Lineare Strömung auf dem Torus - Linear flow on the torus

In der Mathematik , insbesondere im Bereich der mathematischen Analyse, die als Theorie dynamischer Systeme bekannt ist , ist eine lineare Strömung auf dem Torus eine Strömung auf dem n- dimensionalen Torus

{\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ mal S ^ {1} \ mal \ cdots \ mal S ^ {1}} _ {n}}

Dies wird durch die folgenden Differentialgleichungen in Bezug auf die Standardwinkelkoordinaten ( & thgr ; ₁ , & thgr ; ₂ , ..., & _thgr ; _n ) dargestellt:

{\ displaystyle {\ frac {d \ theta _ {1}} {dt}} = \ omega _ {1}, \ quad {\ frac {d \ theta _ {2}} {dt}} = \ omega _ { 2}, \ quad \ ldots, \ quad {\ frac {d \ theta _ {n}} {dt}} = \ omega _ {n}.}

Die Lösung dieser Gleichungen kann explizit ausgedrückt werden als

{\ displaystyle \ Phi _ {\ omega} ^ {t} (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ dots, \ theta _ {n}) = (\ theta _ {1} + \ omega _ {1} t, \ theta _ {2} + \ omega _ {2} t, \ dots, \ theta _ {n} + \ omega _ {n} t) {\ bmod {2}} \ pi.}

Wenn wir den Torus so darstellen, wie wir sehen, wird ein Startpunkt durch die Strömung in Richtung ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _n ) mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und wenn er die Grenze des einheitlichen n - erreicht Würfel springt auf die gegenüberliegende Seite des Würfels. ${\ displaystyle \ mathbb {T ^ {n}} = \ mathbb {R} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {n}}$

Irrationale Rotation auf einem 2-Torus

Für einen linearen Fluss auf dem Torus entweder alle Bahnen sind periodische oder alle Bahnen sind dichte auf einer Teilmenge der n -Torus worin a k -Torus. Wenn die Komponenten von ω sind rational unabhängig alle sind die Bahnen auf den ganzen Raum dicht. Dies ist im zweidimensionalen Fall leicht zu erkennen: Wenn die beiden Komponenten von ω rational unabhängig sind, ist der Poincaré-Abschnitt der Strömung an einer Kante des Einheitsquadrats eine irrationale Drehung auf einem Kreis, und daher sind seine Umlaufbahnen auf dem Kreis dicht Infolgedessen müssen die Umlaufbahnen des Flusses auf dem Torus dicht sein.

Irrationale Wicklung eines Torus

In der Topologie ist eine irrationale Wicklung eines Torus eine kontinuierliche Injektion einer Linie in einen zweidimensionalen Torus , mit der mehrere Gegenbeispiele erstellt werden. Ein verwandter Begriff ist die Kronecker-Folierung eines Torus, eine Folierung, die aus der Menge aller Übersetzungen einer bestimmten irrationalen Wicklung gebildet wird.

Definition

Eine Möglichkeit, einen Torus zu konstruieren, besteht darin, als Quotientenraum eines zweidimensionalen realen Vektorraums durch die additive Untergruppe von ganzzahligen Vektoren mit der entsprechenden Projektion zu konstruieren . Jeder Punkt im Torus hat als Vorbild eine der Übersetzungen des quadratischen Gitters in und faktorisiert durch eine Karte, die jeden Punkt in der Ebene zu einem Punkt im Einheitsquadrat führt , der durch die Bruchteile der kartesischen Koordinaten des ursprünglichen Punkts gegeben ist. Betrachten Sie nun eine Linie, die durch die Gleichung y = kx gegeben ist . Wenn die Steigung k der Linie rational ist , kann sie durch einen Bruch und einen entsprechenden Gitterpunkt von dargestellt werden . Es kann gezeigt werden, dass dann die Projektion dieser Linie eine einfache geschlossene Kurve auf einem Torus ist. Wenn k jedoch irrational ist , kreuzt es keine Gitterpunkte außer 0, was bedeutet, dass seine Projektion auf den Torus keine geschlossene Kurve ist und die Einschränkung auf dieser Linie injektiv ist . Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass das Bild dieser eingeschränkten Projektion als Unterraum, die als irrationale Wicklung eines Torus bezeichnet wird, im Torus dicht ist . ${\ displaystyle \ mathbb {T ^ {2}} = \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {T ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle [0,1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Anwendungen

Irrationale Wicklungen eines Torus können verwendet werden, um Gegenbeispiele in Bezug auf Monomorphismen aufzustellen . Eine irrationale Wicklung ist eine eingetauchte Untervielfalt, aber keine reguläre Untervielfalt des Torus, was zeigt, dass das Bild eines Verteilers unter kontinuierlicher Injektion in einen anderen Verteiler nicht unbedingt eine (reguläre) Untervielfalt ist. Irrationale Wicklungen sind auch Beispiele dafür, dass die induzierte Submanifold-Topologie nicht mit der Subraumtopologie des Submanifolds übereinstimmen muss .

Zweitens kann der Torus als eine Lie-Gruppe betrachtet werden , und die Linie kann als betrachtet werden . Dann ist es leicht zu zeigen, dass das Bild des kontinuierlichen und analytischen Gruppenhomomorphismus keine reguläre Untervielfalt für irrationales k ist, obwohl es eine eingetauchte Untervielfalt und daher eine Lie-Untergruppe ist. Es kann auch verwendet werden, um zu zeigen, dass, wenn eine Untergruppe H der Lie-Gruppe G nicht geschlossen ist, der Quotient G / H keine Mannigfaltigkeit sein muss und möglicherweise sogar kein Hausdorff-Raum ist . ${\ displaystyle U (1) \ times U (1)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto (e ^ {ix}, e ^ {ikx})}$

Siehe auch

Anmerkungen

^ a: Als topologischer Unterraum des Torus ist die irrationale Wicklung überhaupt keine Mannigfaltigkeit , da sie lokal nicht homöomorph ist . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Verweise

^ DP Zhelobenko (Januar 1973). Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungen . ISBN 9780821886649 .
^ ^a ^b ^c Loring W. Tu (2010). Eine Einführung in die Mannigfaltigkeiten . Springer. S. 168 . ISBN 978-1-4419-7399-3 .
^ Čap, Andreas ; Slovák, Jan (2009), Parabolische Geometrien: Hintergrund und allgemeine Theorie , AMS, p. 24, ISBN 978-0-8218-2681-2
^ Sharpe, RW (1997), Differentialgeometrie: Cartans Verallgemeinerung von Kleins Erlangen-Programm , Springer-Verlag, New York, p. 146, ISBN 0-387-94732-9

Literaturverzeichnis

Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Einführung in die moderne Theorie dynamischer Systeme . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5 .

[1] DP Zhelobenko (Januar 1973). Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungen . ISBN 9780821886649 .

[Tu-2] Loring W. Tu (2010). Eine Einführung in die Mannigfaltigkeiten . Springer. S. 168 . ISBN 978-1-4419-7399-3 .

[3] Čap, Andreas ; Slovák, Jan (2009), Parabolische Geometrien: Hintergrund und allgemeine Theorie , AMS, p. 24, ISBN 978-0-8218-2681-2

[4] Sharpe, RW (1997), Differentialgeometrie: Cartans Verallgemeinerung von Kleins Erlangen-Programm , Springer-Verlag, New York, p. 146, ISBN 0-387-94732-9

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