Parastatistik - Parastatistics

Statistische Mechanik
Thermodynamik Kinetische Theorie
Partikelstatistik Spin-Statistik-Theorem Identische Partikel Maxwell–Boltzmann Bose–Einstein Fermi-Dirac Parastatistik Anyonic-Statistiken Geflechtstatistiken
Thermodynamische Ensembles NVE Microcanonical NVT Canonical μVT großkanonische NPH Isoenthalp–isobar NPT Isotherm–isobar
Modelle Debye Einstein Ich singe Potts
Potenziale Innere Energie Enthalpie Freie Helmholtz-Energie Gibbs freie Energie Großes Potenzial / Freie Energie Landau
Wissenschaftler Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
v t e

In der Quantenmechanik und statistischen Mechanik ist die Parastatistik eine von mehreren Alternativen zu den bekannteren Teilchenstatistikmodellen ( Bose-Einstein-Statistik , Fermi-Dirac-Statistik und Maxwell-Boltzmann-Statistik ). Andere Alternativen umfassen Anyon-Statistiken und Geflecht-Statistiken , die beide niedrigere Raumzeit-Dimensionen beinhalten. Herbert S. Green wird die Entwicklung der Parastatistik im Jahr 1953 zugeschrieben.

Formalismus

Betrachten Sie die Operatoralgebra eines Systems von N identischen Teilchen. Dies ist eine *-Algebra . Es gibt eine S _N- Gruppe ( symmetrische Gruppe der Ordnung N ), die auf die Operatoralgebra mit der beabsichtigten Interpretation der Permutierung der N Teilchen einwirkt . Die Quantenmechanik erfordert den Fokus auf Observablen mit physikalischer Bedeutung, und die Observablen müssten unter allen möglichen Permutationen der N Teilchen invariant sein . Zum Beispiel im Fall N  = 2, R ₂  −  R ₁ kann keine Observable sein, weil es das Vorzeichen ändert, wenn wir die beiden Teilchen vertauschen, aber der Abstand zwischen den beiden Teilchen : | R ₂  −  R ₁ | ist eine legitime Beobachtung.

Mit anderen Worten, die beobachtbare Algebra müsste eine *- Subalgebra- Invariante unter der Wirkung von S _{N sein} (wobei dies nicht bedeutet, dass jedes Element der Operator-Algebra-Invariante unter S _N eine Observable ist). Dies ermöglicht verschiedene Superselektionssektoren , die jeweils durch ein Young-Diagramm von S _N parametrisiert sind .

Bestimmtes:

• Für N identische Parabosonen der Ordnung p (wobei p eine positive ganze Zahl ist), sind alle Young-Diagramme mit p oder weniger Zeilen zulässig .
• Für N identische Parafermionen der Ordnung p sind alle Young-Diagramme mit p oder weniger Spalten zulässig .
• Wenn p 1 ist, reduziert sich dies auf Bose-Einstein- bzw. Fermi-Dirac-Statistiken.
• Wenn p beliebig groß (unendlich) ist, reduziert sich dies auf die Maxwell-Boltzmann-Statistik.

Quantenfeldtheorie

A paraboson Feld der Ordnung P , wobei , wenn x und y sind raumartig -separated Punkte, und wenn , wo [,] ist der Kommutator und {,} der Antikommutator . Beachten Sie, dass dies nicht mit dem Spin-Statistik-Theorem übereinstimmt , das für Bosonen und nicht für Parabosonen gilt. Es kann eine Gruppe sein , wie beispielsweise die symmetrischen Gruppe S _p Beaufschlagen der φ ^{( i )} s. Observablen müssten Operatoren sein, die unter der fraglichen Gruppe invariant sind . Die Existenz einer solchen Symmetrie ist jedoch nicht wesentlich. ${\displaystyle \phi(x)=\sum_{i=1}^{p}\phi^{(i)}(x)}$${\displaystyle [\phi^{(i)}(x),\phi^{(i)}(y)]=0}$${\displaystyle \{\phi^{(i)}(x),\phi^{(j)}(y)\}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

