . Eine Harmonische ist eine Unterfrequenz und kann ein ganzer Teiler von ν sein . Klasse II hat immer eine Harmonische von 2, da ν = 2 b .

Die Triangulationszahl ist T = b ² + bc + c ² . Diese Anzahl multipliziert mit der Anzahl der ursprünglichen Flächen gibt an, wie viele Dreiecke das neue Polyeder haben wird.

**PPTs mit der Frequenz 8**

Elemente

Die Anzahl der Elemente wird durch die Triangulationsnummer angegeben . Zwei verschiedene geodätische Polyeder können die gleiche Anzahl von Elementen haben, zum Beispiel {3,5+} _5,3 und {3,5+} _{7,0 haben} beide T = 49. ${\ displaystyle T = b ^ {2} + bc + c ^ {2}}$

Symmetrie	Ikosaeder	Oktaeder	Tetraeder
Base	Ikosaeder {3,5} = {3,5+} _1,0	Oktaeder {3,4} = {3,4+} _1,0	Tetraeder {3,3} = {3,3+} _1,0
Bild
Symbol	{3,5+} _{b , c}	{3,4+} _{b , c}	{3,3+} _{b , c}
Eckpunkte	${\ displaystyle 10T + 2}$	${\ displaystyle 4T + 2}$	${\ displaystyle 2T + 2}$
Gesichter	${\ displaystyle 20T}$	${\ displaystyle 8T}$	${\ displaystyle 4T}$
Kanten	${\ displaystyle 30T}$	${\ displaystyle 12T}$	${\ displaystyle 6T}$

Konstruktion

Geodätische Polyeder werden konstruiert, indem Flächen einfacher Polyeder unterteilt und dann die neuen Eckpunkte auf die Oberfläche einer Kugel projiziert werden. Ein geodätisches Polyeder hat gerade Kanten und flache Flächen, die sich einer Kugel annähern. Es kann jedoch auch als sphärisches Polyeder ( Tessellation auf einer Kugel ) mit echten geodätisch gekrümmten Kanten auf der Oberfläche einer Kugel und sphärischen Dreiecksflächen hergestellt werden .

Conway	u ₃ I = (kt) I.	(k) tI	ktI
Bild
Bilden	3-Frequenz- unterteiltes Ikosaeder	Kis abgeschnittenes Ikosaeder	Geodätisches Polyeder (3,0)	Sphärisches Polyeder

In diesem Fall {3,5+} _3,0 mit Häufigkeit und Triangulationszahl hat jede der vier Versionen des Polygons 92 Eckpunkte (80, an denen sich sechs Kanten verbinden, und 12, an denen sich fünf verbinden), 270 Kanten und 180 Flächen . ${\ displaystyle \ nu = 3}$ ${\ displaystyle T = 9}$

Beziehung zu Goldberg-Polyedern

Geodätische Polyeder sind das Duale der Goldberg-Polyeder. Goldberg-Polyeder sind auch insofern verwandt, als das Anwenden eines kis-Operators (Teilen von Flächendreiecken mit einem Mittelpunkt) neue geodätische Polyeder erzeugt und das Abschneiden von Eckpunkten eines geodätischen Polyeders ein neues Goldberg-Polyeder erzeugt. Zum Beispiel wird Goldberg G (2,1) kised , wird zu {3,5+} _4,1 und das Abschneiden wird zu G (6,3). Und in ähnlicher Weise wird {3,5+} _2,1 abgeschnitten zu G (4,1), und das Kised wird zu {3,5+} _6,3 .

Beispiele

Klasse I.

Geodätische Polyeder der Klasse I.
Frequenz	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	( m , 0)
T.	1	4	9	16	25	36	49	64	m ²
Gesicht Dreieck									...
Ikosaeder									Mehr
Oktaeder									Mehr
Tetraeder									Mehr

Klasse II

Geodätische Polyeder der Klasse II
Frequenz	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	( m , m )
T.	3	12	27	48	75	108	147	192	3 m ²
Gesicht Dreieck									...
Ikosaeder									Mehr
Oktaeder									Mehr
Tetraeder									Mehr

Klasse III

Geodätische Polyeder der Klasse III
Frequenz	(2,1)	(3,1)	(3,2)	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(5,1)	(5,2)	( m , n )
T.	7	13	19	21	28	37	31	39	m ² + mn + n ²
Gesicht Dreieck									...
Ikosaeder									Mehr
Oktaeder									Mehr
Tetraeder									Mehr

Sphärische Modelle

Magnus Wenningers Buch Spherical Models untersucht diese Unterteilungen beim Aufbau von Polyedermodellen . Nachdem er die Konstruktion dieser Modelle erklärt hatte, erklärte er seine Verwendung von dreieckigen Gittern zum Markieren von Mustern, wobei Dreiecke in den Modellen farbig oder ausgeschlossen waren.

Beispielmodell
Ein von Pater Magnus Wenninger geschaffenes künstlerisches Modell namens Order in Chaos , das eine chirale Teilmenge von Dreiecken einer ikosaedrischen geodätischen Kugel mit 16 Frequenzen darstellt , {3,5+} _16,0	Eine virtuelle Kopie, die ikosaedrische Symmetrie- Großkreise zeigt . Die 6-fache Rotationssymmetrie ist illusionär und existiert nicht auf dem Ikosaeder selbst.	Ein einzelnes ikosaedrisches Dreieck mit einer 16-Frequenz-Unterteilung

Siehe auch

Conway-Polyeder-Notation

Verweise

Robert Williams Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellenbuch des Entwurfs , 1979, S. 142–144, Abbildung 4-49,50,51 Cluster aus 12 Kugeln, 42 Kugeln, 92 Kugeln
Antony Pugh, Polyeder: ein visueller Ansatz , 1976, Kapitel 6. Die geodätischen Polyeder von R. Buckminster Fuller und verwandten Polyedern
Wenninger, Magnus (1979), Sphärische Modelle , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29432-4 , MR 0552023 , archiviert vom Original am 4. Juli 2008 Nachdruck von Dover 1999 ISBN 978-0-486-40921-4
Edward S. Popko, Geteilte Kugeln: Geodäten und die geordnete Unterteilung der Kugel (2012) Kapitel 8 Unterteilungsschemata, 8.1 Geodätische Notation, 8.2 Triangulationszahl 8.3 Frequenz und Harmonische 8.4 Gittersymmetrie 8.5 Klasse I: Alternativen und Furten 8.5.1 Definition der Hauptdreieck 8.5.2 Kantenreferenzpunkte

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