3-Kugel - 3-sphere
In der Mathematik ist eine 3-Sphäre ein höherdimensionales Analogon einer Sphäre . Es kann in den 4-dimensionalen euklidischen Raum als die Menge von Punkten eingebettet werden, die von einem festen Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Analog dazu, wie die Grenze einer Kugel in drei Dimensionen eine gewöhnliche Kugel (oder 2-Kugel, eine zweidimensionale Oberfläche ) ist, ist die Grenze einer Kugel in vier Dimensionen eine 3-Kugel (ein Objekt mit drei Dimensionen ). Eine 3-Sphäre ist ein Beispiel für eine 3-Mannigfaltigkeit und eine n- Sphäre .
Definition
In Koordinaten ist eine 3-Kugel mit Mittelpunkt ( C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ) und Radius r die Menge aller Punkte ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) im realen, 4-dimensionalen Raum ( R 4 ) so dass
Die im Ursprung zentrierte 3-Sphäre mit Radius 1 wird als Einheit 3-Sphäre bezeichnet und üblicherweise mit S 3 bezeichnet :
Es ist oft zweckmäßig, R 4 als den Raum mit 2 komplexen Dimensionen ( C 2 ) oder die Quaternionen ( H ) anzusehen . Die Einheit 3-Sphäre ist dann gegeben durch
oder
Diese Bezeichnung als Quaternionen der Norm eins identifiziert die 3-Sphäre mit den Versoren im Quaternionen- Teilungsring . So wie der Einheitskreis für planare Polarkoordinaten wichtig ist , ist die 3-Sphäre in der Polaransicht des 4-Raums wichtig, der an der Quaternionen-Multiplikation beteiligt ist. Siehe polare Zerlegung eines Quaternions für Details dieser Entwicklung der Dreisphäre. Diese Ansicht der 3-Sphäre ist die Grundlage für das Studium des elliptischen Raums, wie es von Georges Lemaître entwickelt wurde .
Eigenschaften
Elementare Eigenschaften
Das 3-dimensionale Oberflächenvolumen einer 3-Kugel mit Radius r ist
während das 4-dimensionale Hypervolumen (der Inhalt des 4-dimensionalen Bereichs, der von der 3-Sphäre begrenzt wird) ist
Jeder nichtleere Schnittpunkt einer 3-Sphäre mit einer dreidimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre (es sei denn, die Hyperebene ist tangential zur 3-Sphäre, in diesem Fall ist der Schnittpunkt ein einzelner Punkt). Wenn sich eine 3-Sphäre durch eine gegebene dreidimensionale Hyperebene bewegt, beginnt der Schnittpunkt als Punkt und wird dann zu einer wachsenden 2-Sphäre, die ihre maximale Größe erreicht, wenn die Hyperebene direkt durch den "Äquator" der 3-Sphäre schneidet. Dann schrumpft die 2-Sphäre wieder auf einen einzigen Punkt, wenn die 3-Sphäre die Hyperebene verlässt.
Topologische Eigenschaften
Eine 3-Sphäre ist eine kompakte , zusammenhängende , dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand. Es wird auch einfach angeschlossen . Im weitesten Sinne bedeutet dies, dass jede Schleife oder Kreisbahn auf der 3-Sphäre kontinuierlich auf einen Punkt geschrumpft werden kann, ohne die 3-Sphäre zu verlassen. Die Poincaré-Vermutung , die 2003 von Grigori Perelman bewiesen wurde, besagt , dass die 3-Sphäre die einzige dreidimensionale Mannigfaltigkeit (bis auf Homöomorphie ) mit diesen Eigenschaften ist.
Die 3-Sphäre ist homöomorph zur Einpunktkompaktifizierung von R 3 . Im Allgemeinen wird jeder topologische Raum , der zur 3-Sphäre homöomorph ist, als topologische 3-Sphäre bezeichnet .
