Regelmäßiger Raum - Regular space

In der Topologie und verwandten Bereichen der Mathematik wird ein topologischer Raum X als regulärer Raum bezeichnet, wenn jede geschlossene Teilmenge C von X und ein Punkt p, der nicht in C enthalten ist , nicht überlappende offene Nachbarschaften zulassen . Somit p und C können getrennt von Nachbarschaften. Dieser Zustand ist als Axiom T _{3 bekannt} . Der Begriff " T ₃ -Raum " bedeutet üblicherweise "ein regulärer Hausdorff-Raum ". Diese Bedingungen sind Beispiele für Trennungsaxiome .

Definitionen

Der Punkt x , dargestellt durch einen Punkt links vom Bild, und die geschlossene Menge F , dargestellt durch eine geschlossene Scheibe rechts vom Bild, sind durch ihre Nachbarschaften U und V getrennt , dargestellt durch größere offene Scheiben . Der Punkt x hat viel Platz, um um die offene Scheibe U herum zu wackeln , und die geschlossene Scheibe F hat viel Raum, um um die offene Scheibe V herum zu wackeln , aber U und V berühren sich nicht.

Ein topologischer Raum X ist ein regulärer Raum, wenn bei einer geschlossenen Menge F und einem Punkt x , der nicht zu F gehört , eine Nachbarschaft U von x und eine Nachbarschaft V von F existieren , die disjunkt sind . Kurz gesagt, es muss möglich sein, x und F durch disjunkte Nachbarschaften zu trennen .

Ein T ₃ -Raum oder ein regulärer Hausdorff-Raum ist ein topologischer Raum, der sowohl ein regulärer als auch ein Hausdorff-Raum ist . (Ein Hausdorff-Raum oder T ₂ -Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei unterschiedliche Punkte durch Nachbarschaften getrennt sind.) Es stellt sich heraus, dass ein Raum genau dann T ₃ ist, wenn er sowohl regulär als auch T _{0 ist} . (AT ₀ oder Kolmogorov-Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei verschiedene Punkte topologisch unterscheidbar sind , dh für jedes Paar verschiedener Punkte hat mindestens einer von ihnen eine offene Nachbarschaft , die den anderen nicht enthält.) In der Tat, wenn ein Raum ist Hausdorff ist dann T ₀ , und jeder reguläre Raum T ₀ ist Hausdorff: Bei zwei unterschiedlichen Punkten verfehlt mindestens einer die Schließung des anderen, so dass (aufgrund der Regelmäßigkeit) disjunkte Nachbarschaften existieren, die einen Punkt von (der Schließung) trennen von) dem anderen.

Obwohl die hier vorgestellten Definitionen für "regulär" und "T ₃ " nicht ungewöhnlich sind, gibt es in der Literatur erhebliche Unterschiede: Einige Autoren wechseln die Definitionen von "regulär" und "T ₃ ", wie sie hier verwendet werden, oder verwenden beide Begriffe austauschbar. In diesem Artikel werden wir den Begriff "regulär" frei verwenden, aber wir werden normalerweise "reguläres Hausdorff" sagen, was eindeutig ist, anstelle des weniger präzisen "T ₃ ". Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unter Geschichte der Trennungsaxiome .

Ein lokal regulärer Raum ist ein topologischer Raum, in dem jeder Punkt eine offene Nachbarschaft hat, die regelmäßig ist. Jeder reguläre Raum ist lokal regulär, aber das Gegenteil ist nicht der Fall. Ein klassisches Beispiel für einen lokal regulären Raum, der nicht regelmäßig ist, ist die Bug-Eyed-Linie .

Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen

Ein regulärer Raum ist notwendigerweise auch vorregulär , dh zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte können durch Nachbarschaften getrennt werden. Da ein Hausdorff-Raum der gleiche ist wie ein vorregulärer T ₀ -Raum , muss ein regulärer Raum, der auch T ₀ ist, Hausdorff (und damit T ₃ ) sein. Tatsächlich erfüllt ein regulärer Hausdorff-Raum die etwas stärkere Bedingung T _2½ . (Ein solcher Raum muss jedoch nicht vollständig Hausdorff sein .) Daher kann die Definition von T ₃ T ₀ , T ₁ oder T _2½ anstelle von T ₂ (Hausdorffness) zitieren ; Alle sind im Kontext regulärer Räume gleichwertig.

Theoretisch gesehen sind die Bedingungen der Regelmäßigkeit und der T ₃ -Einheit durch Kolmogorov-Quotienten verbunden . Ein Raum ist genau dann regulär, wenn sein Kolmogorov-Quotient T _{3 ist} ; und wie erwähnt ist ein Raum genau dann T _3, wenn er sowohl regulär als auch T _{0 ist} . Daher kann ein in der Praxis angetroffener regulärer Raum normalerweise als T ₃ angenommen werden , indem der Raum durch seinen Kolmogorov-Quotienten ersetzt wird.

