Oberfläche (Mathematik) - Surface (mathematics)

In der Mathematik ist eine Fläche eine Verallgemeinerung einer Ebene . Im Gegensatz zu einer Ebene muss sie nicht flach sein, dh ihre Krümmung muss nicht null sein. Dies ist analog zu einer Kurve, die eine gerade Linie verallgemeinert . Es gibt viele genauere Definitionen, abhängig vom Kontext und den mathematischen Werkzeugen, die zur Analyse der Oberfläche verwendet werden.

Das mathematische Konzept idealisiert, was in Wissenschaft , Computergrafik und allgemeiner Sprache mit Oberfläche gemeint ist .

Definitionen

Oft wird eine Fläche durch Gleichungen definiert , die durch die Koordinaten ihrer Punkte erfüllt werden . Dies ist beim Graphen einer stetigen Funktion zweier Variablen der Fall . Die Menge der Nullstellen einer Funktion von drei Variablen ist eine Fläche, die implizite Fläche genannt wird . Wenn die definierende Funktion mit drei Variablen ein Polynom ist , ist die Fläche eine algebraische Fläche . Zum Beispiel ist die Einheitskugel eine algebraische Fläche, wie sie durch die implizite Gleichung

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.}$

Eine Oberfläche kann auch als das Bild einer kontinuierlichen Funktion von zwei Variablen in einem Raum mit einer Dimension von mindestens 3 definiert werden (einige weitere Bedingungen sind erforderlich, um sicherzustellen, dass das Bild keine Kurve ist ). In diesem Fall sagt man , dass man eine hat parametrische Oberfläche , welche parametrisiert durch diese beiden Variablen, die so genannten Parameter . Zum Beispiel kann die Einheitskugel durch die Euler-Winkel parametrisiert werden , die auch als Längengrad u und Breitengrad v durch bezeichnet werden

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{ ausgerichtet}}}$

Parametrische Gleichungen von Oberflächen sind oft an einigen Stellen unregelmäßig. Zum Beispiel sind alle bis auf zwei Punkte der Einheitskugel durch die obige Parametrisierung das Bild von genau einem Paar von Euler-Winkeln ( modulo 2 π ). Für die verbleibenden zwei Punkte (den Nord- und Südpol ) gilt cos v = 0 und der Längengrad u kann beliebige Werte annehmen. Es gibt auch Flächen, für die es keine einzige Parametrisierung geben kann, die die gesamte Fläche abdeckt. Daher betrachtet man oft Flächen, die durch mehrere parametrische Gleichungen parametrisiert sind, deren Bilder die Fläche überdecken. Dies wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit formalisiert : Im Kontext von Mannigfaltigkeiten, typischerweise in der Topologie und Differentialgeometrie , ist eine Fläche eine Mannigfaltigkeit der Dimension zwei; das bedeutet, dass eine Fläche ein topologischer Raum ist, so dass jeder Punkt eine Umgebung hat, die zu einer offenen Teilmenge der euklidischen Ebene homöomorph ist (siehe Fläche (Topologie) und Fläche (Differentialgeometrie) ). Dies ermöglicht die Definition von Flächen in Räumen mit einer Dimension von mehr als drei und sogar abstrakten Flächen , die in keinem anderen Raum enthalten sind. Auf der anderen Seite ist dies umfasst nicht die Oberflächen haben Singularitäten , wie der Scheitelpunkt einer konischen Fläche oder Punkte , an denen eine Oberfläche überquert selbst.

In der klassischen Geometrie wird eine Fläche im Allgemeinen als Ort eines Punktes oder einer Linie definiert. Zum Beispiel ist eine Kugel der Ort eines Punktes, der sich in einem bestimmten Abstand von einem festen Punkt befindet, der Mittelpunkt genannt wird; eine konische Fläche ist der Ort einer Linie, die durch einen festen Punkt verläuft und eine Kurve kreuzt ; eine Rotationsfläche ist der Ort einer Kurve eine Linie Drehen um. Eine Regelfläche ist der Ort einer sich bewegenden Linie, der einige Beschränkungen erfüllt; In der modernen Terminologie ist eine Regelfläche eine Fläche, die eine Vereinigung von Linien ist.

