Hyperboloid-Modell - Hyperboloid model

Der rote Kreisbogen ist im Poincaré-Scheibenmodell geodätisch ; es projiziert auf die braune Geodäte auf dem grünen Hyperboloid.

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Animation einer partiellen {7,3}-Hyperbelkachelung des Hyperboloids, gedreht in die Poincare-Perspektive.

In der Geometrie ist das Hyperboloidmodell , nach Hermann Minkowski auch Minkowski - Modell genannt , ein Modell der n - dimensionalen hyperbolischen Geometrie , bei dem Punkte durch die Punkte auf der vorderen Schicht S ⁺ eines zweischichtigen Hyperboloids in ( n + 1)-dimensionaler Minkowski-Raum und m- Ebenen werden durch die Schnittpunkte der ( m +1)-Ebenen im Minkowski-Raum mit S ^{+ dargestellt} . Die hyperbolische Distanzfunktion lässt in diesem Modell einen einfachen Ausdruck zu. Das Hyperboloidmodell des n- dimensionalen hyperbolischen Raums ist eng mit dem Beltrami-Klein-Modell und dem Poincaré-Scheibenmodell verwandt, da es sich um projektive Modelle in dem Sinne handelt, dass die Isometriegruppe eine Untergruppe der projektiven Gruppe ist .

Minkowski quadratische Form

Wenn ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) ein Vektor im ( n + 1) -dimensionalen Koordinatenraum R ^{n +1 ist} , ist die Minkowski- Quadratform definiert als

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2}.}$

Die Vektoren v ∈ R ^{n + 1} , so dass Q ( v ) = 1 bildet eine n -dimensionale Hyperboloid S , bestehend aus zwei verbundenen Komponenten oder Blättern : die Vorwärts oder Zukunft, Blatt S ⁺ , wobei x ₀ > 0 und die Rückwärts , oder Vergangenheit, Blatt S ^– , wobei x ₀ < 0. Die Punkte des n- dimensionalen Hyperboloidmodells sind die Punkte auf dem vorderen Blatt S ⁺ .

Die Minkowski- Bilinearform B ist die Polarisation der Minkowski-Quadratform Q ,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

Ausdrücklich,

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0} y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

Der hyperbolische Abstand zwischen zwei Punkten u und v von S ⁺ ist gegeben durch die Formel

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

wobei arcosh die Umkehrfunktion des hyperbolischen Kosinus ist .

Gerade Linien

Eine Gerade im hyperbolischen n- Raum wird durch eine Geodäte auf dem Hyperboloid modelliert . Eine Geodäte auf dem Hyperboloid ist der (nicht leere) Schnittpunkt des Hyperboloids mit einem zweidimensionalen linearen Unterraum (einschließlich des Ursprungs) des n +1-dimensionalen Minkowski-Raums. Nehmen wir u und v als Basisvektoren dieses linearen Unterraums mit

${\displaystyle B(\mathbf{u},\mathbf{u})=1}$

${\displaystyle B(\mathbf{v},\mathbf{v})=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf{u},\mathbf{v})=B(\mathbf{v},\mathbf{u})=0}$

und w als reellen Parameter für Punkte auf der Geodäte verwenden, dann

${\displaystyle\mathbf{u}\coshw+\mathbf{v}\sinhw}$

wird ein Punkt auf der Geodäte sein.

Allgemeiner gesagt wird eine k- dimensionale "Flache" im hyperbolischen n- Raum durch den (nicht leeren) Schnittpunkt des Hyperboloids mit einem k +1-dimensionalen linearen Unterraum (einschließlich des Ursprungs) des Minkowski-Raums modelliert .

Isometrien

Die unbestimmt orthogonale Gruppe O (1, n ), die auch (genannt n + 1) -dimensionalen Lorentz - Gruppe , ist die Lie - Gruppe von realen ( n + 1) × ( n + 1) Matrizen , die die Minkowski bilinearer Form bewahren. In einer anderen Sprache ist es die Gruppe der linearen Isometrien des Minkowski-Raums . Insbesondere bewahrt diese Gruppe das Hyperboloid S . Denken Sie daran, dass unbestimmte orthogonale Gruppen vier verbundene Komponenten haben, entsprechend der Umkehrung oder Beibehaltung der Orientierung auf jedem Unterraum (hier 1-dimensional und n- dimensional) und bilden eine Klein-Viergruppe . Die Untergruppe von O(1, n ), die das Vorzeichen der ersten Koordinate bewahrt, ist die orthochrone Lorentz-Gruppe , bezeichnet mit O ⁺ (1, n ) und hat zwei Komponenten, entsprechend der Erhaltung oder Umkehrung der Orientierung des räumlichen Unterraums. Ihre Untergruppe SO ⁺ (1, n ) bestehend aus Matrizen mit Determinante Eins ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe der Dimension n ( n + 1)/2, die auf S ⁺ durch lineare Automorphismen wirkt und den hyperbolischen Abstand erhält. Diese Aktion ist transitiv und der Stabilisator des Vektors (1,0,...,0) besteht aus den Matrizen der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

Wo gehört zur kompakten speziellen orthogonalen Gruppe SO( n ) (Verallgemeinerung der Rotationsgruppe SO(3) für n = 3 ). Daraus folgt, dass der n- dimensionale hyperbolische Raum als homogener Raum und als Riemannscher symmetrischer Raum vom Rang 1 dargestellt werden kann. ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb{H}^{n}=\mathrm{SO}^{+}(1,n)/\mathrm{SO} (n).}$

Die Gruppe SO ⁺ (1, n ) ist die vollständige Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien des n- dimensionalen hyperbolischen Raums.

