Lammschicht - Lamb shift

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v t e

Feinstruktur der Energieniveaus in Wasserstoff – relativistische Korrekturen des Bohrschen Modells

In der Physik ist die Lamb-Verschiebung , benannt nach Willis Lamb , eine Energiedifferenz zwischen zwei Energieniveaus ² S _1/2 und ² P _1/2 (in Begriffssymbolnotation ) des Wasserstoffatoms, die von der Dirac-Gleichung nicht vorhergesagt wurde , wonach diese Zustände die gleiche Energie haben sollten.

Die Wechselwirkung zwischen Vakuumenergiefluktuationen und dem Wasserstoffelektron in diesen verschiedenen Orbitalen ist die Ursache der Lamb-Verschiebung, wie nach ihrer Entdeckung gezeigt wurde. Die Lamb-Verschiebung hat seitdem durch Vakuumenergiefluktuationen eine bedeutende Rolle bei der theoretischen Vorhersage der Hawking-Strahlung von Schwarzen Löchern gespielt .

Dieser Effekt wurde erstmals 1947 im Lamb-Retherford-Experiment am Wasserstoff-Mikrowellenspektrum gemessen und diese Messung lieferte den Anstoß für die Renormierungstheorie , um mit den Divergenzen umzugehen . Es war der Vorbote der modernen Quantenelektrodynamik, die von Julian Schwinger , Richard Feynman , Ernst Stueckelberg , Sin-Itiro Tomonaga und Freeman Dyson entwickelt wurde . Lamb erhielt 1955 den Nobelpreis für Physik für seine Entdeckungen im Zusammenhang mit der Lamb-Verschiebung.

Bedeutung

Zu Lambs 65. Geburtstag wandte sich Freeman Dyson wie folgt an ihn: „Diese Jahre, als die Lamb-Verschiebung das zentrale Thema der Physik war, waren goldene Jahre für alle Physiker meiner Generation. Sie waren die ersten, die diese winzige Verschiebung gesehen haben, also schwer fassbar und schwer zu messen, würde unser Denken über Teilchen und Felder verdeutlichen."

Ableitung

Diese heuristische Herleitung der elektrodynamischen Pegelverschiebung folgt dem Ansatz von Theodore A. Welton .

Die mit dem QED-Vakuum verbundenen Schwankungen der elektrischen und magnetischen Felder stören das elektrische Potential aufgrund des Atomkerns . Diese Störung verursacht eine Schwankung der Position des Elektrons , was die Energieverschiebung erklärt. Die Differenz der potentiellen Energie ist gegeben durch

${\displaystyle \Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r} })+\cdots}$

Da die Fluktuationen isotrop sind ,

${\displaystyle \langle \delta {\vec {r}}\rangle_{\rm {vac}}=0,}$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla)^{2}\rangle_{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.}$

So kann man erhalten

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec{r}})^{2}\rangle_{\rm {vac}}\left \langle \nabla^{2}\left({\frac{-e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}}\right)\right\rangle_{\rm {at}} .}$

Die klassische Bewegungsgleichung für die Elektronenverschiebung ( δr ) _{k →} induziert durch eine einzelne Mode des Wellenfeldes von Vektor k → und Frequenz ν ist

${\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},}$

und dies gilt nur, wenn die Frequenz ν größer als ν ₀ in der Bohrschen Bahn ist, . Das Elektron kann auf das fluktuierende Feld nicht reagieren, wenn die Fluktuationen kleiner sind als die Eigenfrequenz des Atoms. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$

Für das bei ν schwingende Feld gilt

${\displaystyle \delta r(t)\cong\delta r(0)e^{-i\nu t}+cc,}$

deshalb

${\displaystyle (\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac { e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+ i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+hc\right)\qquad {\text{mit}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}= \left({\frac{\hbarck/2}{\epsilon_{0}\Omega}}\right)^{1/2},}$

wo ist ein großes Normierungsvolumen (das Volumen der hypothetischen "Box", die das Wasserstoffatom enthält). Durch die Summe über alles${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left ({\frac{e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\ right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2} \left({\frac {\hbarck}{2\epsilon_{0}\Omega}}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi)^{3}}} 4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck} {2\epsilon_{0}\Omega}}\right)&&{\text{da Stetigkeit von }}{\vec {k}}{\text{ impliziert }}\sum _{\vec {k}}\ zu 2{\frac{\Omega}{(2\pi)^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac{1}{2\epsilon_{0}\pi^ {2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{ausgerichtet}}}$

Dieses Ergebnis divergiert, wenn keine Grenzen des Integrals (sowohl bei großen als auch bei kleinen Frequenzen) bestehen. Wie oben erwähnt, wird erwartet, dass diese Methode nur gültig ist, wenn , oder gleichwertig . Sie gilt auch nur für Wellenlängen, die länger als die Compton-Wellenlänge oder gleichwertig sind . Daher kann man die obere und untere Grenze des Integrals wählen und diese Grenzen lassen das Ergebnis konvergieren. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$${\displaystyle k>\pi /a_{0}}$${\displaystyle k<mc/\hbar}$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle_{\rm {vac}}\cong {\frac{1}{2\epsilon_{0}\pi^{ 2}}}\left({\frac{e^{2}}{\hbarc}}\right)\left({\frac{\hbar}{mc}}\right)^{2}\ln { \frac {4\epsilon_{0}\hbarc}{e^{2}}}}$.