Terminologie

In diesem Artikel werden verschiedene Arten von Oberflächen betrachtet und verglichen. Daher ist eine eindeutige Terminologie erforderlich, um sie zu unterscheiden. Daher nennen wir topologische Oberflächen die Oberflächen, die Mannigfaltigkeiten der Dimension zwei sind (die in Oberfläche (topologie) betrachteten Oberflächen ). Wir nennen differenzierbare Flächen die Flächen, die differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind (die Flächen, die in Fläche (Differentialgeometrie) betrachtet werden ). Jede differenzierbare Fläche ist eine topologische Fläche, aber das Gegenteil ist falsch.

Der Einfachheit halber bedeutet "Oberfläche", sofern nicht anders angegeben, eine Oberfläche im euklidischen Raum der Dimension 3 oder in R ³ . Eine Fläche, die nicht in einem anderen Raum enthalten sein soll, wird als abstrakte Fläche bezeichnet .

Beispiele

• Der Graph einer stetigen Funktion zweier Variablen, die über eine verbundene offene Teilmenge von R ^{2 definiert} ist, ist eine topologische Oberfläche . Wenn die Funktion differenzierbar ist , ist der Graph eine differenzierbare Fläche .
• Eine Ebene ist sowohl eine algebraische als auch eine differenzierbare Fläche. Es ist auch eine Regelfläche und eine Rotationsfläche .
• Ein Kreiszylinder (d. h. der Ort einer Linie, die einen Kreis kreuzt und parallel zu einer bestimmten Richtung verläuft) ist eine algebraische Fläche und eine differenzierbare Fläche.
• Ein Kreiskegel (Ort einer Linie, die einen Kreis schneidet und durch einen festen Punkt, den Scheitelpunkt , der außerhalb der Kreisebene liegt) verläuft, ist eine algebraische Fläche, die keine differenzierbare Fläche ist. Wenn man den Apex entfernt, ist der Rest des Kegels die Vereinigung zweier differenzierbarer Flächen.
• Die Oberfläche eines Polyeders ist eine topologische Oberfläche, die weder eine differenzierbare noch eine algebraische Oberfläche ist.
• Ein hyperbolisches Paraboloid (der Graph der Funktion z = xy ) ist eine differenzierbare Fläche und eine algebraische Fläche. Es ist auch eine Regelfläche und wird aus diesem Grund oft in der Architektur verwendet .
• Ein Zweiblatthyperboloid ist eine algebraische Fläche und die Vereinigung zweier sich nicht schneidender differenzierbarer Flächen.

Parametrische Oberfläche

Eine parametrische Oberfläche ist das Bild einer offenen Teilmenge der euklidischen Ebene (typischerweise ) durch eine stetige Funktion in einem topologischen Raum , im Allgemeinen einem euklidischen Raum der Dimension mindestens drei. Normalerweise soll die Funktion stetig differenzierbar sein , und dies wird in diesem Artikel immer der Fall sein. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$

Konkret ist eine parametrische Fläche in durch drei Funktionen zweier Variablen u und v gegeben , genannt Parameter${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=f_{1}(u,v)\\y&=f_{2}(u,v)\\z&=f_{3}(u,v)\,.\ Ende{ausgerichtet}}}$

Da das Bild einer solchen Funktion eine Kurve sein kann (z. B. wenn die drei Funktionen bezüglich v konstant sind ), ist eine weitere Bedingung erforderlich, im Allgemeinen, dass für fast alle Werte der Parameter die Jacobi-Matrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\{\dfrac { \partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}} &{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\\\end{bmatrix}}}$

hat Rang zwei. Hier bedeutet "fast alle", dass die Werte der Parameter mit Rang zwei eine dichte offene Teilmenge des Bereichs der Parametrisierung enthalten. Für Flächen in einem Raum höherer Dimension gilt die gleiche Bedingung, mit Ausnahme der Spaltenzahl der Jacobi-Matrix.