Es gibt viele Ergebnisse für topologische Räume, die sowohl für reguläre als auch für Hausdorff-Räume gelten. Meistens gelten diese Ergebnisse für alle vorregulären Räume. Sie wurden für reguläre und Hausdorff-Räume getrennt aufgeführt, da die Idee der vorregulären Räume später kam. Andererseits gelten die Ergebnisse, bei denen es wirklich um Regelmäßigkeit geht, im Allgemeinen nicht auch für unregelmäßige Hausdorff-Räume.

Es gibt viele Situationen, in denen eine andere Bedingung topologischer Räume (wie Normalität , Pseudonormalität , Parakompaktheit oder lokale Kompaktheit ) Regelmäßigkeit impliziert, wenn ein schwächeres Trennungsaxiom wie Preregularität erfüllt ist. Solche Bedingungen gibt es oft in zwei Versionen: einer regulären Version und einer Hausdorff-Version. Obwohl Hausdorff-Räume im Allgemeinen nicht regulär sind, wird ein Hausdorff-Raum, der auch (sagen wir) lokal kompakt ist, regelmäßig sein, da jeder Hausdorff-Raum vorregulär ist. Unter einem bestimmten Gesichtspunkt ist Regelmäßigkeit hier also nicht wirklich das Problem, und wir könnten stattdessen eine schwächere Bedingung auferlegen, um das gleiche Ergebnis zu erzielen. Definitionen werden jedoch normalerweise immer noch in Bezug auf die Regelmäßigkeit formuliert, da diese Bedingung bekannter ist als jede schwächere.

Die meisten in der mathematischen Analyse untersuchten topologischen Räume sind regelmäßig; Tatsächlich sind sie normalerweise völlig regelmäßig , was eine stärkere Erkrankung darstellt. Normale Räume sollten auch normalen Räumen gegenübergestellt werden .

Beispiele und Nichtbeispiele

Ein nulldimensionaler Raum in Bezug auf die kleine induktive Dimension hat eine Basis, die aus Clopen-Mengen besteht . Jeder solche Raum ist regelmäßig.

Wie oben beschrieben, ist jeder vollständig reguläre Raum regulär, und jeder T ₀ -Raum, der nicht Hausdorff (und daher nicht vorregulär) ist, kann nicht regulär sein. Die meisten Beispiele für reguläre und unregelmäßige Räume, die in Mathematik studiert wurden, finden sich in diesen beiden Artikeln. Andererseits werden Räume, die regelmäßig, aber nicht vollständig regelmäßig oder vorregulär, aber nicht regelmäßig sind, normalerweise nur so konstruiert, dass sie Gegenbeispiele zu Vermutungen liefern und die Grenzen möglicher Theoreme aufzeigen . Natürlich kann man leicht reguläre Räume finden, die nicht T ₀ und damit nicht Hausdorff sind, wie beispielsweise einen indiskreten Raum , aber diese Beispiele bieten mehr Einblick in das T ₀ -Axiom als in die Regelmäßigkeit. Ein Beispiel für einen normalen Raum, der nicht ganz normal ist, ist der Tychonoff-Korkenzieher .

Die interessantesten Räume in der Mathematik, die regelmäßig sind, erfüllen auch eine stärkere Bedingung. Daher werden reguläre Räume normalerweise untersucht, um Eigenschaften und Theoreme wie die folgenden zu finden, die tatsächlich auf vollständig reguläre Räume angewendet werden, typischerweise in der Analyse.

Es gibt Hausdorff-Räume, die nicht regelmäßig sind. Ein Beispiel ist die Menge R mit der Topologie, die durch Mengen der Form U - C erzeugt wird , wobei U eine offene Menge im üblichen Sinne ist und C eine beliebige zählbare Teilmenge von U ist .

Elementare Eigenschaften

Angenommen, X ist ein reguläres Leerzeichen. Dann gibt es bei jedem Punkt x und jeder Nachbarschaft G von x eine geschlossene Nachbarschaft E von x , die eine Teilmenge von G ist . In schickeren Begriffen bilden die geschlossenen Nachbarschaften von x eine lokale Basis bei x . Tatsächlich kennzeichnet diese Eigenschaft reguläre Räume; Wenn die geschlossenen Nachbarschaften jedes Punktes in einem topologischen Raum an diesem Punkt eine lokale Basis bilden, muss der Raum regelmäßig sein.

Wenn wir die Innenräume dieser geschlossenen Nachbarschaften betrachten, sehen wir, dass die regulären offenen Mengen eine Basis für die offenen Mengen des regulären Raums X bilden . Diese Eigenschaft ist tatsächlich schwächer als die Regelmäßigkeit; Ein topologischer Raum, dessen regelmäßige offene Mengen eine Basis bilden, ist semiregulär .

Verweise