Filter (Signalverarbeitung) - Filter (signal processing)

In der Signalverarbeitung ist ein Filter ein Gerät oder ein Prozess, der einige unerwünschte Komponenten oder Merkmale aus einem Signal entfernt . Filterung ist eine Klasse der Signalverarbeitung , wobei das bestimmende Merkmal von Filtern die vollständige oder teilweise Unterdrückung eines bestimmten Signalaspekts ist. In den meisten Fällen bedeutet dies, einige Frequenzen oder Frequenzbänder zu entfernen . Filter wirken jedoch nicht ausschließlich im Frequenzbereich ; insbesondere im Bereich der Bildverarbeitung gibt es viele andere Filterziele. Korrelationen können für bestimmte Frequenzkomponenten entfernt werden und für andere nicht, ohne im Frequenzbereich agieren zu müssen. Filter werden häufig in der Elektronik und Telekommunikation , in Radio , Fernsehen , Audioaufzeichnung , Radar , Steuerungssystemen , Musiksynthese , Bildverarbeitung und Computergrafik verwendet .

Es gibt viele verschiedene Grundlagen von Klassifikationsfiltern und diese überschneiden sich in vielerlei Hinsicht; es gibt keine einfache hierarchische Einteilung. Filter können sein:

• nichtlinear oder linear
• zeitvariant oder zeitinvariant , auch als Verschiebungsinvarianz bekannt. Wenn der Filter in einem räumlichen Bereich arbeitet, ist die Charakterisierung die Rauminvarianz.
• kausal oder nicht-kausal: Ein Filter ist nicht-kausal, wenn seine aktuelle Ausgabe von zukünftigen Eingaben abhängt. Filter, die Zeitbereichssignale in Echtzeit verarbeiten, müssen kausal sein, nicht jedoch Filter, die auf Signale im Raumbereich wirken oder zeitverzögerte Verarbeitung von Zeitbereichssignalen.
• analog oder digital
• zeitdiskret (abgetastet) oder zeitkontinuierlich
• passiver oder aktiver zeitkontinuierlicher Filter
• zeitdiskrete oder digitale Filter vom Typ mit unendlicher Impulsantwort (IIR) oder endlicher Impulsantwort (FIR).

Lineare zeitkontinuierliche Filter

Lineare zeitkontinuierliche Schaltung ist vielleicht die gebräuchlichste Bedeutung für Filter in der Welt der Signalverarbeitung, und einfach "Filter" wird oft synonym verwendet. Diese Schaltungen sind im Allgemeinen so ausgelegt , dass sie bestimmte Frequenzen entfernen und andere durchlassen. Schaltungen, die diese Funktion ausführen, sind in ihrer Reaktion im Allgemeinen oder zumindest annähernd linear . Jede Nichtlinearität würde möglicherweise dazu führen, dass das Ausgangssignal Frequenzkomponenten enthält, die im Eingangssignal nicht vorhanden sind.

Die moderne Entwurfsmethodik für lineare zeitkontinuierliche Filter wird als Netzwerksynthese bezeichnet . Einige wichtige Filterfamilien, die auf diese Weise entworfen wurden, sind:

• Chebyshev-Filter , hat die beste Annäherung an die ideale Reaktion aller Filter für eine bestimmte Ordnung und Welligkeit.
• Butterworth-Filter , hat einen maximal flachen Frequenzgang.
• Bessel-Filter , hat eine maximal flache Phasenverzögerung .
• Elliptischer Filter , hat den steilsten Cutoff aller Filter für eine bestimmte Ordnung und Welligkeit.

Der Unterschied zwischen diesen Filterfamilien besteht darin, dass sie alle eine unterschiedliche Polynomfunktion verwenden , um sich der idealen Filterantwort anzunähern. Dies führt dazu, dass jeder eine andere Übertragungsfunktion hat .