Tangentialebene und Normalenvektor

Ein Punkt p, an dem die obige Jacobi-Matrix Rang zwei hat, heißt regulär , oder richtiger, die Parametrisierung heißt regulär bei p .

Die Tangentialebene an einem regulären Punkt p ist die eindeutige Ebene, die durch p verläuft und eine Richtung parallel zu den beiden Zeilenvektoren der Jacobi-Matrix hat. Die Tangentialebene ist ein affiner Begriff , da ihre Definition unabhängig von der Wahl einer Metrik ist . Mit anderen Worten, jede affine Transformation bildet die Tangentialebene an die Oberfläche an einem Punkt ab, um die Tangentialebene an das Bild der Oberfläche an dem Bild des Punkts abzubilden.

Die Normale an einem Punkt einer Fläche ist die eindeutige Linie, die durch den Punkt verläuft und senkrecht zur Tangentialebene steht; der Normalenvektor ist ein zur Normalen paralleler Vektor.

Für andere differentielle Invarianten von Flächen in der Nähe eines Punktes siehe Differentielle Geometrie von Flächen .

Unregelmäßiger Punkt und singulärer Punkt

Ein nicht regelmäßiger Punkt einer parametrischen Fläche ist unregelmäßig . Es gibt verschiedene Arten von unregelmäßigen Punkten.

Es kann vorkommen, dass ein unregelmäßiger Punkt regelmäßig wird, wenn man die Parametrierung ändert. Dies ist bei den Polen bei der Parametrisierung der Einheitskugel durch Eulerwinkel der Fall : Es genügt, die Rolle der verschiedenen Koordinatenachsen für die Änderung der Pole zu vertauschen .

Betrachten Sie andererseits den Kreiskegel der parametrischen Gleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}}$

Die Spitze des Kegels ist der Ursprung (0, 0, 0) und wird für t = 0 erhalten . Es ist ein unregelmäßiger Punkt, der unregelmäßig bleibt, unabhängig davon, welche Parametrisierung gewählt wird (sonst gäbe es eine eindeutige Tangentialebene). Ein solcher unregelmäßiger Punkt, bei dem die Tangentialebene undefiniert ist, heißt singulär .

Es gibt eine andere Art von singulären Punkten. Es gibt die Selbstkreuzungspunkte , dh die Punkte, an denen sich die Oberfläche selbst kreuzt. Mit anderen Worten, dies sind die Punkte, die für (mindestens) zwei verschiedene Werte der Parameter erhalten werden.

Graph einer bivariaten Funktion

Sei z = f ( x , y ) eine Funktion zweier reeller Variablen. Dies ist eine parametrische Fläche, parametrisiert als

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}}$

Jeder Punkt dieser Fläche ist regelmäßig, da die beiden ersten Spalten der Jacobi-Matrix die Identitätsmatrix des zweiten Ranges bilden.

Rationale Oberfläche

Eine rationale Fläche ist eine Fläche, die durch rationale Funktionen zweier Variablen parametrisiert werden kann. Das heißt, wenn f _i ( t , u ) ist, für i = 0, 1, 2, 3 , Polynome in zwei indeterminates, dann ist die parametrische Oberfläche, definiert durch

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\y&={\frac {f_{2}( t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,, \end{ausgerichtet}}}$

ist eine rationale Fläche.

Eine rationale Fläche ist eine algebraische Fläche , aber die meisten algebraischen Flächen sind nicht rational.

Implizite Oberfläche

Eine implizite Fläche in einem euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem affinen Raum ) der Dimension 3 ist die Menge der gemeinsamen Nullstellen einer differenzierbaren Funktion von drei Variablen

${\displaystyle f(x,y,z)=0.}$

Implizit bedeutet, dass die Gleichung implizit eine der Variablen als Funktion der anderen Variablen definiert. Genauer wird dies durch den impliziten Funktionssatz : Wenn f ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = 0 ist und die partielle Ableitung in z von f bei ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) nicht Null ist , dann es gibt eine differenzierbare Funktion φ ( x , y ) mit

${\displaystyle f(x,y,\varphi(x,y))=0}$

in einer Umgebung von ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) . Mit anderen Worten, die implizite Oberfläche ist der Graph einer Funktion in der Nähe eines Punktes der Oberfläche, an dem die partielle Ableitung in z von Null verschieden ist. Eine implizite Oberfläche hat somit lokal eine parametrische Darstellung, außer an den Punkten der Oberfläche, wo die drei partiellen Ableitungen null sind.