A parafermion Feld der Ordnung P , wobei , wenn x und y sind raumartig -separated Punkte, und wenn . Der gleiche Kommentar zu Observablen würde zusammen mit der Anforderung gelten, dass sie eine gerade Einstufung unter der Einstufung haben, bei der die ψ s eine ungerade Einstufung haben. ${\displaystyle \psi(x)=\sum_{i=1}^{p}\psi^{(i)}(x)}$${\displaystyle \{\psi^{(i)}(x),\psi^{(i)}(y)\}=0}$${\displaystyle [\psi^{(i)}(x),\psi^{(j)}(y)]=0}$${\displaystyle i\neq j}$

Die parafermionischen und parabosonischen Algebren werden durch Elemente erzeugt, die den Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen gehorchen. Sie verallgemeinern die übliche fermionische Algebra und die bosonische Algebra der Quantenmechanik. Die Dirac-Algebra und die Duffin-Kemmer-Petiau-Algebra treten als Spezialfälle der parafermionischen Algebra für die Ordnung p  = 1 bzw. p  = 2 auf.

Erläuterung

Beachten Sie, dass, wenn x und y raumartig getrennte Punkte sind, φ ( x ) und φ ( y ) weder kommutieren noch antikommutieren, es sei denn, p =1. Die gleiche Bemerkung gilt für ψ ( x ) und ψ ( y ). Wenn wir also n raumartig getrennte Punkte x ₁ , ..., x _{n haben} ,

${\displaystyle \phi(x_{1})\cdots\phi(x_{n})|\Omega\rangle}$

entspricht der Erzeugung von n identischen Parabosonen bei x ₁ ,..., x _n . Ähnlich,

${\displaystyle \psi(x_{1})\cdots\psi(x_{n})|\Omega\rangle}$

entspricht der Erzeugung von n identischen Parafermionen. Weil diese Felder weder kommutieren noch antikommutieren

${\displaystyle\phi(x_{\pi(1)})\cdots\phi(x_{\pi(n)})|\Omega\rangle}$

und

${\displaystyle \psi(x_{\pi(1)})\cdots\psi(x_{\pi(n)})|\Omega\rangle}$

gibt verschiedene Zustände für jede Permutation π in S _{n an} .

Wir können einen Permutationsoperator definieren durch ${\displaystyle {\mathcal{E}}(\pi)}$

${\displaystyle {\mathcal{E}}(\pi)\left[\phi(x_{1})\cdots\phi(x_{n})|\Omega\rangle\right]=\phi(x_{\ pi^{-1}(1)})\cdots\phi(x_{\pi^{-1}(n)})|\Omega\rangle}$

und

${\displaystyle {\mathcal{E}}(\pi)\left[\psi(x_{1})\cdots\psi(x_{n})|\Omega\rangle\right]=\psi(x_{\ pi^{-1}(1)})\cdots\psi(x_{\pi^{-1}(n)})|\Omega\rangle}$

beziehungsweise. Dies kann als wohldefiniert gezeigt werden, solange es nur auf Zustände beschränkt ist, die von den oben angegebenen Vektoren aufgespannt werden (im Wesentlichen die Zustände mit n identischen Teilchen). Es ist auch einheitlich . Darüber hinaus ist S _n eine Operator-wertige Darstellung der symmetrischen Gruppe und als solche können wir sie als die Wirkung von S _n auf den n- Teilchen-Hilbert-Raum selbst interpretieren , was sie in eine unitäre Darstellung umwandelt . ${\displaystyle {\mathcal{E}}(\pi)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

QCD kann unter Verwendung von Parastatistiken umformuliert werden, wobei die Quarks Parafermionen der Ordnung 3 und die Gluonen Parabosonen der Ordnung 8 sind. Beachten Sie, dass dies anders ist als der konventionelle Ansatz, bei dem Quarks immer Antikommutierungsbeziehungen und Gluonenkommutierungsbeziehungen gehorchen.

Siehe auch

• Klein-Transformation zur Umwandlung zwischen Parastatistik und konventionellerer Statistik.

Verweise