Der Analytiker -The Analyst

Für andere Verwendungen siehe The Analyst (Begriffsklärung) .

The Analyst (Untertitel A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician: Wherein It is Examined Ob the Object, Principles and Inferences of the Modern Analysis Are Definitiver Konzeptioned, or Evidible Deduated, Than Religious Mysteries and Points of Faith ) ist ein veröffentlichtes Buch von George Berkeley im Jahr 1734. Der "ungläubige Mathematiker" soll Edmond Halley gewesen sein , obwohl andere spekuliert haben, dass Sir Isaac Newton beabsichtigt war.

Hintergrund und Zweck

Von seinen frühesten Tagen als Schriftsteller an hatte Berkeley seine satirische Feder zur Hand genommen, um das anzugreifen, was man damals „ Freidenker “ nannte (Säkularisten, Skeptiker, Agnostiker, Atheisten usw. – kurz gesagt jeden, der an den Wahrheiten der angenommenen christlichen Religion zweifelte oder forderte eine Verringerung der Religion im öffentlichen Leben). Im Jahr 1732 veröffentlichte Berkeley in der neuesten Folge dieser Bemühungen seinen Alciphron , eine Reihe von Dialogen, die sich an verschiedene Arten von "Freidenkern" richteten. Einer der Archetypen, die Berkeley ansprach, war der weltliche Wissenschaftler, der christliche Mysterien als unnötigen Aberglauben abwarf und sein Vertrauen in die Gewissheit der menschlichen Vernunft und Wissenschaft erklärte. Gegen seine Argumente verteidigte Berkeley die Gültigkeit und Nützlichkeit dieser Elemente des christlichen Glaubens subtil.

Alciphron wurde viel gelesen und sorgte für einiges Aufsehen. Aber es war ein beiläufiger Kommentar, der Berkeleys Argumente des „freidenkenden“ königlichen Astronomen Sir Edmund Halley verspottete , der Berkeley dazu veranlasste, seinen Stift wieder zu greifen und einen neuen Weg zu versuchen. Das Ergebnis war The Analyst , konzipiert als Satire, die die Grundlagen der Mathematik mit derselben Kraft und demselben Stil angreift, wie „Freidenker“ routinemäßig religiöse Wahrheiten angreifen.

Berkeley versuchte, die Mathematik auseinanderzunehmen, behauptete, zahlreiche Beweislücken aufzudecken, griff die Verwendung von Infinitesimalen, die Diagonale des Einheitsquadrats, die Existenz von Zahlen usw. an. Der allgemeine Punkt war nicht so sehr, Mathematik oder Mathematiker zu verspotten, sondern eher um zu zeigen, dass Mathematiker wie Christen sich bei ihren Überlegungen auf unverständliche „Geheimnisse“ verließen. Darüber hinaus war die Existenz dieses „Aberglaubens“ für das mathematische Denken nicht tödlich, sondern eine Hilfestellung. So auch bei den Gläubigen und ihren „Geheimnissen“. Berkeley kam zu dem Schluss, dass die Sicherheit der Mathematik nicht größer ist als die der Religion.

Inhalt

Der Analytiker war ein direkter Angriff auf die Grundlagen der Infinitesimalrechnung , insbesondere auf Newtons Konzept der Fluxionen und auf Leibniz ' Konzept der infinitesimalen Veränderung. In Abschnitt 16 kritisiert Berkeley

...die trügerische Art, bei der Annahme eines Inkrements zu einem bestimmten Punkt zu gelangen und dann sofort Ihre Annahme zu der ohne Inkrement zu verschieben. . . Denn wäre diese zweite Vermutung vor der gemeinsamen Division um o gemacht worden , so wäre alles auf einmal verschwunden, und Sie müssen durch Ihre Vermutung nichts bekommen haben. Während Sie durch diesen Kunstgriff, zuerst zu teilen und dann Ihre Annahme zu ändern, behalten Sie 1 und nx n-1 . Aber trotz all dieser Adresse, die es abdeckt, ist der Trugschluss immer noch derselbe.