Eine andere ältere, weniger verwendete Methode ist die Bildparametermethode . Nach dieser Methodik entworfene Filter werden archaisch "Wellenfilter" genannt. Einige wichtige Filter, die mit dieser Methode entwickelt wurden, sind:

• Constant-k-Filter , die ursprüngliche und einfachste Form des Wellenfilters.
• m-derived Filter , eine Modifikation der Konstanten k mit verbesserter Cutoff-Steilheit und Impedanzanpassung .

Terminologie

Einige Begriffe, die verwendet werden, um lineare Filter zu beschreiben und zu klassifizieren:

• Der Frequenzgang kann in einer Reihe von verschiedenen bandforms klassifiziert werden beschreibt , die Frequenzbänder der Filterdurchgänge (der Durchlassbereich ) und die sie zurückweist (das Sperrband ):
  • Tiefpassfilter  – tiefe Frequenzen werden durchgelassen, hohe Frequenzen werden gedämpft.
  • Hochpassfilter  – hohe Frequenzen werden durchgelassen, tiefe Frequenzen werden gedämpft.
  • Bandpassfilter  – nur Frequenzen in einem Frequenzband werden durchgelassen.
  • Bandsperrfilter oder Bandsperrfilter – nur Frequenzen in einem Frequenzband werden gedämpft.
  • Notch-Filter  – weist nur eine bestimmte Frequenz zurück – einen extremen Bandsperrfilter.
  • Kammfilter  – hat mehrere regelmäßig beabstandete schmale Durchlassbänder, die der Bandform das Aussehen eines Kamms verleihen.
  • Allpassfilter  – alle Frequenzen werden durchgelassen, aber die Phase des Ausgangs wird modifiziert.
• Die Grenzfrequenz ist die Frequenz, jenseits derer der Filter keine Signale durchlässt. Sie wird normalerweise bei einer bestimmten Dämpfung wie 3 dB gemessen.
• Roll-off ist die Rate, mit der die Dämpfung über die Grenzfrequenz hinaus ansteigt.
• Übergangsband , das (normalerweise schmale) Frequenzband zwischen einem Durchlassband und einem Sperrband.
• Ripple ist die Variation der Einfügedämpfung des Filters im Durchlassbereich.
• Die Ordnung eines Filters ist der Grad des Näherungspolynoms und entspricht bei passiven Filtern der Anzahl der Elemente, die zum Aufbau erforderlich sind. Eine zunehmende Ordnung erhöht das Roll-Off und bringt den Filter näher an die ideale Reaktion.

Eine wichtige Anwendung von Filtern liegt in der Telekommunikation . Viele Telekommunikationssysteme verwenden Frequenzmultiplexverfahren , bei dem die Systementwickler ein breites Frequenzband in viele schmalere Frequenzbänder aufteilen, die als "Schlitze" oder "Kanäle" bezeichnet werden, und jedem Informationsstrom wird einer dieser Kanäle zugewiesen. Die Leute, die die Filter an jedem Sender und jedem Empfänger konstruieren, versuchen, die Durchleitung des gewünschten Signals so genau wie möglich abzugleichen, um Störungen zu und von anderen kooperierenden Sendern und Rauschquellen außerhalb des Systems zu vertretbaren Kosten so gering wie möglich zu halten.

Mehrstufige und mehrphasige digitale Modulationssysteme erfordern Filter mit flacher Phasenverzögerung – mit linearer Phase im Durchlassband –, um die Impulsintegrität im Zeitbereich zu bewahren und weniger Intersymbol-Interferenzen als andere Arten von Filtern zu erzeugen.

Auf der anderen Seite können analoge Audiosysteme , die eine analoge Übertragung verwenden, viel größere Welligkeiten in der Phasenverzögerung tolerieren , und so opfern Entwickler solcher Systeme oft absichtlich die lineare Phase, um Filter zu erhalten, die auf andere Weise besser sind – bessere Sperrbandunterdrückung, niedrigere Durchlassbandamplitude Welligkeit, niedrigere Kosten usw.

