Verzweigung (Mathematik) - Ramification (mathematics)

Schematische Darstellung der Verzweigung: Die Fasern von fast allen Punkten in Y unten bestehen aus drei Punkten, mit Ausnahme von zwei Punkten in Y, die mit Punkten markiert sind, wo die Fasern aus einem bzw. zwei Punkten bestehen (schwarz markiert). Die Abbildung f soll in diesen Punkten von Y verzweigt sein .

In der Geometrie ist die Verzweigung eine „Verzweigung“ in der Weise, dass die Quadratwurzelfunktion für komplexe Zahlen so gesehen werden kann, dass sie zwei Zweige hat, die sich im Vorzeichen unterscheiden. Der Begriff wird auch aus der entgegengesetzten Perspektive (Verzweigungen zusammenkommen) verwendet, als wenn eine bedeckende Karte an einem Punkt eines Raums degeneriert , wobei die Fasern der Abbildung etwas zusammenbrechen.

In komplexer Analyse

Mit der Riemannschen Fläche der Quadratwurzel

In der komplexen Analysis kann das Grundmodell als z  →  z ⁿ -Abbildung in der komplexen Ebene nahe  z  = 0 angenommen werden. Dies ist das lokale Standardbild der Riemannschen Oberflächentheorie der Verzweigung der Ordnung  n . Sie kommt beispielsweise in der Riemann-Hurwitz-Formel für die Wirkung von Abbildungen auf die Gattung vor . Siehe auch Verzweigungspunkt .

In der algebraischen Topologie

In einer Deckkarte sollte die Euler-Poincaré-Charakteristik mit der Anzahl der Blätter multipliziert werden; Verzweigung kann daher durch einige Tropfen davon erkannt werden. Die Abbildung z →  z ⁿ zeigt dies als lokales Muster: Wenn wir 0 ausschließen, betrachten wir 0 < | z | < 1 sagen wir, wir haben (aus Sicht der Homotopie ) den Kreis durch die n- te Potenzabbildung auf sich selbst abgebildet (Euler-Poincaré-Charakteristik 0), aber mit der ganzen Scheibe ist die Euler-Poincaré-Charakteristik 1, n  – 1 die "verlorenen" Punkte sind, wenn die n Blätter bei  z  = 0 zusammenkommen.

In geometrischer Hinsicht ist Verzweigung etwas, das in der Kodimension zwei geschieht (wie Knotentheorie und Monodromie ); da die reelle Kodimension zwei eine komplexe Kodimension eins ist, legt das lokale komplexe Beispiel das Muster für höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten fest . In der komplexen Analyse können Blätter nicht einfach entlang einer Linie (einer Variable) umgeklappt oder im allgemeinen Fall einen Unterraum kodimensioniert werden. Der Verzweigungssatz (Verzweigungsort an der Basis, Doppelpunktsatz oben) wird zwei reale Dimensionen niedriger als die umgebende Mannigfaltigkeit sein und wird ihn daher lokal nicht in zwei "Seiten" aufteilen , genau wie im Beispiel. In der algebraischen Geometrie über einem beliebigen Körper geschieht dies analog auch in der algebraischen Kodimension eins.

In der algebraischen Zahlentheorie

In algebraischen Erweiterungen von ${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Verzweigung in der algebraischen Zahlentheorie bedeutet eine Primidealfaktorisierung in einer Erweiterung, um einige wiederholte Primidealfaktoren zu erhalten. Sei nämlich der Ring von ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlenkörpers und ein Primideal von . Für eine Körpererweiterung können wir den Ring der ganzen Zahlen (der ganzzahlige Abschluss von in ist ) und das Ideal von betrachten . Dieses Ideal kann eine Primzahl sein oder nicht, aber für endlich hat es eine Faktorisierung in Primideale: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}{\mathcal{O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle [L:K]}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p} }_{k}^{e_{k}}}$

wobei die verschiedene Primideale von sind . Dann heißt es, sich in wenn für einige zu verzweigen ; sonst ist es${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle i}$ unverzweigt . Mit anderen Worten,Verzweigungenin,wenn derVerzweigungsindexfür einige größer als eins ist. Eine äquivalente Bedingung ist, dasssie einnilpotentesElementungleich Null hat: es ist kein Produktendlicher Körper. Die Analogie zum Riemannschen Oberflächenfall wurde bereitsim 19. JahrhundertvonRichard DedekindundHeinrich M. Weberaufgezeigt. ${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal{O}}_{L}/{\mathfrak{p}}{\mathcal{O}}_{L}}$

Die Verzweigung wird in der relativen Diskriminante und in der relativen Differenz kodiert . Ersteres ist ein Ideal von und ist teilbar, wenn und nur wenn ein Ideal des Trennens verzweigt ist. Letzteres ist ein Ideal von und ist teilbar durch das Primideal von genau wann verzweigt. ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{i}}$

Die Verästelung ist zahme wenn die Verästelung Indizes alle relativ prim zu dem Rückstand charakteristisch sind p der , sonst Wild . Diese Bedingung ist in der Galois-Modultheorie wichtig. Eine endliche generisch étale Erweiterung von Dedekind-Domänen ist genau dann zahm, wenn die Spur surjektiv ist. ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle B/A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$

In lokalen Feldern

Die detailliertere Analyse der Verzweigung in Zahlenfeldern kann mit Erweiterungen der p-adischen Zahlen durchgeführt werden , da es sich um eine lokale Frage handelt. In diesem Fall wird ein quantitatives Verzweigungsmaß für Galois-Erweiterungen definiert , im Wesentlichen durch die Frage, wie weit die Galois-Gruppe Feldelemente in Bezug auf die Metrik verschiebt. Es wird eine Abfolge von Verzweigungsgruppen definiert, die (unter anderem) wilde (nicht zahme) Verzweigungen reifizieren . Dies geht über das geometrische Analogon hinaus.

In Algebra

In der Bewertungstheorie , die Verästelung Theorie der Bewertungen untersucht den Satz von Erweiterungen einer Bewertung eines Feld K auf ein Erweiterungsfeld von K . Dies verallgemeinert die Begriffe in der algebraischen Zahlentheorie, lokalen Körpern und Dedekind-Gebieten.

In der algebraischen Geometrie

Es gibt auch einen entsprechenden Begriff des unverzweigten Morphismus in der algebraischen Geometrie. Es dient dazu, étale Morphismen zu definieren .

Sei ein Morphismus von Schemata. Der Träger der quasicoherent Garbe wird , um die genannte ramification Locus von und um das Bild des ramification Locus, wird die angerufene Verzweigungs locus of . Wenn wir sagen , dass ist formell unverzweigte und wenn auch der lokal endlich Präsentation ist sagen wir , dass ist unverzweigt (siehe Vakil 2017 ). ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega_{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega_{X/Y}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega_{X/Y}=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Siehe auch

• Eisenstein-Polynom
• Newton-Polygon
• Puiseux-Erweiterung
• Verzweigte Abdeckung

Verweise

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1.697.859 . Zbl  0956.11021 .
• Vakil, Ravi (18. November 2017). The Rising Sea: Grundlagen der algebraischen Geometrie (PDF) . Abgerufen am 5. Juni 2019 .

Externe Links

• "Verzweigung in Zahlenfeldern" . PlanetMath .