Die Homologiegruppen der 3-Sphäre lauten wie folgt: H 0 (S 3 , Z ) und H 3 (S 3 , Z ) sind beide unendlich zyklisch , während H i (S 3 , Z ) = {0} für alle anderen Indizes i . Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird als Homologie-3-Sphäre bezeichnet . Anfänglich vermutete Poincaré , dass alle Homologie-3-Sphären zu S 3 homöomorph sind , aber dann konstruierte er selbst eine nicht-homöomorphe Sphäre , die heute als Poincaré-Homologiesphäre bekannt ist . Es sind nun unendlich viele Homologiesphären bekannt. Zum Beispiel eine Dehnfüllung mit Steigung 1/nauf jedem Knoten in der 3-Sphäre ergibt sich eine Homologiesphäre; typischerweise sind diese nicht homöomorph zur 3-Sphäre.
In Bezug auf die Homotopiegruppen haben wir π 1 (S 3 ) = π 2 (S 3 ) = {0} und π 3 (S 3 ) unendlich zyklisch ist. Die Gruppen höherer Homotopie ( k ≥ 4 ) sind alle endlich abelsch , folgen aber ansonsten keinem erkennbaren Muster. Für weitere Diskussion siehe Homotopie-Gruppen von Sphären .
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | fünfzehn | 16 |
π k ( S 3 ) | 0 | 0 | 0 | Z | Z 2 | Z 2 | Z 12 | Z 2 | Z 2 | Z 3 | Z 15 | Z 2 | Z 2 ⊕ Z 2 | Z 12 ⊕ Z 2 | Z 84 ⊕ Z 2 ⊕ Z 2 | Z 2 ⊕ Z 2 | Z 6 |
Geometrische Eigenschaften
Die 3-Sphäre ist natürlich eine glatte Mannigfaltigkeit , tatsächlich eine geschlossene eingebettete Untermannigfaltigkeit von R 4 . Die euklidische Metrik auf R 4 induziert eine Metrik auf der 3-Sphäre, die ihr die Struktur einer Riemannschen Mannigfaltigkeit verleiht . Wie bei allen Kugeln hat die 3-Kugel eine konstante positive Schnittkrümmung gleich1/r 2wobei r der Radius ist.
Ein Großteil der interessanten Geometrie der 3-Sphäre rührt von der Tatsache her, dass die 3-Sphäre eine natürliche Lie-Gruppenstruktur hat , die durch Quaternionenmultiplikation gegeben ist (siehe den Abschnitt unten über Gruppenstruktur ). Die einzigen anderen Kugeln mit einer solchen Struktur sind die 0-Kugel und die 1-Kugel (siehe Kreisgruppe ).
Im Gegensatz zur 2-Sphäre lässt die 3-Sphäre nicht verschwindende Vektorfelder ( Ausschnitte ihres Tangentialbündels ) zu. Man kann sogar drei linear unabhängige und nicht verschwindende Vektorfelder finden. Dies können beliebige linksinvariante Vektorfelder sein, die eine Grundlage für die Lie-Algebra der 3-Sphäre bilden. Dies impliziert, dass die 3-Sphäre parallelisierbar ist . Daraus folgt, dass das Tangentenbündel der 3-Sphäre trivial ist . Für eine allgemeine Diskussion der Anzahl linear unabhängiger Vektorfelder auf einer n- Kugel siehe den Artikel Vektorfelder auf Kugeln .
Es gibt eine interessante Wirkung der Kreisgruppe T auf S 3 , die der 3-Sphäre die Struktur eines als Hopf-Bündel bekannten Hauptkreisbündels verleiht . Wenn man sich S 3 als Teilmenge von C 2 vorstellt , ist die Aktion gegeben durch
- .
Der Bahnraum dieser Aktion ist homöomorph zur Zweisphäre S 2 . Da S 3 nicht homöomorph zu S 2 × S 1 ist , ist das Hopf-Bündel nichttrivial.
Topologische Konstruktion
Es gibt mehrere bekannte Konstruktionen der Dreisphäre. Hier beschreiben wir das Verkleben eines Paares von Dreierkugeln und dann die Einpunktverdichtung.