Regelmäßige Punkte und Tangentialebene

Ein Punkt der Fläche, an dem mindestens eine partielle Ableitung von f ungleich Null ist, heißt regulär . An einem solchen Punkt sind die Tangentenebene und die Richtung der Normalen wohldefiniert und können mit dem impliziten Funktionssatz aus der obigen Definition in § Tangentenebene und Normalenvektor abgeleitet werden . Die Richtung der Normalen ist die Steigung , also der Vektor ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y} }(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right ].}$

Die Tangentialebene wird durch ihre implizite Gleichung definiert

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f} {\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0} ,y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.}$

Singulärer Punkt

Ein singulärer Punkt einer impliziten Fläche (in ) ist ein Punkt der Fläche, an dem die implizite Gleichung gilt und die drei partiellen Ableitungen seiner definierenden Funktion alle null sind. Daher sind die singulären Punkte die Lösungen eines Systems von vier Gleichungen in drei Unbestimmten. Da die meisten dieser Systeme keine Lösung haben, haben viele Oberflächen keinen singulären Punkt. Eine Fläche ohne singulären Punkt heißt regulär oder nicht singulär . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

Das Studium von Oberflächen in der Nähe ihrer singulären Punkte und die Klassifizierung der singulären Punkte ist die Singularitätstheorie . Ein singulärer Punkt ist isoliert, wenn sich in seiner Umgebung kein anderer singulärer Punkt befindet. Andernfalls können die singulären Punkte eine Kurve bilden. Dies ist insbesondere bei selbstkreuzenden Flächen der Fall.

Algebraische Oberfläche

Ursprünglich war eine algebraische Fläche eine Fläche, die durch eine implizite Gleichung definiert werden kann

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

wobei f ein Polynom in drei Unbestimmten ist , mit reellen Koeffizienten.

Das Konzept wurde in mehrere Richtungen erweitert, indem Oberflächen über beliebige Felder definiert und Oberflächen in Räumen beliebiger Dimension oder in projektiven Räumen betrachtet wurden . Berücksichtigt werden auch abstrakte algebraische Flächen, die nicht explizit in einen anderen Raum eingebettet sind.

Flächen über beliebigen Feldern

Polynome mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper werden zum Definieren einer algebraischen Oberfläche akzeptiert. Der Koeffizientenbereich eines Polynoms ist jedoch nicht genau definiert, da beispielsweise ein Polynom mit rationalen Koeffizienten auch als Polynom mit reellen oder komplexen Koeffizienten angesehen werden kann. Daher ist das Konzept des Punktes hat die Oberfläche auf folgende Weise verallgemeinert:

Gegeben ein Polynom f ( x , y , z ) sei k der kleinste Körper, der die Koeffizienten enthält, und K eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung von k mit unendlichem Transzendenzgrad . Dann ist ein Punkt der Fläche ein Element von K ^3, das eine Lösung der Gleichung

${\displaystyle f(x,y,z)=0.}$

Wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat, ist der Körper K der komplexe Körper , und ein Punkt der Oberfläche, der dazu gehört (ein gewöhnlicher Punkt), wird reeller Punkt genannt . Ein Punkt, der zu k ³ gehört, heißt rational über k oder einfach rationaler Punkt , wenn k der Körper der rationalen Zahlen ist . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

Projektionsfläche

Eine projektive Fläche in einem projektiven Raum der Dimension drei ist die Menge von Punkten, deren homogene Koordinaten Nullstellen eines einzelnen homogenen Polynoms in vier Variablen sind. Allgemeiner gesagt ist eine projektive Oberfläche eine Teilmenge eines projektiven Raums, der eine projektive Variante der Dimension zwei ist.

