Realer projektiver Raum - Real projective space

In der Mathematik ist der reelle projektive Raum oder RP ⁿ oder der topologische Raum von Linien, die durch den Ursprung 0 in R ^{n +1 gehen} . Es ist eine kompakte , glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n und ein Spezialfall Gr (1, R ^{n +1} ) eines Grassmannschen Raums. ${\displaystyle \mathbb{P}_{n}(\mathbb{R})}$

Grundeigenschaften

Konstruktion

Wie bei allen projektiven Räumen wird RP ⁿ gebildet, indem der Quotient von R ^{n +1} ∖ {0} unter der Äquivalenzrelation x ∼ λx für alle reellen Zahlen λ ≠ 0 gebildet wird . Für alle x in R ^{n +1} ∖ {0} kann man immer ein λ finden, so dass λx die Norm  1 hat. Es gibt genau zwei solcher λ, die sich im Vorzeichen unterscheiden.

Somit RP ⁿ kann auch durch Identifizierung gebildet werden gegenüberliegende Punkte der Einheit n - Kugel , S ⁿ , in R ^{n +1} .

Man kann sich weiter auf die obere Hemisphäre von S ^{n beschränken} und lediglich antipodische Punkte auf dem begrenzenden Äquator identifizieren. Dies zeigt, dass RP ⁿ auch äquivalent zu der geschlossenen n- dimensionalen Scheibe D ⁿ mit antipodalen Punkten auf dem Rand, ∂ D ⁿ = S ^{n −1} , identifiziert ist.

Niedrigdimensionale Beispiele

RP ¹ heißt die reelle projektive Linie , die topologisch einem Kreis entspricht .

RP ² wird die reelle projektive Ebene genannt . Dieser Raum kann nicht in R ³ eingebettet werden . Es kann jedoch in R ⁴ eingebettet und in R ³ eingetaucht werden . Die Fragen der Einbettbarkeit und Immersibilität für den projektiven n- Raum sind gut untersucht.

RP ³ ( diffeomorph zu) SO(3) ist , also eine Gruppenstruktur zulässt; die überdeckende Abbildung S ³ → RP ³ ist eine Abbildung der Gruppen Spin(3) → SO(3), wobei Spin(3) eine Lie-Gruppe ist, die die universelle Abdeckung von SO(3) ist.

Topologie

Die Antipoden Karte auf dem n -sphere (Die Karte sendet x to - x ) eine Z ₂ Gruppe Aktion auf S ⁿ . Wie oben erwähnt, ist der Bahnraum für diese Aktion RP ⁿ . Diese Aktion ist eigentlich eine Raumbedeckungsaktion, die S ⁿ als eine doppelte Abdeckung von RP ⁿ ergibt . Da S ⁿ ist einfach verbunden für n ≥ 2, es dient auch als Universal-Abdeckung in diesen Fällen. Daraus folgt , dass die Grundeinheit des RP ⁿ ist Z ₂ , wenn n > 1. (Wenn n = 1 ist die Grundgruppe Z aufgrund der homeomorphism mit S ¹ ). Ein Generator für die Fundamentalgruppe ist die geschlossene Kurve, die durch Projizieren einer beliebigen Kurve erhalten wird, die antipodische Punkte in S ⁿ bis hinunter zu RP ^{n verbindet} .

Der projektive n- Raum ist kompakt, zusammenhängend und hat eine zur zyklischen Gruppe der Ordnung 2 isomorphe Fundamentalgruppe: Sein universeller Überdeckungsraum ist durch die Antipodenquotientenabbildung aus der n- Sphäre, einem einfach zusammenhängenden Raum, gegeben. Es ist eine doppelte Abdeckung. Die Antipodenabbildung auf R ^p hat ein Vorzeichen , ist also orientierungserhaltend, wenn p gerade ist. Der Orientierungscharakter ist also: Die nichttriviale Schleife in verhält sich wie eine Orientierung, also ist RP ⁿ orientierbar, wenn n  + 1 gerade, dh n ungerade ist. ${\displaystyle (-1)^{p}}$${\displaystyle \pi_{1}(\mathbf{RP}^{n})}$${\displaystyle (-1)^{n+1}}$

Der projektive n- Raum ist tatsächlich diffeomorph zur Untermannigfaltigkeit von R ^{( n}  + 1 ^{) 2} bestehend aus allen symmetrischen ( n + 1) × ( n  + 1) Matrizen der Spur 1, die ebenfalls idempotente lineare Transformationen sind.

Geometrie realer projektiver Räume

Der reale projektive Raum lässt eine konstante positive skalare Krümmungsmetrik zu, die von der doppelten Abdeckung durch die Standardkugel herrührt (die antipodale Abbildung ist lokal eine Isometrie).

Für die runde Standardmetrik hat diese die gleiche Schnittkrümmung 1.

In der standardmäßigen runden Metrik ist das Maß des projektiven Raums genau das halbe Maß der Kugel.

Glatte Struktur

Reale projektive Räume sind glatte Mannigfaltigkeiten . Betrachten Sie auf S ⁿ in homogenen Koordinaten ( x ₁ ... x _{n +1} ) die Teilmenge U _i mit x _i ≠ 0. Jedes U _i ist homöomorph zur disjunkten Vereinigung zweier offener Einheitskugeln in R ⁿ thap map auf dieselbe Teilmenge von RP ⁿ und die Koordinatenübergangsfunktionen sind glatt. Dadurch erhält RP ⁿ eine glatte Struktur .

Struktur als CW-Komplex

Der reelle projektive Raum RP ^{n lässt} die Struktur eines CW-Komplexes mit 1 Zelle in jeder Dimension zu.