Kleben
Eine 3-Kugel kann topologisch konstruiert werden, indem die Grenzen eines Paares von 3- Kugeln "zusammengeklebt" werden . Die Grenze einer 3-Kugel ist eine 2-Kugel, und diese beiden 2-Kugeln sind zu identifizieren. Das heißt, stellen Sie sich ein Paar von 3-Kugeln der gleichen Größe vor, legen Sie sie dann so übereinander, dass ihre 2-sphärischen Grenzen übereinstimmen, und lassen Sie übereinstimmende Punktpaare auf dem Paar von 2-Kugeln identisch äquivalent zueinander sein. In Analogie zur 2-Kugel (siehe unten) wird die Klebefläche als äquatoriale Kugel bezeichnet.
Beachten Sie, dass die Innenseiten der 3-Bälle nicht miteinander verklebt sind. Eine Möglichkeit, sich die vierte Dimension vorzustellen, ist eine kontinuierliche reellwertige Funktion der 3-dimensionalen Koordinaten der 3-Kugel, die vielleicht als "Temperatur" betrachtet wird. Wir nehmen die "Temperatur" entlang der klebenden 2-Kugel auf Null und lassen eine der 3-Kugeln "heiß" und die andere 3-Kugel "kalt" sein. Der "heiße" 3-Ball könnte man sich als "obere Hemisphäre" und den "kalten" 3-Ball als "untere Hemisphäre" vorstellen. Die Temperatur ist in den Mittelpunkten der beiden 3-Kugeln am höchsten/niedrigsten.
Diese Konstruktion ist analog zu einer Konstruktion einer 2-Kugel, die durch Verkleben der Grenzen eines Scheibenpaares ausgeführt wird. Eine Scheibe ist eine 2-Kugel, und der Rand einer Scheibe ist ein Kreis (eine 1-Kugel). Lassen Sie ein Paar Scheiben den gleichen Durchmesser haben. Legen Sie sie übereinander und kleben Sie entsprechende Punkte an ihre Grenzen. Wieder kann man sich die dritte Dimension als Temperatur vorstellen. Ebenso können wir die 2-Sphäre aufblasen und das Scheibenpaar bewegen, um die nördliche und südliche Hemisphäre zu werden.
Einpunktverdichtung
Nach dem Entfernen eines einzelnen Punktes aus der 2-Sphäre bleibt der Rest homöomorph zur euklidischen Ebene. Auf die gleiche Weise ergibt das Entfernen eines einzelnen Punktes aus der 3-Sphäre einen dreidimensionalen Raum. Eine äußerst nützliche Möglichkeit, dies zu sehen, ist die stereographische Projektion . Wir beschreiben zuerst die niederdimensionale Version.
Ruhen Sie den Südpol einer Einheit 2-Kugel auf der xy- Ebene im Dreiraum aus. Wir bilden einen Punkt P der Kugel (abzüglich des Nordpols N ) auf die Ebene ab, indem wir P zum Schnittpunkt der Geraden NP mit der Ebene schicken . Die stereographische Projektion einer 3-Sphäre (wobei der Nordpol wieder entfernt wird) wird auf die gleiche Weise auf den Dreiraum abgebildet. (Beachten Sie, dass runde Kugeln zu runden Kugeln oder zu Ebenen gesendet werden , da die stereografische Projektion konform ist.)
Eine etwas andere Art, sich die Ein-Punkt-Kompaktifizierung vorzustellen, ist die exponentielle Abbildung . Zurück zu unserem Bild der Einheits-Zweikugel auf der euklidischen Ebene: Betrachten Sie eine Geodäte in der Ebene, bezogen auf den Ursprung, und bilden Sie diese auf eine Geodäte in der Zwei-Kugel gleicher Länge ab, bezogen auf den Südpol. Unter dieser Karte werden alle Punkte des Kreises vom Radius π zum Nordpol geschickt. Da die offene Einheitsscheibe homöomorph zur euklidischen Ebene ist, handelt es sich wieder um eine Einpunktkompaktifizierung.
Die exponentielle Abbildung für 3-Sphären ist ähnlich aufgebaut; es kann auch unter Verwendung der Tatsache diskutiert werden, dass die 3-Sphäre die Lie-Gruppe von Einheitsquaternionen ist.