Projektionsflächen sind stark mit affinen Flächen (d. h. gewöhnlichen algebraischen Flächen) verwandt. Man gelangt von einer projektiven Fläche zu der entsprechenden affinen Fläche, indem man eine Koordinate oder ein unbestimmtes der definierenden Polynome (normalerweise das letzte) auf eins setzt. Umgekehrt gelangt man von einer affinen Fläche zu ihrer zugehörigen projektiven Fläche ( Projektive Vervollständigung genannt ), indem man das definierende Polynom homogenisiert (bei Flächen in einem Raum der Dimension drei) oder durch Homogenisieren aller Polynome des definierenden Ideals (bei Flächen in a Raum höherer Dimension).

In höherdimensionalen Räumen

Ohne eine allgemeine Definition einer algebraischen Varietät und der Dimension einer algebraischen Varietät kann man den Begriff einer algebraischen Fläche in einem Raum mit einer Dimension von mehr als drei nicht definieren . Tatsächlich ist eine algebraische Fläche eine algebraische Varietät der Dimension zwei .

Genauer gesagt ist eine algebraische Fläche in einem Raum der Dimension n die Menge der gemeinsamen Nullstellen von mindestens n – 2 Polynomen, aber diese Polynome müssen weitere Bedingungen erfüllen, die möglicherweise nicht sofort zu überprüfen sind. Erstens dürfen die Polynome keine Varietät oder eine algebraische Menge höherer Dimension definieren, was typischerweise der Fall ist, wenn eines der Polynome im Ideal der anderen liegt. Im Allgemeinen definieren n – 2 Polynome eine algebraische Menge der Dimension zwei oder höher. Wenn die Dimension zwei ist, kann die algebraische Menge mehrere irreduzible Komponenten haben . Wenn nur eine Komponente vorhanden ist, definieren die n – 2 Polynome eine Fläche, die ein vollständiger Schnittpunkt ist . Bei mehreren Komponenten benötigt man weitere Polynome zur Auswahl einer bestimmten Komponente.

Die meisten Autoren betrachten als algebraische Fläche nur algebraische Varietäten der Dimension zwei, einige betrachten aber auch alle algebraischen Mengen als Flächen, deren irreduzible Komponenten die Dimension zwei haben.

Bei Flächen in einem Raum der Dimension drei ist jede Fläche ein vollständiger Schnittpunkt, und eine Fläche wird durch ein einzelnes Polynom definiert, das irreduzibel ist oder nicht, je nachdem, ob nicht irreduzible algebraische Mengen der Dimension zwei als Flächen betrachtet werden oder nicht.

Abstrakte algebraische Oberfläche

Rationale Flächen sind algebraische Flächen

Topologische Oberfläche

In der Topologie wird eine Fläche im Allgemeinen als Mannigfaltigkeit der Dimension zwei definiert. Dies bedeutet, dass eine topologische Fläche ein topologischer Raum ist , in dem jeder Punkt eine Umgebung hat , die zu einer offenen Teilmenge einer euklidischen Ebene homöomorph ist .

Jede topologischen Oberfläche homeomorphic auf eine polyedrische Fläche derart , dass alle Facetten sind Dreiecke . Das kombinatorische Studium solcher Anordnungen von Dreiecken (oder allgemeiner von höherdimensionalen Simplexen ) ist das Ausgangsobjekt der algebraischen Topologie . Dies ermöglicht die Charakterisierung der Eigenschaften von Oberflächen im Hinblick auf rein algebraische Invarianten , wie die Gattungs- und Homologiegruppen .

Die Homöomorphismusklassen von Oberflächen sind vollständig beschrieben (siehe Oberfläche (Topologie) ).

Unterscheidbare Oberfläche

Fraktale Oberfläche

In der Computergrafik

Siehe auch

• Flächenelement , die Fläche eines differentiellen Elements einer Fläche
• Koordinatenflächen
• Hyperfläche
• Umfang , ein zweidimensionales Äquivalent
• Polyedrische Oberfläche
• Form
• Vorzeichenbehaftete Distanzfunktion
• Solide Figur
• Oberfläche
• Flächenintegral

Anmerkungen