Technologien

Filter können in einer Reihe verschiedener Technologien gebaut werden. Dieselbe Übertragungsfunktion kann auf verschiedene Weise realisiert werden, dh die mathematischen Eigenschaften des Filters sind gleich, aber die physikalischen Eigenschaften sind ziemlich unterschiedlich. Oft sind die Komponenten in verschiedenen Technologien direkt analog und erfüllen in ihren jeweiligen Filtern die gleiche Rolle. Die Widerstände, Induktivitäten und Kondensatoren der Elektronik entsprechen beispielsweise Dämpfern, Massen und Federn in der Mechanik. Ebenso gibt es entsprechende Komponenten in Filtern mit verteilten Elementen .

• Elektronische Filter waren ursprünglich völlig passiv und bestanden aus Widerstand, Induktivität und Kapazität. Aktive Technologie erleichtert das Design und eröffnet neue Möglichkeiten bei der Filterspezifikation.
• Digitalfilter arbeiten mit Signalen, die in digitaler Form dargestellt werden. Das Wesen eines digitalen Filters besteht darin, dass es einen mathematischen Algorithmus, der der gewünschten Filterübertragungsfunktion entspricht, direkt in seiner Programmierung oder seinem Mikrocode implementiert.
• Mechanische Filter bestehen aus mechanischen Komponenten. In den allermeisten Fällen werden sie verwendet, um ein elektronisches Signal zu verarbeiten, und es sind Aufnehmer vorhanden, um dieses in eine mechanische Schwingung umzuwandeln und von dieser zu lösen. Es gibt jedoch Beispiele für Filter, die für den Betrieb vollständig im mechanischen Bereich ausgelegt sind.
• Filter mit verteilten Elementen sind aus Komponenten aufgebaut, die aus kleinen Teilen einer Übertragungsleitung oder anderen verteilten Elementen bestehen . Es gibt Strukturen in Filtern mit verteilten Elementen, die direkt den konzentrierten Elementen elektronischer Filter entsprechen, und andere, die für diese Technologieklasse einzigartig sind.
• Wellenleiterfilter bestehen aus Wellenleiterkomponenten oder in den Wellenleiter eingefügten Komponenten. Wellenleiter sind eine Klasse von Übertragungsleitungen, und viele Strukturen von Filtern mit verteilten Elementen, beispielsweise die Stichleitung , können auch in Wellenleitern implementiert werden.
• Optische Filter wurden ursprünglich für andere Zwecke als die Signalverarbeitung wie Beleuchtung und Fotografie entwickelt. Mit dem Aufkommen der Lichtwellenleitertechnologie finden optische Filter jedoch zunehmend Anwendungen in der Signalverarbeitung, und die Terminologie für Signalverarbeitungsfilter, wie Langpass und Kurzpass , tritt in das Feld ein.
• Transversalfilter , oder Verzögerungsleitungsfilter, funktioniert durch Summieren von Kopien des Eingangs nach verschiedenen Zeitverzögerungen. Dies kann mit verschiedenen Technologien implementiert werden, einschließlich analoger Verzögerungsleitungen , aktiver Schaltungen, CCD- Verzögerungsleitungen oder vollständig im digitalen Bereich.

Digitale Filter

Eineine allgemeinen finite Impulsantwortfilter mit n Stufen, die jeweils mit einer unabhängigen Verzögerung d _i und Verstärkung, ein _i .

Die digitale Signalverarbeitung ermöglicht den kostengünstigen Aufbau verschiedenster Filter. Das Signal wird abgetastet und ein Analog-Digital-Wandler wandelt das Signal in einen Zahlenstrom um. Ein Computerprogramm, das auf einer CPU oder einem spezialisierten DSP (oder seltener auf einer Hardwareimplementierung des Algorithmus ) läuft, berechnet einen Ausgabezahlenstrom. Diese Ausgabe kann in ein Signal umgewandelt werden, indem sie durch einen Digital-Analog-Wandler geleitet wird . Es gibt Probleme mit Rauschen, das durch die Konvertierungen eingeführt wird, aber diese können für viele nützliche Filter kontrolliert und begrenzt werden. Aufgrund der beteiligten Abtastung muss das Eingangssignal einen begrenzten Frequenzinhalt aufweisen, da sonst Aliasing auftritt.

