Pythagoräische trigonometrische Identität - Pythagorean trigonometric identity

Die pythagoreische trigonometrische Identität , auch einfach die pythagoreische Identität genannt , ist eine Identität , die den Satz des Pythagoras in Bezug auf trigonometrische Funktionen ausdrückt . Zusammen mit den Winkelsummenformeln ist sie eine der grundlegenden Beziehungen zwischen den Sinus- und Cosinusfunktionen .

Die Identität ist

${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta=1.}$

Wie üblich bedeutet sin ² θ . ${\textstyle (\sin\theta)^{2}}$

Beweise und ihre Beziehungen zum Satz des Pythagoras

Ähnliche rechtwinklige Dreiecke mit Sinus und Cosinus des Winkels θ

Beweis basierend auf rechtwinkligen Dreiecken

Alle ähnlichen Dreiecke haben die Eigenschaft, dass, wenn wir in allen den gleichen Winkel wählen, das Verhältnis der beiden Seiten, die den Winkel definieren, gleich ist, unabhängig davon, welches ähnliche Dreieck ausgewählt wird, unabhängig von seiner tatsächlichen Größe: Die Verhältnisse hängen von den drei Winkel, nicht die Seitenlängen. Somit ist für jedes der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke in der Abbildung das Verhältnis seiner horizontalen Seite zu seiner Hypotenuse das gleiche, nämlich cos .

Die elementaren Definitionen der Sinus- und Kosinusfunktionen in Bezug auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind:

${\displaystyle \sin\theta ={\frac {\textrm {Gegenteil}} }{\textrm {Hypotenuse} }}={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos\theta ={\frac {\textrm {adjacent} }{\textrm {Hypotenuse}}}={\frac {a}{c}}}$

Die pythagoräische Identität folgt, indem beide Definitionen oben quadriert und hinzugefügt werden; die linke Seite der Identität wird dann

${\displaystyle {\frac {\textrm {entgegengesetzt} ^{2}+\textrm {angrenzend} ^{2}}{\textrm {Hypotenuse} ^{2}}}}$

was nach dem Satz des Pythagoras gleich 1 ist. Diese Definition gilt für alle Winkel, aufgrund der Definition von Definieren und für den Einheitskreis und damit und für einen Kreis mit dem Radius c und der unser Dreieck in der y-Achse widerspiegelt und die Einstellung und . ${\displaystyle x=\cos\theta}$${\displaystyle y=\sin\theta}$${\displaystyle x=c\cos\theta}$${\displaystyle y=c\sin\theta}$${\displaystyle a=x}$${\displaystyle b=y}$

Alternativ können die bei trigonometrischer Symmetrie, Verschiebung und Periodizität gefundenen Identitäten verwendet werden. Anhand der Periodizitätsidentitäten können wir sagen, wenn die Formel für −π < θ ≤ π gilt, dann gilt sie für alle reellen θ . Als nächstes beweisen wir den Bereich π/2 < θ ≤ π, dazu sei t = θ − π/2, t liegt nun im Bereich 0 < t ≤ π/2. Wir können dann quadrierte Versionen einiger grundlegender Schichtidentitäten verwenden (das Quadrieren entfernt bequem die Minuszeichen):

${\displaystyle \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta =\sin^{2}\left(t+{\frac{1}{2}}\pi\right)+\cos^ {2}\left(t+{\frac{1}{2}}\pi\right)=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.}$

Es bleibt nur noch zu beweisen für −π < θ < 0; Dies kann durch Quadrieren der Symmetrieidentitäten erfolgen, um zu erhalten

${\displaystyle \sin^{2}\theta =\sin^{2}(-\theta){\text{ und }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta) .}$

Verwandte Identitäten

Ähnliche rechtwinklige Dreiecke veranschaulichen die trigonometrischen Tangens- und Sekantenfunktionen.