Konkreter ausgedrückt kann SO ⁺ (1, n ) in n ( n -1)/2 Rotationen (gebildet mit einer regulären euklidischen Rotationsmatrix im unteren rechten Block) und n hyperbolische Translationen aufgeteilt werden, die die Form annehmen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\ldots \\\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\ldots \\0&0&1&\\\vdots &\vdots &&\ddots \\ \end{pmatrix}}}$

wobei die Distanz verschoben ist ( in diesem Fall entlang der x- Achse), und die 2. Reihe/Spalte kann gegen ein anderes Paar ausgetauscht werden, um zu einer Verschiebung entlang einer anderen Achse zu wechseln. Die allgemeine Form einer Verschiebung in 3 Dimensionen entlang des Vektors ist: ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\x&{\frac {x^{2}}{w+1}}+1&{\frac {yx}{w+1}}&{\frac {zx} {w+1}}\\y&{\frac {xy}{w+1}}&{\frac {y^{2}}{w+1}}+1&{\frac {zy}{w+1 }}\\z&{\frac {xz}{w+1}}&{\frac {yz}{w+1}}&{\frac {z^{2}}{w+1}}+1\ \\end{pmatrix}}}$wo .${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$

Dies erstreckt sich natürlich auf weitere Dimensionen und ist auch die vereinfachte Version eines Lorentz-Boosts, wenn Sie die relativitätsspezifischen Terme entfernen.

Beispiele für Isometriegruppen

Die Gruppe aller Isometrien des Hyperboloidmodells ist O ⁺ (1, n ). Jede Gruppe von Isometrien ist eine Untergruppe davon.

Reflexionen

Für zwei Punkte gibt es eine einzigartige Reflexion, die sie austauscht. ${\displaystyle\mathbf{p},\mathbf{q}\in\mathbb{H}^{n},\mathbf{p}\neq\mathbf{q}}$

Lassen Sie . Beachten Sie, dass und daher . ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {-Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$${\displaystyle Q(\mathbf{u})=-1}$${\displaystyle u\notin\mathbb{H}^{n}}$

Dann

${\displaystyle\mathbf{x}\mapsto\mathbf{x}+2B(\mathbf{x},\mathbf{u})\mathbf{u}}$

ist eine Reflexion, die austauscht und . Dies entspricht der folgenden Matrix: ${\displaystyle\mathbf{p}}$${\displaystyle\mathbf{q}}$

${\displaystyle R=I+2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}1&0\\0&-I\\\end{pmatrix}}}$

(beachten Sie die Verwendung der Blockmatrixnotation ).

Dann ist eine Gruppe von Isometrien. Alle diese Untergruppen sind konjugiert . ${\displaystyle \{I,R\}}$

Drehungen und Spiegelungen

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}$

ist die Gruppe von Drehungen und Reflexionen, die . Die Funktion ist ein Isomorphismus von O( n ) zu dieser Gruppe. Für jeden Punkt , wenn eine Isometrie , dass die Karten auf , dann ist die Gruppe von Rotationen und Reflexionen , die bewahren . ${\displaystyle (1,0,\dots,0)}$${\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\dots,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle XSX^{-1}}$${\displaystyle p}$

Übersetzungen

Für jede reelle Zahl gibt es eine Übersetzung ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}}$

Dies ist eine Verschiebung des Abstands in die positive x-Richtung if oder des Abstands in die negative x-Richtung if . Jede Übersetzung von Abstand wird zu und konjugiert . Die Menge ist die Gruppe von Translationen durch die x-Achse, und eine Gruppe von Isometrien ist genau dann dazu konjugiert, wenn es sich um eine Gruppe von Isometrien durch eine Linie handelt. ${\displaystyle t}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle -t}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L_{t}}$${\displaystyle L_{-t}}$${\displaystyle \left\{L_{t}:t\in\mathbb{R}\right\}}$

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten die Gruppe der Übersetzungen durch eine Zeile finden . Lassen Sie werden eine Isometrie , dass die Karten auf und lassen eine Isometrie sein , dass Korrekturen und Karten zu . Ein Beispiel für ein solches ist eine Reflexion, die und (vorausgesetzt, sie sind unterschiedlich) tauscht , weil sie beide den gleichen Abstand von haben . Dann ist eine Isometrieabbildung auf und ein Punkt auf der positiven x-Achse auf . ist eine Übersetzung durch die Distanzlinie . Wenn , ist es in der Richtung. Wenn , ist es in der Richtung. ist die Gruppe der Übersetzungen durch . ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\dots,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle XL_{d(\mathbf{p},\mathbf{q})}[1,0,\dots,0]^{\operatorname {T}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle XL_{d(\mathbf{p},\mathbf{q})}[1,0,\dots,0]^{\operatorname {T}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle YX}$${\displaystyle (1,0,\dots,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle |t|}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q}}}}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p}}}}$${\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in\mathbb{R}\right\}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$