Quarzfilter und Piezoelektrika

Quarzfilter mit einer Mittenfrequenz von 45 MHz und einer Bandbreite B _3dB von 12 kHz.

In den späten 1930er Jahren erkannten Ingenieure, dass kleine mechanische Systeme aus starren Materialien wie Quarz bei Radiofrequenzen, also von hörbaren Frequenzen ( Schall ) bis zu mehreren hundert Megahertz, akustisch mitschwingen . Einige frühe Resonatoren wurden aus Stahl hergestellt , aber Quarz wurde schnell bevorzugt. Der größte Vorteil von Quarz ist, dass es piezoelektrisch ist . Damit können Schwingquarze ihre eigene mechanische Bewegung direkt in elektrische Signale umwandeln. Quarz hat auch einen sehr niedrigen thermischen Ausdehnungskoeffizienten, was bedeutet, dass Quarzresonatoren über einen weiten Temperaturbereich stabile Frequenzen erzeugen können. Quarzkristallfilter haben viel höhere Qualitätsfaktoren als LCR-Filter. Wenn höhere Stabilitäten erforderlich sind, können die Kristalle und ihre Treiberschaltungen in einem " Kristallofen " montiert werden , um die Temperatur zu kontrollieren. Bei sehr schmalbandigen Filtern werden manchmal mehrere Quarze in Reihe betrieben.

Eine große Anzahl von Kristallen kann zu einem einzigen Bauteil kollabiert werden, indem kammförmige Metallverdampfungen auf einem Quarzkristall angebracht werden. Bei diesem Schema verstärkt eine "abgegriffene Verzögerungsleitung " die gewünschten Frequenzen, wenn die Schallwellen über die Oberfläche des Quarzkristalls fließen. Die angezapfte Verzögerungsleitung ist zu einem allgemeinen Schema zur Herstellung von Filtern mit hohem Q auf viele verschiedene Arten geworden.

SAW-Filter

SAW- Filter ( Surface Acoustic Wave ) sind elektromechanische Geräte, die üblicherweise in Hochfrequenzanwendungen verwendet werden . Elektrische Signale werden in einer Vorrichtung, die aus einem piezoelektrischen Kristall oder einer Keramik besteht, in eine mechanische Welle umgewandelt ; diese Welle wird bei ihrer Ausbreitung durch das Gerät verzögert, bevor sie von weiteren Elektroden wieder in ein elektrisches Signal umgewandelt wird . Die verzögerten Ausgänge werden rekombiniert, um eine direkte analoge Implementierung eines Filters mit endlicher Impulsantwort zu erzeugen . Diese Hybridfiltertechnik findet sich auch in einem analog abgetasteten Filter . SAW-Filter sind auf Frequenzen bis 3 GHz beschränkt. Die Filter wurden von Professor Ted Paige und anderen entwickelt.

BAW-Filter

BAW-Filter (Bulk Acoustic Wave) sind elektromechanische Geräte. BAW-Filter können Leiter- oder Gitterfilter implementieren. BAW-Filter arbeiten typischerweise bei Frequenzen von etwa 2 bis etwa 16 GHz und können kleiner oder dünner als äquivalente SAW-Filter sein. Zwei Hauptvarianten von BAW-Filtern halten Einzug in Geräte: Dünnschicht- Volumenakustikresonatoren oder FBAR und fest montierte Volumenakustikresonatoren (SMRs).

Granatfilter

Ein weiteres Filterverfahren bei Mikrowellenfrequenzen von 800 MHz bis etwa 5 GHz besteht darin, eine synthetische Einkristall- Yttrium-Eisen-Granat- Kugel zu verwenden, die aus einer chemischen Kombination von Yttrium und Eisen besteht (YIGF oder Yttrium-Eisen-Granat-Filter). Der Granat sitzt auf einem Metallstreifen durch einen angetriebenen Transistor , und eine kleine Schleifenantenne berührt die Oberseite der Kugel ist . Ein Elektromagnet ändert die Frequenz, die der Granat durchlässt. Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass der Granat durch Variation der Magnetfeldstärke über einen sehr breiten Frequenzbereich gestimmt werden kann .

