Oberfläche der Rotation - Surface of revolution

Eine Rotationsfläche ist eine Fläche im euklidischen Raum durch Drehen einer erstellten Kurve (die Erzeugenden ) um eine Drehachse .

Beispiele für Rotationsflächen, die durch eine gerade Linie erzeugt werden, sind zylindrische und konische Flächen, je nachdem, ob die Linie parallel zur Achse verläuft oder nicht. Ein Kreis, der um einen beliebigen Durchmesser gedreht wird, erzeugt eine Kugel, von der er dann ein Großkreis ist , und wenn der Kreis um eine Achse gedreht wird, die das Innere eines Kreises nicht schneidet, dann erzeugt er einen Torus, der sich selbst nicht schneidet ( ein Ringtorus ).

Eigenschaften

Die von Ebenen durch die Achse gebildeten Schnitte der Rotationsfläche werden als Meridianschnitte bezeichnet . Als Erzeugende in der durch sie und die Achse bestimmten Ebene kann jeder Meridianschnitt angesehen werden.

Die Abschnitte der Rotationsfläche, die durch Ebenen gebildet werden, die senkrecht zur Achse stehen, sind Kreise.

Einige Spezialfälle von Hyperboloiden (entweder aus einem oder zwei Blättern) und elliptischen Paraboloiden sind Rotationsflächen . Diese können als quadratische Flächen identifiziert werden, deren Querschnitte senkrecht zur Achse alle kreisförmig sind.

Flächenformel

Wenn die Kurve durch die parametrischen Funktionen x ( t ) , y ( t ) beschrieben wird , wobei t über ein Intervall [ a , b ] reicht und die Rotationsachse die y- Achse ist, dann ist die Fläche A _y gegeben durch das Integral

${\displaystyle A_{y}=2\pi\int_{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx\over dt}\right)^{2}+\left ({dy\over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$

vorausgesetzt, dass x ( t ) zwischen den Endpunkten a und b niemals negativ ist . Diese Formel ist das Calculus-Äquivalent des Schwerpunktsatzes von Pappus . Die Quantität

${\displaystyle {\sqrt {\left({dx\over dt}\right)^{2}+\left({dy\over dt}\right)^{2}}}}$

kommt aus dem Satz des Pythagoras und stellt ein kleines Segment des Bogens der Kurve dar, wie in der Bogenlängenformel . Die Größe 2π x ( t ) ist der Weg (des Schwerpunkts) dieses kleinen Segments, wie es der Satz von Pappus erfordert.

Wenn die Rotationsachse die x- Achse ist und y ( t ) niemals negativ ist, ist die Fläche ebenfalls gegeben durch

${\displaystyle A_{x}=2\pi\int_{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx\over dt}\right)^{2}+\left ({dy\over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$

Wenn die durchgehende Kurve , die durch die Funktion beschrieben wird y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , dann wird die Integral

${\displaystyle A_{x}=2\pi\int_{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac{dy}{dx}}\right)^{2}}} \,dx=2\pi\int_{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\, dx}$

für Drehung um die x- Achse, und

${\displaystyle A_{y}=2\pi\int_{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac{dy}{dx}}\right)^{2}}} \,dx}$

für Drehung um die y- Achse (vorausgesetzt a 0 ). Diese stammen aus der obigen Formel.

Zum Beispiel wird die Kugelfläche mit Einheitsradius durch die Kurve y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) erzeugt , wenn t über [0,π] liegt . Seine Fläche ist daher

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}A&{}=2\pi\int_{0}^{\pi}\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big) }^{2}+{\big (}\sin(t){\big)}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi\int_{0}^{\pi} \sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{ausgerichtet}}}$

Für den Fall der sphärischen Kurve mit dem Radius r , y ( x ) = √ r ² - x ² gedreht , um die x - Achse

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}A&{}=2\pi\int_{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt { 1+{\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{ r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx \\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{ausgerichtet}}}$

Eine minimale Rotationsfläche ist die Rotationsfläche der Kurve zwischen zwei gegebenen Punkten, die die Oberfläche minimiert . Ein grundlegendes Problem der Variationsrechnung besteht darin, die Kurve zwischen zwei Punkten zu finden, die diese minimale Rotationsfläche erzeugt.

Es gibt nur zwei minimale Rotationsflächen ( Drehflächen, die auch Minimalflächen sind): die Ebene und die Katenoid .

Koordinatenausdrücke

Eine Rotationsfläche, die sich durch Drehen einer Kurve um die x-Achse ergibt, kann am einfachsten in Zylinderkoordinaten durch beschrieben werden . In kartesischen Koordinaten ergibt dies die Parametrisierung in Bezug auf und als . Wenn wir die Kurve stattdessen um die y-Achse drehen, dann wird die Kurve in Zylinderkoordinaten durch beschrieben , was den Ausdruck in Bezug auf die Parameter und ergibt . ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle r=f(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle (f(z)\cos(\theta),f(z)\sin(\theta),z)}$${\displaystyle z=f(r)}$${\displaystyle (r\cos(\theta),r\sin(\theta),f(r))}$${\displaystyle r}$${\displaystyle\theta}$

Sind x und y durch einen Parameter definiert , so erhalten wir eine Parametrisierung durch und . Wenn und Funktionen von sind , dann wird die Rotationsfläche, die durch Drehen der Kurve um die x-Achse erhalten wird, in Zylinderkoordinaten durch die parametrische Gleichung beschrieben , und die Rotationsfläche, die durch Drehen der Kurve um die y-Achse erhalten wird, wird durch beschrieben . In kartesischen Koordinaten werden diese (bzw.) zu und . Die obigen Formeln für die Oberfläche folgen dann, indem das Oberflächenintegral der konstanten Funktion 1 über die Oberfläche unter Verwendung dieser Parametrisierungen gebildet wird. ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (r,\theta,z)=(y(t),\theta,x(t))}$${\displaystyle (r,\theta,z)=(x(t),\theta,y(t))}$${\displaystyle (y(t)\cos(\theta),y(t)\sin(\theta),x(t))}$${\displaystyle (x(t)\cos(\theta),x(t)\sin(\theta),y(t))}$

Geodäten

Meridiane sind immer Geodäten auf einer Rotationsfläche. Andere Geodäten unterliegen der Clairaut-Beziehung .

Toroide

Eine Rotationsfläche mit einem Loch, in der die Rotationsachse die Fläche nicht schneidet, wird als Toroid bezeichnet. Wenn beispielsweise ein Rechteck um eine Achse parallel zu einer seiner Kanten gedreht wird, entsteht ein hohler Ring mit quadratischem Querschnitt. Wenn die gedrehte Figur ein Kreis ist , wird das Objekt als Torus bezeichnet .

Anwendungen

Der Einsatz von Rotationsflächen ist in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften unverzichtbar. Wenn bestimmte Objekte digital entworfen werden, können solche Umdrehungen verwendet werden, um die Oberfläche zu bestimmen, ohne die Länge und den Radius des entworfenen Objekts zu messen.

Siehe auch

• Kanaloberfläche , eine Verallgemeinerung einer Rotationsfläche
• Gabriels Horn
• Generalisiertes Helikoid
• Zitrone (Geometrie) , Rotationsfläche eines Kreisbogens
• Liouville-Fläche , eine weitere Verallgemeinerung einer Rotationsfläche
• Solide der Revolution
• Sphäroid
• Flächenintegral
• Translationsfläche (Differentialgeometrie)

Verweise

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Oberfläche der Revolution" . MathWorld .
• "Oberfläche der Revolution" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (auf Französisch).