Seine am häufigsten zitierte Passage:

Und was sind diese Fluxionen? Die Geschwindigkeiten evaneszenter Inkremente? Und was sind diese gleichen vergänglichen Inkremente? Sie sind weder endliche Mengen noch unendlich kleine Mengen, noch nichts. Dürfen wir sie nicht die Geister der verstorbenen Quantitäten nennen?

Berkeley bestritt die Ergebnisse der Infinitesimalrechnung nicht; er bestätigte, dass die Ergebnisse wahr waren. Die Stoßrichtung seiner Kritik war, dass Infinitesimalrechnung nicht logisch strenger war als Religion. Er stellte stattdessen die Frage, ob Mathematiker sich "der Autorität unterwerfen, die Dinge auf Vertrauen nehmen", so wie es Anhänger religiöser Grundsätze taten. Berkeley führte laut Burton eine ausgeklügelte Theorie der Kompensation von Fehlern ein, die die Richtigkeit der Ergebnisse der Infinitesimalrechnung erklären sollte. Berkeley behauptete, dass die Praktiker der Infinitesimalrechnung mehrere Fehler einführten, die annullierten und die richtige Antwort hinterließen. In seinen eigenen Worten: "Durch einen zweifachen Fehler gelangt man zwar nicht zur Wissenschaft, aber zur Wahrheit."

Analyse

Die Vorstellung, dass Newton der beabsichtigte Adressat des Diskurses war, wird durch eine Passage in Frage gestellt, die gegen Ende des Buches erscheint: "Frage 58: Ob es wirklich eine Wirkung des Denkens ist, dass die gleichen Männer den großen Autor für seine Fluktuationen und verspotten ihn für seine Religion?"

Hier verspottet Berkeley diejenigen, die Newton (den Erfinder der "Fluxionen", ungefähr gleichbedeutend mit den Differentialen späterer Versionen der Differentialrechnung) als Genie feiern, während er seine bekannte Religiosität verspottet. Da Berkeley hier ausdrücklich auf Newtons religiösen Glauben hinweist, scheint dies darauf hinzudeuten, dass er seine Leser nicht damit meinte, den „ungläubigen (dh ungläubigen) Mathematiker“ mit Newton gleichzusetzen.

Die Mathematikhistorikerin Judith Grabiner kommentiert: „Berkeleys Kritik an der Strenge der Infinitesimalrechnung war witzig, unfreundlich und – in Bezug auf die von ihm kritisierte mathematische Praxis – im Wesentlichen richtig“. Während seine Kritiken der mathematischen Praktiken solide waren, wurde sein Essay aus logischen und philosophischen Gründen kritisiert.

David Sherry argumentiert beispielsweise, dass Berkeleys Kritik an der Infinitesimalrechnung aus einer logischen Kritik und einer metaphysischen Kritik besteht. Die logische Kritik ist die einer fallacia suppositionis , was bedeutet, in einer Argumentation durch eine Annahme Punkte zu gewinnen und unter Beibehaltung dieser Punkte die Argumentation mit einer widersprüchlichen Annahme abzuschließen. Die metaphysische Kritik ist eine Herausforderung für die Existenz von Konzepten wie Fluxionen, Momenten und Infinitesimals und wurzelt in Berkeleys empiristischer Philosophie, die keinen Ausdruck ohne Referenten duldet. Andersen (2011) zeigte, dass Berkeleys Doktrin der Fehlerkompensation eine logische Zirkularität enthält. Berkeley stützt sich nämlich auf die Bestimmung des Tangens der Parabel durch Apollonius in Berkeleys eigener Bestimmung der Ableitung der quadratischen Funktion.