Die Identitäten

${\displaystyle 1+\tan^{2}\theta =\sec ^{2}\theta}$

und

${\displaystyle 1+\cot^{2}\theta =\csc^{2}\theta}$

werden auch pythagoräische trigonometrische Identitäten genannt. Wenn ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks die Länge 1 hat, ist die Tangente des an diesen Schenkel angrenzenden Winkels die Länge des anderen Schenkels und die Sekante des Winkels die Länge der Hypotenuse.

${\displaystyle \tan\theta ={\frac {b}{a}}\ ,}$

und:

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {c}{a}}\ .}$

Auf diese Weise folgt diese trigonometrische Identität mit Tangente und Sekante aus dem Satz des Pythagoras. Der Winkel gegenüber dem Schenkel der Länge 1 (dieser Winkel kann mit φ = π/2 − θ bezeichnet werden) hat einen Kotangens gleich der Länge des anderen Schenkels und einen Kosekans gleich der Länge der Hypotenuse. Damit folgt auch diese trigonometrische Identität mit Kotangens und Kosekans aus dem Satz des Pythagoras.

Die folgende Tabelle zeigt die Identitäten mit dem Faktor oder Divisor, der sie mit der Hauptidentität in Beziehung setzt.

Ursprüngliche Identität	Divisor	Teilergleichung	Abgeleitete Identität	Abgeleitete Identität (Alternativ)
${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta=1}$	${\displaystyle \cos^{2}\theta}$	${\displaystyle {\frac {\sin^{2}\theta }{\cos^{2}\theta}}+{\frac {\cos^{2}\theta }{\cos^{2}\theta }}={\frac{1}{\cos^{2}\theta}}}$	${\displaystyle \tan^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta}$	${\displaystyle \tan^{2}\theta =\sec ^{2}\theta -1}$
${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta=1}$	${\displaystyle \sin^{2}\theta}$	${\displaystyle {\frac {\sin^{2}\theta }{\sin^{2}\theta}}+{\frac {\cos^{2}\theta }{\sin^{2}\theta }}={\frac{1}{\sin^{2}\theta}}}$	${\displaystyle 1+\cot^{2}\theta =\csc^{2}\theta}$	${\displaystyle \cot^{2}\theta =\csc^{2}\theta -1}$

Beweis mit dem Einheitskreis

Punkt P (x,y) auf dem Kreis mit Einheitsradius unter einem stumpfen Winkel θ > π/2

Sinusfunktion auf dem Einheitskreis (oben) und ihr Graph (unten)

Der Einheitskreis, der im Ursprung in der euklidischen Ebene zentriert ist, wird durch die Gleichung definiert:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Bei einem Winkel θ gibt es einen eindeutigen Punkt P auf dem Einheitskreis unter einem Winkel θ von der x- Achse, und die x- und y- Koordinaten von P sind:

${\displaystyle x=\cos\theta\\mathrm {und}\y=\sin\theta\ .}$

Folglich aus der Gleichung für den Einheitskreis:

${\displaystyle \cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta=1\ ,}$

die pythagoräische Identität.

In der Abbildung hat der Punkt P eine negative x-Koordinate und wird passenderweise durch x = cos θ gegeben , was eine negative Zahl ist: cos θ = −cos(π− θ ). Punkt P hat eine positive y- Koordinate und sin θ = sin(π− θ ) > 0. Wenn θ von Null auf den Vollkreis θ = 2π ansteigt , ändern Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten das Vorzeichen, um x und y . zu halten mit den richtigen Vorzeichen. Die Abbildung zeigt, wie sich das Vorzeichen der Sinusfunktion ändert, wenn sich der Quadrant des Winkels ändert.

Da die x- und y- Achsen senkrecht sind, ist diese pythagoreische Identität äquivalent zum Satz des Pythagoras für Dreiecke mit Hypotenuse der Länge 1 (der wiederum äquivalent zum vollständigen Satz des Pythagoras durch Anwenden eines ähnlichen Dreiecks-Arguments ist). Siehe Einheitskreis für eine kurze Erklärung.