In homogenen Koordinaten ( x ₁ ... x _{n +1} ) auf S ⁿ ist die Koordinatenumgebung U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} kann mit dem Inneren von n -Platte D ⁿ identifiziert werden . Wenn x _i = 0 ist, hat man RP ^{n −1} . Daher ist die n -1 Skelett RP ⁿ ist RP ^{n -1} und die Befestigungskarte f  : S ^{n -1} → RP ^{n -1} ist die 2-zu-1 - Karte abdeckt. Man kann setzen

${\displaystyle \mathbf{RP}^{n}=\mathbf{RP}^{n-1}\cup_{f}D^{n}.}$

Induktion zeigt, dass RP ⁿ ein CW-Komplex mit 1 Zelle in jeder Dimension bis n ist .

Die Zellen sind Schubert-Zellen , wie auf dem Flag-Manifold . Das heißt, nehmen Sie ein vollständiges Flag (sagen wir das Standard-Flag) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ; dann sind die geschlossenen k- Zelle Linien, die in V _{k liegen} . Auch die offene k- Zelle (das Innere der k- Zelle) ist Linien in V _k  \  V _{k −1} (Linien in V _k aber nicht V _{k −1} ).

In homogenen Koordinaten (bezogen auf das Flag) sind die Zellen

${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots:0]\\{[}*:*:0:\dots:0]\\\vdots \\{[}* :*:*:\dots :*].\end{array}}}$

Dies ist keine reguläre CW-Struktur, da die angehängten Karten 2 zu 1 sind. Seine Hülle ist jedoch eine regelmäßige CW-Struktur auf der Kugel mit 2 Zellen in jeder Dimension; tatsächlich die minimale regelmäßige CW-Struktur auf der Kugel.

Angesichts der glatten Struktur würde die Existenz einer Morsefunktion zeigen, dass RP ⁿ ein CW-Komplex ist. Eine solche Funktion ist in homogenen Koordinaten gegeben durch

${\displaystyle g(x_{1},\ldots,x_{n+1})=\sum_{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$

Auf jeder Umgebung U _i hat g einen nicht entarteten kritischen Punkt (0,...,1,...,0), wo 1 an der i- ten Position mit Morseindex i auftritt . Dies zeigt, dass RP ⁿ ein CW-Komplex mit 1 Zelle in jeder Dimension ist.

Tautologische Bündel

Der reale projektive Raum hat darüber ein natürliches Linienbündel , das als tautologisches Bündel bezeichnet wird . Genauer wird dies als tautologisches Teilbündel bezeichnet, und es gibt auch ein duales n- dimensionales Bündel, das als tautologisches Quotientenbündel bezeichnet wird.

Algebraische Topologie reeller projektiver Räume

Homotopiegruppen

Die Gruppen höherer Homotopie von RP ⁿ sind genau die Gruppen höherer Homotopie von S ⁿ , über die lange exakte Sequenz auf Homotopie, die mit einer Fibration verbunden ist .

Explizit ist das Faserbündel:

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$

Du könntest das auch schreiben als

${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to\mathbf{RP} ^{n}}$

oder

${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to\mathbf{RP} ^{n}}$

in Analogie zum komplexen projektiven Raum .

Die Homotopiegruppen sind:

${\displaystyle \pi_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z } /2\mathbf{Z} &i=1,n>1\\\pi_{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$

Homologie

Der mit der obigen CW-Struktur verbundene zelluläre Kettenkomplex weist 1 Zelle in jeder Dimension 0, ..., n auf . Für jede Dimension k sind die Randkarten d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} die Karte, die den Äquator auf S ^{k −1} kollabiert und dann antipodische Punkte identifiziert. In ungeraden (bzw. geraden) Dimensionen hat dies den Grad 0 (bzw. 2):

${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$

Somit wird die integrale Homologie ist

${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{Fälle}\mathbf {Z} &i=0{\text{ oder }}i=n{\text{ ungerade,} }\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{ungerade,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$

RP ⁿ ist orientierbar, wenn n ungerade ist, wie die obige Homologierechnung zeigt.

Unendlicher realer projektiver Raum

Der unendliche reelle projektive Raum wird als direkte Grenze oder Vereinigung der endlichen projektiven Räume konstruiert:

${\displaystyle\mathbf{RP}^{\infty}:=\lim_{n}\mathbf{RP}^{n}.}$

Dieser Raum ist der Klassifikationsraum von O (1) , der ersten orthogonalen Gruppe .

Die doppelte Hülle dieses Raumes ist die unendliche Kugel , die kontrahierbar ist. Der unendliche projektive Raum ist daher der Eilenberg-MacLane-Raum K ( Z ₂ , 1). ${\displaystyle S^{\infty}}$

Für jede nichtnegative ganze Zahl q die Modulo-2-Homologiegruppe . ${\displaystyle H_{q}(\mathbf{RP}^{\infty};\mathbf{Z}/2)=\mathbf{Z}/2}$

Sein Kohomologiering modulo 2 ist

${\displaystyle H^{*}(\mathbf{RP}^{\infty};\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} [w_{1 }],}$

wo ist die erste Stiefel-Whitney-Klasse : es ist die freie -Algebra auf , die den Grad 1 hat. ${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}$${\displaystyle w_{1}}$

Siehe auch

• Komplexer projektiver Raum
• Quaternionischer projektiver Raum
• Linsenraum
• Echte projektive Ebene

Anmerkungen

Verweise

• Bredon, Glen . Topologie und Geometrie , Abschlusstexte der Mathematik, Springer Verlag 1993, 1996
• David, Donald. "Tabelle der Immersionen und Einbettungen realer projektiver Räume" . Abgerufen am 22. September 2011 .
• Hatcher, Allen (2001). Algebraische Topologie . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79160-1.