Symmetrien der Horosphären

Sei H eine Horosphäre , in der sich Punkte der Form für beliebig große x darin befinden . Für jeden Vektor b in${\displaystyle (w,x,0,\dots,0)}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&-{\frac {\|\mathbf {b} \|^{ 2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&1-{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\\ \end{pmatrix}}}$

ist eine Hororotation, die H auf sich selbst abbildet . Die Menge solcher Hororotationen ist die Gruppe von Hororotationen, die H erhalten . Alle Hororotationen sind zueinander konjugiert.

Für alle in O( n -1) ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}$

ist eine Drehung oder Spiegelung, die H und die x-Achse beibehält. Diese Hororotationen, Rotationen und Reflexionen erzeugen die Symmetriegruppe von H . Die Symmetriegruppe jeder Horosphäre ist dazu konjugiert. Sie sind isomorph zur euklidischen Gruppe E( n -1).

Geschichte

In mehreren Schriften zwischen 1878 und 1885 verwendete Wilhelm Killing die Darstellung, die er Karl Weierstrass zuschrieb, für die Lobatschewski-Geometrie . Insbesondere er quadratische Formen wie diskutiert oder in beliebigen Dimensionen , in denen die wechselseitige Maß der Krümmung ist, bezeichnet die euklidische Geometrie , elliptische Geometrie und hyperbolische Geometrie. ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}=\infty}$${\displaystyle k^{2}>0}$ ${\displaystyle k^{2}<0}$

Nach Jeremy Gray (1986) verwendete Poincaré 1880 in seinen persönlichen Notizen das Hyperboloid-Modell. Poincaré veröffentlichte seine Ergebnisse 1881, in denen er die Invarianz der quadratischen Form diskutierte . Gray zeigt, wo das Hyperboloid-Modell in späteren Schriften von Poincaré implizit ist. ${\displaystyle \xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}=-1}$

Auch Homersham Cox verwendete 1882 Weierstrass-Koordinaten (ohne diesen Namen zu verwenden), die die Beziehung ebenso erfüllen wie . ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

Eine weitere Enthüllung des Modells wurde 1891 von Alfred Clebsch und Ferdinand Lindemann gegeben, in denen die Beziehung und diskutiert wurde . ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2} }$

Weierstrass-Koordinaten wurden auch von Gérard (1892), Felix Hausdorff (1899), Frederick S. Woods (1903)], Heinrich Liebmann (1905) verwendet.

Das Hyperboloid wurde von Alexander Macfarlane in seinen Papers in Space Analysis (1894) als metrischer Raum erforscht . Er stellte fest, dass Punkte auf dem Hyperboloid geschrieben werden könnten als

${\displaystyle \cosh A+\alpha\sinh A,}$

wobei α ein Basisvektor orthogonal zur Hyperboloidachse ist. Zum Beispiel erhielt er das hyperbolische Gesetz des Kosinus durch die Verwendung seiner Algebra der Physik .

H. Jansen machte das Hyperboloid-Modell zum expliziten Schwerpunkt seiner 1909 erschienenen Arbeit "Repräsentation der hyperbolischen Geometrie auf einem zweischichtigen Hyperboloid". 1993 berichtete WF Reynolds in seinem Artikel im American Mathematical Monthly über die frühe Geschichte des Modells .

Als gängiges Modell des 20. Jahrhunderts wurde es 1907 von Hermann Minkowski in seiner Göttinger Vorlesung „Das Relativitätsprinzip“ mit den Geschwindigkeitsvektoren identifiziert . Scott Walter erinnert in seinem 1999 erschienenen Aufsatz "The Non-Euclidean Style of Minkowskiian Relativity" an Minkowskis Bewusstsein, aber verfolgt die Abstammung des Modells eher auf Hermann Helmholtz als auf Weierstrass und Killing.

In den frühen Jahren der Relativitätstheorie wurde das Hyperboloid-Modell von Vladimir Varićak verwendet , um die Physik der Geschwindigkeit zu erklären. In seiner Rede vor dem Deutschen Mathematikerbund 1912 bezog er sich auf Weierstraß-Koordinaten.

Siehe auch

• Poincaré-Scheibenmodell
• Hyperbolische Quaternionen

Hinweise und Referenzen

• Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometry of Spaces of Constant Curvature , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Hyperbolic Geometry , Springer Undergraduate Mathematics Series (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Grundlagen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Kapitel 3
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Geometry and Topology , Figure 3.10, S. 45, Cambridge University Press , ISBN  0-521-61325-6 , MR 2194744 .
• Ryan, Patrick J. (1986), Euklidische und nichteuklidische Geometrie: Ein analytischer Ansatz , Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Parkkonen, Jouni. "HYPERBOLISCHE GEOMETRIE" (PDF) . Abgerufen am 5. September 2020 .