Torusknoten - Torus knot

Ein (3,−7)- 3D- Torusknoten.

EureleA Award mit einem (2,3)-Torusknoten.

(2,8) Torus-Link

In der Knotentheorie ist ein Torusknoten eine besondere Art von Knoten , der auf der Oberfläche eines ungeknoteten Torus im R ^{3 liegt} . Ebenso ist ein Torusglied ein Glied, das auf die gleiche Weise auf der Oberfläche eines Torus liegt. Jeder Torus Knoten wird durch ein Paar von festgelegten coprime ganzen Zahlen p und q . Ein Torus-Link entsteht, wenn p und q nicht teilerfremd sind (in diesem Fall ist die Anzahl der Komponenten gcd ( p, q )). Ein Torusknoten ist trivial (entspricht dem Unknoten) genau dann, wenn entweder p oder q gleich 1 oder −1 ist. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist der (2,3)-Torusknoten, auch Kleeblattknoten genannt .

der (2,−3)-Torusknoten, auch als linkshändiger Kleeblattknoten bekannt

Geometrische Darstellung

Ein Torusknoten kann auf mehrere Arten geometrisch gerendert werden, die topologisch äquivalent sind (siehe Eigenschaften unten), aber geometrisch unterschiedlich sind. Die in diesem Artikel und seinen Abbildungen verwendete Konvention ist die folgende.

Der ( p , q )-Torusknoten windet sich q- mal um einen Kreis im Inneren des Torus und p- mal um seine Rotationssymmetrieachse . {Hinweis, diese Verwendung der Rollen von p und q steht im Gegensatz zu dem, was erscheint auf: http://mathworld.wolfram.com/TorusKnot.html Es ist auch unvereinbar mit der „Liste“ von Torusknoten unten und mit den Bildern , dass erscheinen in: "36 Torus Knots", The Knot Atlas.} Wenn p und q nicht relativ prim sind, dann haben wir eine Torusverbindung mit mehr als einer Komponente.

Auch die Richtung, in der sich die Stränge des Knotens um den Torus wickeln, unterliegt unterschiedlichen Konventionen. Am gebräuchlichsten ist, dass die Stränge für pq > 0 eine rechtsgängige Schraube bilden .

Der ( p , q )-Torusknoten kann durch die Parametrisierung

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=r\cos(p\phi)\\y&=r\sin(p\phi)\\z&=-\sin(q\phi)\end{ausgerichtet}}}$

wo und . Dieser liegt auf der Oberfläche des Torus gegeben durch (in Zylinderkoordinaten ). ${\displaystyle r=\cos(q\phi)+2}$${\displaystyle 0<\phi <2\pi}$${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

Auch andere Parametrisierungen sind möglich, da Knoten bis hin zur kontinuierlichen Verformung definiert sind. Die Darstellungen für die (2,3)- und (3,8)-Torusknoten erhält man, indem man , im Fall des (2,3)-Torusknotens weiter jeweils und von den obigen Parametrisierungen von x . subtrahiert und j . Letztere verallgemeinert glatt auf jede coprime p,q, die erfüllt . ${\displaystyle r=\cos(q\phi)+4}$${\displaystyle 3\cos((pq)\phi)}$${\displaystyle 3\sin((pq)\phi)}$${\displaystyle p<q<2p}$

Eigenschaften

Diagramm eines (3,−8)-Torusknotens.

Ein Torusknoten ist trivial, wenn entweder p oder q gleich 1 oder –1 ist.

Jeder nichttriviale Torusknoten ist prim und chiral .

Der ( p , q ) Torusknoten entspricht dem ( q , p ) Torusknoten. Dies kann durch Verschieben der Stränge auf der Oberfläche des Torus nachgewiesen werden. Der ( p , − q ) Torusknoten ist die Vorderseite (Spiegelbild) des ( p , q ) Torusknotens. Der (− p ,− q ) Torusknoten ist mit Ausnahme der umgekehrten Orientierung äquivalent zum ( p , q ) Torusknoten.

Der (3, 4) Torusknoten auf der ungewickelten Torusoberfläche und sein Zopfwort

Jeder ( p , q )-Torusknoten kann aus einem geschlossenen Geflecht mit p- Strängen hergestellt werden. Das passende Zopfwort ist

${\displaystyle (\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{p-1})^{q}.}$

(Diese Formel geht von der üblichen Konvention aus, dass Geflechtgeneratoren rechte Drehungen sind, was nicht von der Wikipedia-Seite zu Zöpfen gefolgt wird.)

Die Kreuzungszahl eines ( p , q ) Torusknotens mit p , q > 0 ist gegeben durch

c = min(( p −1) q , ( q −1) p ).

Die Gattung eines Torusknotens mit p , q > 0 ist

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

Das Alexanderpolynom eines Torusknotens ist

${\displaystyle {\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}.}$

Das Jones-Polynom eines (rechtshändigen) Torusknotens ist gegeben durch

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{ 1-t^{2}}}.}$

Das Komplement eines Torusknotens in der 3-Sphäre ist ein Seifert-Faser-Mannigfaltig , über der Scheibe mit zwei Einzelfasern gefasert.