Atomfilter

Für noch höhere Frequenzen und höhere Präzision müssen die Schwingungen von Atomen genutzt werden. Atomuhren verwenden Cäsium- Maser als Filter mit ultrahohem Q , um ihre Primäroszillatoren zu stabilisieren. Eine andere Methode, die bei hohen Festfrequenzen mit sehr schwachen Funksignalen verwendet wird, besteht darin, eine Verzögerungsleitung mit Rubin- Maser-Abgriff zu verwenden.

Die Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion eines Filters wird am häufigsten im Bereich der komplexen Frequenzen definiert. Der Hin- und Rückweg zu/von diesem Bereich wird durch die Laplace-Transformation und ihre Umkehrung betrieben (deshalb soll der Begriff "Eingangssignal" im Folgenden als "die Laplace-Transformation" der Zeitdarstellung des Eingangssignals verstanden werden, und demnächst).

Die Übertragungsfunktion eines Filters ist das Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal in Abhängigkeit von der komplexen Frequenz : ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

mit . ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

Für Filter, die aus diskreten Komponenten aufgebaut sind ( lumped elements ):

• Ihre Übertragungsfunktion ist das Verhältnis der Polynome in , dh eine rationale Funktion von . Die Ordnung der Übertragungsfunktion wird die höchste Potenz von entweder dem Zähler- oder dem Nennerpolynom sein.${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$
• Die Polynome der Übertragungsfunktion haben alle reelle Koeffizienten. Daher sind die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion entweder reell oder treten in komplex-konjugierten Paaren auf.
• Da die Filter als stabil angenommen werden, ist der Realteil aller Pole (dh Nullstellen des Nenners) negativ, dh sie liegen im komplexen Frequenzraum in der linken Halbebene.

Filter mit verteilten Elementen haben im Allgemeinen keine Übertragungsfunktionen mit rationalen Funktionen, können diese jedoch annähern.

Die Konstruktion einer Übertragungsfunktion beinhaltet die Laplace-Transformation und muss daher Null-Anfangsbedingungen annehmen, weil

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\ }-f(0),}$

Und bei f (0) = 0 können wir die Konstanten loswerden und den üblichen Ausdruck verwenden

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\ }}$

Eine Alternative zu Übertragungsfunktionen besteht darin, das Verhalten des Filters als Faltung des Zeitbereichseingangs mit der Impulsantwort des Filters anzugeben . Der Faltungssatz , der für Laplace-Transformationen gilt, garantiert die Äquivalenz mit Übertragungsfunktionen.

Einstufung

Bestimmte Filter können nach Familie und Bandform spezifiziert werden. Die Familie eines Filters wird durch das verwendete Näherungspolynom spezifiziert, und jedes führt zu bestimmten Eigenschaften der Übertragungsfunktion des Filters. Einige gängige Filterfamilien und ihre besonderen Eigenschaften sind:

• Butterworth-Filter  – keine Welligkeit der Verstärkung im Durchlass- und Sperrbereich, langsamer Cutoff
• Chebyshev-Filter (Typ I)  – keine Verstärkungswelligkeit im Stoppband, moderater Cutoff
• Chebyshev-Filter (Typ II)  – keine Verstärkungswelligkeit im Durchlassbereich, moderater Cutoff
• Bessel-Filter  – keine Welligkeit der Gruppenverzögerung , keine Welligkeit der Verstärkung in beiden Bändern, langsame Verstärkungsabschaltung
• Elliptischer Filter  – Verstärkungswelligkeit im Durchlass- und Sperrbereich, schneller Cutoff
• Optimaler "L"-Filter
• Gauß-Filter  – keine Welligkeit bei Sprungfunktion
• Raised-Cosinus-Filter

Jede Filterfamilie kann in einer bestimmten Reihenfolge angegeben werden. Je höher die Ordnung, desto mehr nähert sich der Filter dem "idealen" Filter an; aber auch je länger die Impulsantwort ist und desto länger wird die Latenz sein. Ein ideales Filter hat volle Transmission im Durchlassband, vollständige Dämpfung im Sperrband und einen abrupten Übergang zwischen den beiden Bändern, aber dieses Filter hat unendliche Ordnung (dh die Antwort kann nicht als lineare Differentialgleichung mit endlicher Summe ausgedrückt werden ) und unendliche Latenz (dh seine kompakte Unterstützung in der Fourier-Transformation zwingt seine Zeitantwort, immer dauerhaft zu sein).