Für das Atomorbital und das Coulomb-Potential gilt

${\displaystyle \left\langle \nabla^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\ rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon_{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec { r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\ Epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}$

da ist bekannt, dass

${\displaystyle \nabla^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi\delta ({\vec {r}}).}$

Bei p- Orbitalen verschwindet die nichtrelativistische Wellenfunktion im Ursprung, es gibt also keine Energieverschiebung. Aber für s- Orbitale gibt es einen endlichen Wert im Ursprung,

${\displaystyle \psi_{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},}$

wo der Bohr-Radius ist

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar^{2}}{me^{2}}}.}$

Deshalb,

${\displaystyle \left\langle \nabla^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\ rm {at}}={\frac{e^{2}}{\epsilon_{0}}}|\psi_{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2} }{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}}$.

Schließlich wird die Differenz der potentiellen Energie zu:

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon_{0}}}{\frac {e^{ 2}}{4\pi\epsilon_{0}\hbarc}}\left({\frac{\hbar}{mc}}\right)^{2}{\frac{1}{8\pi a_ {0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon_{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha^{5}mc^{2}{\frac { 1}{6\pi}}\ln {\frac{1}{\pi\alpha}},}$

wo ist die Feinstrukturkonstante . Diese Verschiebung beträgt etwa 500 MHz, innerhalb einer Größenordnung der beobachteten Verschiebung von 1057 MHz. ${\displaystyle\alpha}$

Weltons heuristische Ableitung der Lamb-Verschiebung ähnelt der Berechnung des Darwin-Terms unter Verwendung der Zitterbewegung , unterscheidet sich jedoch von dieser , ein Beitrag zur Feinstruktur , der von niedrigerer Ordnung als die Lamb-Verschiebung ist. ${\displaystyle\alpha}$

Lamb-Retherford-Experiment

1947 führten Willis Lamb und Robert Retherford ein Experiment mit Mikrowellentechniken durch , um Hochfrequenzübergänge zwischen ² S _1/2 und ² P _1/2 Wasserstoffniveaus zu stimulieren . Durch die Verwendung niedrigerer Frequenzen als bei optischen Übergängen könnte die Doppler-Verbreiterung vernachlässigt werden (Doppler-Verbreiterung ist proportional zur Frequenz). Die von Lamb und Retherford gefundene Energiedifferenz war ein Anstieg von etwa 1000 MHz (0,03 cm ⁻¹ ) des ² S _1/2- Niveaus über das ² P _1/2- Niveau.

Dieser besondere Unterschied ist ein Einschleifeneffekt der Quantenelektrodynamik und kann als Einfluss virtueller Photonen interpretiert werden , die vom Atom emittiert und wieder absorbiert wurden. In der Quantenelektrodynamik wird das elektromagnetische Feld quantisiert und wie beim harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik ist sein niedrigster Zustand nicht Null. Es gibt also kleine Nullpunktoszillationen , die das Elektron zu schnellen Schwingbewegungen veranlassen. Das Elektron wird "ausgeschmiert" und jeder Radiuswert wird von r auf r + δr geändert (eine kleine, aber endliche Störung).

Dadurch wird das Coulomb-Potential geringfügig gestört und die Entartung der beiden Energieniveaus aufgehoben. Das neue Potential kann (mit atomaren Einheiten ) wie folgt angenähert werden:

${\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot}}\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon_{0}}}\left\langle {\frac {1}{ r+\delta r}}\rechts\rangle .}$

Die Lamb-Verschiebung selbst ist gegeben durch

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamm}}=\alpha^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \ Mathrm {für} \ \ell =0\,}$

mit k ( n , 0) um 13 herum leicht variierend mit n , und

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamm}}=\alpha^{5}m_{e}c^{2}{\frac{1}{4n^{3}}}\left[k(n, \ell)\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {für} \ \ell \neq 0\ \mathrm {und} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},}$

mit log( k ( n ,ℓ)) einer kleinen Zahl (ca. -0.05), die k ( n ,ℓ) nahe eins macht.

Für eine Herleitung von Δ E _Lamb siehe zum Beispiel:

Im Wasserstoffspektrum

1947 erklärte Hans Bethe als erster die Lamb-Verschiebung im Wasserstoffspektrum und legte damit den Grundstein für die moderne Entwicklung der Quantenelektrodynamik . Bethe konnte die Lamb-Verschiebung ableiten, indem er die Idee der Massenrenormierung implementierte, die es ihm ermöglichte, die beobachtete Energieverschiebung als Differenz zwischen der Verschiebung eines gebundenen Elektrons und der Verschiebung eines freien Elektrons zu berechnen. Die Lamb-Verschiebung liefert derzeit eine Messung der Feinstrukturkonstanten α auf besser als einen Teil von einer Million, was einen präzisen Test der Quantenelektrodynamik ermöglicht .

Siehe auch

• Uehling-Potential , erste Näherung an die Lamb-Verschiebung
• Shelter Island Konferenz
• Zeeman-Effekt zur Messung der Lamb-Verschiebung

Verweise

Weiterlesen

• Boris M. Smirnow (2003). Physik der Atome und Ionen . New York: Springer. S. 39–41. ISBN 0-387-95550-X.
• Marlan Orvil Scully & Muhammad Suhail Zubairy (1997). Quantenoptik . Cambridge UK: Cambridge University Press. S. 13–16. ISBN 0-521-43595-1.

Externe Links

• Hans Bethe spricht über Lamb-Shift-Berechnungen im Web of Stories
• Nobelpreisbiographie von Willis Lamb
• Nobelvortrag von Willis Lamb: Feinstruktur des Wasserstoffatoms