Nachweis mit Potenzreihen

Die trigonometrischen Funktionen können auch mit Potenzreihen definiert werden , nämlich (für x ein Winkel im Bogenmaß gemessen ):

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^ {2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n} .\end{ausgerichtet}}}$

Unter Verwendung des formalen Multiplikationsgesetzes für Potenzreihen bei Multiplikation und Division von Potenzreihen (geeignet modifiziert, um die Form der Reihe hier zu berücksichtigen) erhalten wir

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sin^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1 )^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1 )}\\&=\sum _{n=1}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1} }{(2i+1)!(2(ni-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty}\left(\ Summe _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n },\\\cos^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i} }{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0 }^{\infty}\left(\sum_{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(ni))!}}\right )x^{2n}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{ausgerichtet}}}$

Im Ausdruck für sin ² muss n mindestens 1 sein, während im Ausdruck für cos ² der konstante Term gleich 1 ist. Die restlichen Terme ihrer Summe sind (ohne gemeinsame Faktoren)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j =0}^{2n}(-1)^{j}{2n \wähle j}=(1-1)^{2n}=0}$

nach dem Binomialsatz . Folglich,

${\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1\ ,}$

das ist die trigonometrische Identität des Pythagoras.

Wenn die trigonometrischen Funktionen auf diese Weise definiert sind, zeigt die Identität in Kombination mit dem Satz des Pythagoras, dass diese Potenzreihen den Einheitskreis parametrisieren , den wir im vorherigen Abschnitt verwendet haben. Diese Definition konstruiert die Sinus- und Kosinusfunktionen in einer strengen Weise und beweist, dass sie differenzierbar sind, so dass sie tatsächlich die beiden vorherigen subsumiert.

Beweis mit der Differentialgleichung

Sinus und Cosinus können als die beiden Lösungen der Differentialgleichung definiert werden:

${\displaystyle y''+y=0}$

y (0) = 0, y ' (0) = 1 bzw. y (0) = 1, y ' (0) = 0 erfüllen . Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen folgt, dass die erste Lösung, der Sinus, die zweite, den Kosinus, als Ableitung hat, und daraus folgt, dass die Ableitung des Kosinus das Negative des Sinus ist. Die Identität ist äquivalent zu der Behauptung, dass die Funktion

${\displaystyle z=\sin^{2}x+\cos^{2}x}$

konstant und gleich 1 ist. Differenzieren mit der Kettenregel ergibt:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}z=2\sin x\ \cos x+2\cos x\ (-\sin x)=0\ ,}$

also ist z nach dem Mittelwertsatz konstant . Eine Berechnung bestätigt, dass z (0) = 1 und z eine Konstante ist, also z = 1 für alle x , so dass die pythagoreische Identität hergestellt ist.

Ein ähnlicher Beweis kann unter Verwendung von Potenzreihen wie oben durchgeführt werden, um festzustellen, dass der Sinus als Ableitung den Kosinus hat und der Kosinus als Ableitung den negativen Sinus hat. Tatsächlich führen die Definitionen durch gewöhnliche Differentialgleichungen und durch Potenzreihen zu ähnlichen Herleitungen der meisten Identitäten.

Dieser Identitätsbeweis hat keinen direkten Zusammenhang mit Euklids Demonstration des Satzes des Pythagoras.

Beweis mit der Eulerschen Formel

Die Eulersche Formel besagt, dass

${\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}$

So,

${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =(\cos\theta +i\sin\theta )(\cos\theta -i\sin\theta )=e^{i \theta}e^{-i\theta}=1}$.

Siehe auch

• Satz des Pythagoras
• Liste trigonometrischer Identitäten
• Einheitskreis
• Leistungsreihe
• Differentialgleichung

Anmerkungen