Hier ist ein Bild, das Butterworth-, Chebyshev- und elliptische Filter vergleicht. Die Filter in dieser Abbildung sind alle Tiefpassfilter fünfter Ordnung. Dabei spielt die jeweilige Implementierung – analog oder digital, passiv oder aktiv – keine Rolle; ihre Ausgabe wäre die gleiche. Wie aus dem Bild hervorgeht, sind elliptische Filter schärfer als die anderen, zeigen jedoch Wellen auf der gesamten Bandbreite.

Jede Familie kann verwendet werden, um eine bestimmte Bandform zu implementieren, deren Frequenzen übertragen werden und die außerhalb des Durchlassbandes mehr oder weniger gedämpft sind. Die Übertragungsfunktion spezifiziert vollständig das Verhalten eines linearen Filters, jedoch nicht die spezielle Technologie, die verwendet wird, um es zu implementieren. Mit anderen Worten, es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine bestimmte Übertragungsfunktion beim Entwurf einer Schaltung zu erreichen. Eine bestimmte Filterbandform kann durch Transformation eines Prototypfilters dieser Familie erhalten werden.

Impedanzanpassung

Impedanzanpassungsstrukturen haben ausnahmslos die Form eines Filters, dh eines Netzwerks von nicht dissipativen Elementen. In einer passiven Elektronikimplementierung würde sie beispielsweise wahrscheinlich die Form einer Leitertopologie von Induktoren und Kondensatoren annehmen . Der Entwurf von Anpassungsnetzwerken hat viele Gemeinsamkeiten mit Filtern, und der Entwurf wird unweigerlich eine Filterwirkung als zufällige Konsequenz haben. Obwohl der Hauptzweck eines Anpassungsnetzwerks nicht darin besteht, zu filtern, ist es oft der Fall, dass beide Funktionen in derselben Schaltung kombiniert werden. Die Notwendigkeit einer Impedanzanpassung besteht nicht, während Signale im digitalen Bereich liegen.

Ähnliches gilt für Leistungsteiler und Richtkoppler . Bei Implementierung in einem Distributed-Element-Format können diese Geräte die Form eines Distributed-Element-Filters annehmen . Es müssen vier Ports angepasst werden, und die Erweiterung der Bandbreite erfordert filterartige Strukturen, um dies zu erreichen. Das Umgekehrte gilt auch: Filter mit verteilten Elementen können die Form von gekoppelten Leitungen haben.

Einige Filter für bestimmte Zwecke

• Audiofilter
• Netzfilter
• Skalierte Korrelation , Hochpassfilter für Korrelationen
• Texturfilterung

Filter zum Entfernen von Rauschen aus Daten

• Wiener-Filter
• Kalman-Filter
• Savitzky-Golay-Glättungsfilter

Siehe auch

• Topologie des elektronischen Filters
• Lifter (Signalverarbeitung)
• Lärmminderung
• Sallen–Schlüsseltopologie
• Glätten

Verweise

• Miroslav D. Lutovac, Dejan V. Tošić, Brian Lawrence Evans, Filter Design for Signal Processing Using MATLAB and Mathematica , Miroslav Lutovac, 2001 ISBN  0201361302 .
• BA Shenoi, Einführung in die digitale Signalverarbeitung und das Filterdesign, John Wiley & Sons, 2005 ISBN  0471656380 .
• LD Paarmann, Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective , Springer, 2001 ISBN  0792373731 .
• JSCHitode, Digitale Signalverarbeitung , Technische Veröffentlichungen, 2009 ISBN  8184316461 .
• Leland B. Jackson, Digitalfilter und Signalverarbeitung , Springer, 1996 ISBN  079239559X .