Sei Y die p- fache Dummkopfkappe mit einer aus dem Inneren entfernten Scheibe, Z die q- fache Dummkopfkappe mit einer aus dem Inneren entfernten Scheibe und X der Quotientenraum, der durch Identifizierung von Y und Z entlang ihres Grenzkreises erhalten wird. Das Knotenkomplement der ( p , q )-Torusknotendeformation zieht sich in den Raum X zurück . Daher hat die Knotengruppe eines Torusknotens die Darstellung

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

Torusknoten sind die einzigen Knoten, deren Knotengruppen ein nichttriviales Zentrum haben (das unendlich zyklisch ist, erzeugt durch das Element in der obigen Präsentation). ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$

Der Streckfaktor des ( p , q ) Torusknotens als Kurve im euklidischen Raum ist Ω(min( p , q )), also haben Torusknoten unbegrenzte Streckfaktoren. Der Undergraduate-Forscher John Pardon gewann 2012 den Morgan-Preis für seine Forschung, die dieses Ergebnis belegt und ein Problem löste, das ursprünglich von Mikhail Gromov gestellt wurde .

Anbindung an komplexe Hyperflächen

Die ( p , q )−Torusknoten entstehen bei der Betrachtung der Verknüpfung einer isolierten komplexen Hyperflächensingularität. Man schneidet die komplexe Hyperfläche mit einer Hypersphäre , die um den isolierten singulären Punkt zentriert ist und einen ausreichend kleinen Radius hat, so dass sie keine anderen singulären Punkte einschließt oder auf sie trifft. Der Schnitt ergibt eine Untermannigfaltigkeit der Hypersphäre.

Seien p und q teilerfremde ganze Zahlen, größer oder gleich zwei. Betrachten Sie die holomorphe Funktion gegeben durch Let sein , den Satz so , dass eine reelle Zahl wir die reale Drei Kugel definieren , wie angegeben Die Funktion verfügt über einen isolierten kritischen Punkt an , da , wenn und nur wenn also wir die Struktur betrachten Nähe von In dazu betrachten wir den Schnittpunkt Dieser Schnittpunkt ist der sogenannte Link der Singularität Der Link von , wobei p und q teilerfremd und beide größer oder gleich zwei sind, ist genau der ( p , q )−Torus Knoten. ${\displaystyle f:\mathbb{C} ^{2}\to\mathbb{C}}$${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb{C} ^{2}}$${\displaystyle(w,z)\in\mathbb{C}^{2}}$${\displaystyle f(w,z)=0.}$${\displaystyle 0<\varepsilon\ll 1,}$${\displaystyle\mathbb{S}_{\varepsilon}^{3}\subset\mathbb{R}^{4}\hookrightarrow\mathbb{C}^{2}}$${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon^{2}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,0)\in\mathbb{C} ^{2}}$${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$${\displaystyle w=z=0.}$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle (0,0)\in\mathbb{C} ^{2}.}$${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb{S}_{\varepsilon}^{3}\subset \mathbb{S}_{\varepsilon}^{3}.}$${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$

Aufführen

(36,3) Torus-Link

Die rechte Abbildung ist das Torusglied (72,4) .

• Unknot , 3 ₁ Knoten (3,2), 5 ₁ Knoten (5,2), 7 ₁ Knoten (7,2), 8 ₁₉ Knoten (4,3), 9 ₁ Knoten (9,2), 10 ₁₂₄ Knoten (5,3)

Tabelle #	AB	Bild	P	Q	Kreuz #
0	0 1				0
3a1	3 1		3	2	3
5a2	5 1		5	2	5
7a7	7 1		7	2	7
8n3	8 19		4	3	8
9a41	9 1		9	2	9
10n21	10 124		5	3	10
11a367			11	2	11
13a4878			13	2	13
			7	3	14
			5	4	fünfzehn
			fünfzehn	2	fünfzehn
			8	3	16
			17	2	17
			19	2	19
			10	3	20
			7	4	21
			21	2	21
			11	3	22
			23	2	23
			6	5	24
			25	2	25
			13	3	26
			9	4	27
			27	2	27
			7	5	28
			14	3	28
			29	2	29
			31	2	31
			8	5	32
			16	3	32
			11	4	33
			33	2	33
			17	3	34
			7	6	35
			35	2	35
			9	5	36
			8	7	48
			9	7	54
			9	8	63

g -Torusknoten

Ein G-Torus-Knoten ist eine geschlossene Kurve, die auf einem G-Torus gezeichnet wird . Technisch ist es das homeomorphic Bild eines Kreises in S³ , die als Teilmenge eines realisiert werden kann Genus g Henkelkörper in S³ (deren Ergänzung auch eine Gattung g Henkelkörper). Wenn ein Link eine Teilmenge eines Handlebodys der Gattung 2 ist, handelt es sich um einen Doppeltorus-Link .

Für Gattung zwei ist das einfachste Beispiel für einen Doppeltorusknoten, der kein Torusknoten ist, der Achterknoten .

Siehe auch

• Wechselknoten
• Satellitenknoten
• Hyperbolischer Knoten
• Irrationale Wicklung eines Torus
• Topopolis

Verweise

Externe Links

• " 36 Torusknoten ", Der Knotenatlas .
• Weisstein, Eric W. "Torusknoten" . MathWorld .
• Torus-Knoten-Renderer in Actionscript
• Spaß mit dem PQ-Torusknoten