Bran - Brane

Stringtheorie
Grundlegende Objekte
Zeichenfolge Kosmische Saite Brane D-Brane
Störungstheorie
Bosonic Superstring ( Typ I , Typ II , Heterotisch )
Nicht störende Ergebnisse
S-Dualität T-Dualität U-Dualität M-Theorie F-Theorie AdS/CFT-Korrespondenz
Phänomenologie
Phänomenologie Kosmologie Landschaft
Mathematik
Spiegelsymmetrie Monströser Mondschein
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Geschichte Glossar
v T e

In der Stringtheorie und verwandten Theorien wie Supergravitationstheorien ist eine Brane ein physikalisches Objekt, das die Vorstellung eines Punktteilchens auf höhere Dimensionen verallgemeinert . Branes sind dynamische Objekte, die sich nach den Regeln der Quantenmechanik durch die Raumzeit ausbreiten können . Sie haben Masse und können andere Attribute wie Ladung haben .

Mathematisch können Branes innerhalb von Kategorien dargestellt werden und werden in der reinen Mathematik untersucht, um Einblicke in die homologische Spiegelsymmetrie und die nichtkommutative Geometrie zu erhalten .

p -branes

Ein Punktpartikel kann als Brane der Dimension null angesehen werden, während ein String als Brane der Dimension eins angesehen werden kann.

Neben Punktpartikeln und Strings können auch höherdimensionale Branes berücksichtigt werden. Eine p- dimensionale Brane wird allgemein als " p- Brane" bezeichnet.

Der Begriff " p- Brane" wurde von MJ Duff et al. 1988; "Brane" kommt von dem Wort "Membran", das sich auf eine zweidimensionale Brane bezieht.

Ein p- Brane überstreicht ein ( p + 1)-dimensionales Volumen in der Raumzeit, das sein Weltvolumen genannt wird . Physiker untersuchen oft Felder analog dem elektromagnetischen Feld , die vom Weltvolumen einer Brane leben.

D-Brane

Offene Schnüre, die an einem Paar D-Branes befestigt sind

In der Stringtheorie kann ein String offen sein (ein Segment mit zwei Endpunkten bilden) oder geschlossen sein (eine geschlossene Schleife bilden). D-Branes sind eine wichtige Klasse von Branes, die entstehen, wenn man offene Saiten betrachtet. Da sich ein offener String durch die Raumzeit ausbreitet, müssen seine Endpunkte auf einer D-Brane liegen. Der Buchstabe "D" in D-brane bezieht sich auf die Dirichlet-Randbedingung , die die D-brane erfüllt.

Ein entscheidender Punkt bei D-Branen ist, dass die Dynamik auf dem D-Branen-Weltvolumen durch eine Eichtheorie beschrieben wird , eine Art hochsymmetrische physikalische Theorie, die auch zur Beschreibung des Verhaltens von Elementarteilchen im Standardmodell der Teilchenphysik verwendet wird . Diese Verbindung hat zu wichtigen Erkenntnissen in der Eichtheorie und der Quantenfeldtheorie geführt . So wurde beispielsweise die AdS/CFT-Korrespondenz entdeckt , ein theoretisches Werkzeug, mit dem Physiker schwierige Probleme der Eichtheorie in mathematisch handhabbarere Probleme der Stringtheorie übersetzen.

Kategoriale Beschreibung

Mathematisch können Branes mit dem Begriff einer Kategorie beschrieben werden . Dies ist eine mathematische Struktur, die aus Objekten besteht , und für jedes Paar von Objekten, einer Reihe von Morphismen zwischen ihnen. In den meisten Beispielen sind die Objekte mathematische Strukturen (wie Mengen , Vektorräume oder topologische Räume ) und die Morphismen sind Funktionen zwischen diesen Strukturen. Man kann ebenfalls Kategorien betrachtet , in dem die Objekte D-branes und die Morphismen zwischen zwei branes und sind Zustände der offenen Saiten gespannt zwischen und . ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beta}$

Ein Querschnitt einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit

In einer Version der Stringtheorie, die als topologisches B-Modell bekannt ist , sind die D-Branen komplexe Untermannigfaltigkeiten bestimmter sechsdimensionaler Formen, die als Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bezeichnet werden , zusammen mit zusätzlichen Daten, die physikalisch durch Ladungen an den Endpunkten von Strings entstehen. Intuitiv kann man sich eine Untermannigfaltigkeit als eine Fläche vorstellen, die in eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eingebettet ist, obwohl Untermannigfaltigkeiten auch in anderen Dimensionen als zwei existieren können. In der mathematischen Sprache ist die Kategorie, die diese Branes als ihre Objekte hat, als abgeleitete Kategorie der kohärenten Garben auf dem Calabi-Yau bekannt. In einer anderen Version der Stringtheorie, dem topologischen A-Modell , können die D-Branen wiederum als Untermannigfaltigkeiten einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit angesehen werden. Grob gesagt sind sie das, was Mathematiker spezielle Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten nennen . Das bedeutet unter anderem, dass sie die Hälfte des Raumes haben, in dem sie sitzen, und sie sind längen-, flächen- oder volumenminimierend. Die Kategorie, die diese Branes als ihre Objekte hat, wird die Fukaya-Kategorie genannt .

Die abgeleitete Kategorie der kohärenten Scheiben wird mit Werkzeugen aus der komplexen Geometrie konstruiert , einem Zweig der Mathematik, der geometrische Kurven algebraisch beschreibt und geometrische Probleme mit algebraischen Gleichungen löst . Auf der anderen Seite wird die Fukaya-Kategorie mit der symplektischen Geometrie konstruiert , einem Zweig der Mathematik, der aus dem Studium der klassischen Physik hervorgegangen ist . Symplektische Geometrie untersucht Räume, die mit einer symplektischen Form ausgestattet sind , einem mathematischen Werkzeug, mit dem die Fläche in zweidimensionalen Beispielen berechnet werden kann .

Die homologische Spiegelsymmetrie- Vermutung von Maxim Kontsevich besagt, dass die abgeleitete Kategorie der kohärenten Garben auf einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit in gewissem Sinne der Fukaya-Kategorie einer völlig anderen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit entspricht. Diese Äquivalenz bietet eine unerwartete Brücke zwischen zwei Zweigen der Geometrie, nämlich der komplexen und der symplektischen Geometrie.

Siehe auch

• Schwarze Brane
• Brane-Kosmologie
• Dirac-Membran
• M2-Brane
• M5-Brane
• NS5-Brane
• Lagrangesche Untermannigfaltigkeit

Anmerkungen

Verweise

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, Hrsg. (2009). Dirichlet Branes und Spiegelsymmetrie . Monographien der Tonmathematik . 4 . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorien für den arbeitenden Mathematiker . ISBN 978-0-387-98403-2.
• Moore, Gregory (2005). "Was ist ... eine Brane?" (PDF) . Hinweise des AMS . 52 :214 . Abgerufen am 7. Juni 2018 .
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Die Gestalt des Inneren Raums: Stringtheorie und die Geometrie der verborgenen Dimensionen des Universums . Grundbücher . ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2008). "Spiegelsymmetrie". In Gowers, Timothy (Hrsg.). Der Princeton-Begleiter zur Mathematik . ISBN 978-0-691-11880-2.