Beeinflussen

Zwei Jahre nach dieser Veröffentlichung veröffentlichte Thomas Bayes anonym "An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defense of the Mathematicians Against the Objections of the Author of the Analyst" (1736), in dem er die logische Grundlage von Isaac Newtons Kalkül verteidigte gegen die Kritik, die in The Analyst skizziert wird . Colin Maclaurins 1742 veröffentlichte zweibändige Abhandlung von Fluxions begann ebenfalls als Reaktion auf Berkeley-Angriffe, um zu zeigen, dass Newtons Kalkül rigoros war, indem er ihn auf die Methoden der griechischen Geometrie reduzierte.

Trotz dieser Versuche wurde die Infinitesimalrechnung mit nicht-rigorosen Methoden weiter entwickelt, bis um 1830 Augustin Cauchy und später Bernhard Riemann und Karl Weierstrass die Ableitung und das Integral mit einer strengen Definition des Grenzwertbegriffs neu definierten . Die Idee, Grenzen als Grundlage für die Kalküle zu verwenden, wurde von d'Alembert vorgeschlagen , aber d'Alemberts Definition war nach modernen Maßstäben nicht streng. Der Begriff der Grenzen war bereits bei Newton aufgetaucht, aber nicht klar genug formuliert, um der Kritik Berkeleys standzuhalten.

1966 führte Abraham Robinson die Nicht-Standard-Analyse ein , die eine rigorose Grundlage für die Arbeit mit unendlich kleinen Mengen lieferte. Dies bot eine andere Möglichkeit, die Infinitesimalrechnung auf eine mathematisch strenge Grundlage zu stellen, wie es vor der vollständigen Entwicklung der (ε, δ)-Definition des Grenzwerts gemacht wurde.

Geister der abgeschiedenen Mengen

Gegen Ende von The Analyst spricht Berkeley mögliche Begründungen für die Grundlagen der Infinitesimalrechnung an, die Mathematiker vorbringen können. Als Reaktion auf die Idee, dass Fluxionen mithilfe von ultimativen Verhältnissen verschwindender Mengen definiert werden könnten, schrieb Berkeley:

Es muss in der Tat anerkannt werden, dass [Newton] Fluxions, wie das Gerüst eines Gebäudes, als Dinge benutzte, die beiseite gelegt oder beseitigt werden sollten, sobald endliche Linien proportional zu ihnen gefunden wurden. Aber dann werden diese endlichen Exponenten mit Hilfe von Fluxions gefunden. Was also solche Exponenten und Proportionen erhalten, ist den Fluxionen zuzuschreiben, die also vorher verstanden werden müssen. Und was sind diese Fluxionen? Die Geschwindigkeiten evaneszenter Inkremente? Und was sind diese gleichen vergänglichen Inkremente? Sie sind weder endliche Mengen noch unendlich kleine Mengen, noch nichts. Dürfen wir sie nicht die Geister der abgeschiedenen Quantitäten nennen?

Edwards beschreibt dies als den denkwürdigsten Punkt des Buches. Katz und Sherry argumentieren, dass der Ausdruck sowohl Infinitesimals als auch Newtons Theorie der Fluxionen ansprechen sollte.

Heute wird der Ausdruck "Geister der abgewanderten Mengen" auch verwendet, wenn Berkeleys Angriffe auf andere mögliche Grundlagen der Infinitesimalrechnung diskutiert werden. Es wird insbesondere bei der Diskussion von Infinitesimals verwendet , aber es wird auch bei der Diskussion von Differentialen und Ungleichheit verwendet .

Text und Kommentar

Der vollständige Text von The Analyst kann auf Wikisource sowie auf der Website von David R. Wilkins gelesen werden, die einige Kommentare und Links zu Antworten von Berkeley-Zeitgenossen enthält.

Der Analytiker wird auch in neueren Werken kommentiert:

  • William Ewalds From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics .

Ewald kommt zu dem Schluss, dass Berkeleys Einwände gegen das Kalkül seiner Zeit damals meist gut aufgenommen wurden.

  • DM Jessephs Übersicht in den "Landmark Writings in Western Mathematics" von 2005.

Verweise

Quellen

Externe Links