Unterraumtopologie - Subspace topology

In Topologie und verwandten Bereichen der Mathematik , ein Unterraum eines topologischen Raum X ist eine Teilmenge S von X , das mit einer ausgestattet Topologie von den induzierten X genannt Subraum - Topologie (oder die relative Topologie oder die induzierte Topologie oder die Spuren Topologie ).

Definition

Bei einem gegebenen topologischen Raum und einer Teilmenge von ist die Teilraumtopologie on definiert durch ${\displaystyle (X,\tau)}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau_{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in\tau\rbrace.}$

Das heißt, eine Teilmenge von ist in der Unterraumtopologie genau dann offen, wenn sie der Schnittpunkt von mit einer offenen Menge in ist . Wenn es mit der Unterraumtopologie ausgestattet ist, ist es ein eigenständiger topologischer Raum und wird als Unterraum von bezeichnet . Es wird normalerweise angenommen, dass Teilmengen topologischer Räume mit der Teilraumtopologie ausgestattet sind, sofern nicht anders angegeben. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau)}$

Alternativ können wir die Unterraumtopologie für eine Teilmenge von als die gröbste Topologie definieren, für die die Inklusionsabbildung${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

ist kontinuierlich .

Allgemeiner gesagt, nehmen wir an, es handelt sich um eine Injektion von einer Menge in einen topologischen Raum . Dann wird die Unterraumtopologie on als die gröbste Topologie definiert, die stetig ist. Die offenen Mengen in dieser Topologie sind genau die der Form für öffnen in . ist dann homöomorph zu seinem Bild in (auch mit der Unterraumtopologie) und wird als topologische Einbettung bezeichnet . ${\displaystyle\iota}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle\iota}$${\displaystyle \iota^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle\iota}$

Ein Unterraum wird als offener Unterraum bezeichnet, wenn die Injektion eine offene Abbildung ist , dh wenn das Vorwärtsbild einer offenen Menge von in offen ist . Ebenso wird er als geschlossener Unterraum bezeichnet, wenn die Injektion eine geschlossene Abbildung ist . ${\displaystyle S}$${\displaystyle\iota}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle\iota}$

Terminologie

Die Unterscheidung zwischen einer Menge und einem topologischen Raum wird der Einfachheit halber oft in der Notation verwischt, was zu Verwirrung führen kann, wenn man diesen Definitionen zum ersten Mal begegnet. Somit , wenn eine Teilmenge von , und ist ein topologischer Raum, dann ist die unadorned Symbole „ “ und „ “ oft verwendet werden können , sowohl beziehen und als zwei Untergruppen in Betracht gezogen , und auch auf und wie die topologische Räume, wie diskutiert im Zusammenhang Oben. So werden Ausdrücke wie " ein offener Unterraum von " verwendet, um zu bedeuten, dass es sich um einen offenen Unterraum von im unten verwendeten Sinne handelt; das heißt: (i) ; und (ii) gilt als mit der Unterraumtopologie ausgestattet. ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau_{S})}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau_{S})}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S\in\tau}$${\displaystyle S}$

Beispiele

Stellt im Folgenden die reellen Zahlen mit ihrer üblichen Topologie dar. ${\displaystyle \mathbb{R}}$

• Die Unterraumtopologie der natürlichen Zahlen als Unterraum von ist die diskrete Topologie .${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Die als Unterraum von betrachteten rationalen Zahlen haben nicht die diskrete Topologie ({0} ist beispielsweise keine offene Menge in ). Sind a und b rational, dann sind die Intervalle ( a , b ) bzw. [ a , b ] offen bzw. abgeschlossen, aber wenn a und b irrational sind, dann ist die Menge aller rationalen x mit a < x < b beides offen und geschlossen.${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$
• Die Menge [0,1] als Teilraum von ist sowohl offen als auch abgeschlossen, während sie als Teilmenge nur abgeschlossen ist.${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Da ein Unterraum von , [0, 1] ∪ [2, 3] aus zwei disjunkten offenen Teilmengen (die zufällig auch abgeschlossen sind) besteht, ist er also ein unzusammenhängender Raum .${\displaystyle \mathbb{R}}$
• Sei S = [0, 1) ein Unterraum der reellen Geraden . Dann ist [0, 1 ⁄ 2 ) in S offen, aber nicht in . Ebenso ist [ 1 ⁄ 2 , 1) in S abgeschlossen, aber nicht in . S ist sowohl offen als auch abgeschlossen als Teilmenge von sich selbst, aber nicht als Teilmenge von .${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Eigenschaften

Die Unterraumtopologie hat die folgende charakteristische Eigenschaft. Sei ein Unterraum von und sei die Inklusionsabbildung. Dann ist für jeden topologischen Raum eine Abbildung genau dann stetig, wenn die zusammengesetzte Abbildung stetig ist. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:Y\to X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:Z\nach Y}$${\displaystyle i\circ f}$

Diese Eigenschaft ist insofern charakteristisch, als sie verwendet werden kann, um die Unterraumtopologie auf zu definieren . ${\displaystyle Y}$

Wir listen einige weitere Eigenschaften der Unterraumtopologie auf. Im Folgenden sei ein Unterraum von . ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• Wenn stetig ist, dann ist die Einschränkung auf stetig.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S}$
• Wenn stetig ist, dann ist stetig.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$
• Die abgeschlossenen Mengen in sind genau die Schnittmengen von mit geschlossenen Mengen in .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Wenn ist ein Unterraum von dann ist auch ein Unterraum von mit der gleichen Topologie. Mit anderen Worten, die Unterraumtopologie, von der erbt, ist dieselbe wie die, von der er erbt .${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Angenommen, es ist ein offener Unterraum von (so ). Dann wird eine Untergruppe von offen in , wenn und nur wenn es geöffnet ist in .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\in\tau}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Angenommen, es ist ein abgeschlossener Unterraum von (so ). Dann eine Teilmenge geschlossen in , wenn und nur wenn es geschlossen in .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus S\in\tau}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Wenn ist eine Basis für dann ist eine Basis für .${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$${\displaystyle S}$
• Die Topologie, die auf einer Teilmenge eines metrischen Raums durch Beschränkung der Metrik auf diese Teilmenge induziert wird, stimmt mit der Teilraumtopologie für diese Teilmenge überein.

Erhaltung topologischer Eigenschaften

Wenn ein topologischer Raum mit einer topologischen Eigenschaft impliziert, dass seine Unterräume diese Eigenschaft haben, dann sagen wir, dass die Eigenschaft erblich ist . Wenn nur abgeschlossene Unterräume die Eigenschaft teilen müssen, nennen wir sie schwach erblich .

• Jeder offene und jeder geschlossene Unterraum eines vollständig metrisierbaren Raums ist vollständig metrisierbar.
• Jeder offene Unterraum eines Baire-Raumes ist ein Baire-Raum.
• Jeder abgeschlossene Unterraum eines kompakten Raums ist kompakt.
• Ein Hausdorff-Raum zu sein ist erblich.
• Ein normaler Raum zu sein ist schwach erblich.
• Totale Beschränktheit ist erblich.
• Sein völlig getrennt ist erblich.
• Erste Zählbarkeit und zweite Zählbarkeit sind erblich.

Siehe auch

• der duale Quotientenraum
• Produkttopologie
• direkte Summentopologie

Verweise

• Bourbaki, Nicolas, Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie , Addison-Wesley (1966)
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover Reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, HERR  0507446
• Willard, Stephen. Allgemeine Topologie , Dover Publications (2004) ISBN  0-486-43479-6