Koordinatensysteme auf der 3-Sphäre
Die vier euklidischen Koordinaten für S 3 sind redundant, da sie der Bedingung x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 unterliegen . Als 3-dimensionale Mannigfaltigkeit sollte man S 3 mit drei Koordinaten parametrisieren können, so wie man die 2-Sphäre mit zwei Koordinaten (wie Breite und Länge ) parametrisieren kann . Aufgrund der nichttrivialen Topologie von S 3 ist es unmöglich, einen einzigen Koordinatensatz zu finden, der den gesamten Raum abdeckt. Genau wie bei der 2-Kugel muss man mindestens zwei Koordinatenkarten verwenden . Einige verschiedene Koordinatenoptionen sind unten angegeben.
Hypersphärische Koordinaten
Es ist praktisch, eine Art hypersphärischer Koordinaten auf S 3 in Analogie zu den üblichen Kugelkoordinaten auf S 2 zu haben . Eine solche Wahl - keineswegs einzigartig - ist die Verwendung ( ψ , θ , φ ) , wobei
wobei ψ und θ über den Bereich 0 bis π laufen und φ über 0 bis 2 π läuft . Beachten Sie, dass für jeden festen Wert von ψ , θ und φ eine 2-Kugel mit Radius r sin ψ parametrisieren , außer in den entarteten Fällen, wenn ψ gleich 0 oder π ist , in welchem Fall sie einen Punkt beschreiben.
Die runde Metrik auf der 3-Kugel in diesen Koordinaten ist gegeben durch
und die Volumenform von
Diese Koordinaten haben eine elegante Beschreibung in Form von Quaternionen . Jede Einheitsquaternion q kann als Versor geschrieben werden :
wobei τ eine imaginäre Einheitsquaternion ist ; dh ein Quaternion, das τ 2 = −1 erfüllt . Dies ist das quaternionische Analogon der Eulerschen Formel . Nun liegen die imaginären Einheitsquaternionen alle auf der Einheit 2-Sphäre in Im H, so dass jedes solche τ geschrieben werden kann:
Mit τ in dieser Form ist die Einheitsquaternion q gegeben durch
wobei x 0,1,2,3 wie oben sind.
Wenn q zur Beschreibung von räumlichen Drehungen verwendet wird (vgl. Quaternionen und räumliche Drehungen ), beschreibt es eine Drehung um τ um einen Winkel von 2 ψ .
Hopf-Koordinaten
Für den Einheitsradius verwendet eine andere Wahl von hypersphärischen Koordinaten ( η , ξ 1 , ξ 2 ) die Einbettung von S 3 in C 2 . In komplexen Koordinaten ( z 1 , z 2 ) ∈ C 2 schreiben wir
Dies könnte auch in R 4 ausgedrückt werden als
Hier läuft η über den Bereich 0 bisπ/2, und ξ 1 und ξ 2 können beliebige Werte zwischen 0 und 2 annehmen π . Diese Koordinaten sind nützlich bei der Beschreibung der 3-Sphäre als Hopf-Bündel
Für jeden festen Wert von η zwischen 0 undπ/2Wird die Koordinaten ( ξ 1 , & xgr; 2 ) einen 2-dimensionalen parametrisieren Torus . Ringe mit konstantem ξ 1 und ξ 2 obiger Form einfachen orthogonalen Gittern auf der Tori. Siehe Bild rechts. In den entarteten Fällen, wenn η gleich 0 oder istπ/2, diese Koordinaten beschreiben einen Kreis .
Die runde Metrik auf der 3-Kugel in diesen Koordinaten ist gegeben durch
und die Volumenform von
Um die ineinandergreifenden Kreise der Hopf-Faser zu erhalten , führen Sie eine einfache Substitution in den obigen Gleichungen durch
In diesem Fall η und ξ 1 angeben , welchen Kreis, und & xgr; 2 Gibt die Position entlang jeden Kreises. Eine Rundfahrt (0 bis 2 π ) von ξ 1 oder ξ 2 entspricht einer Rundfahrt des Torus in die 2 jeweiligen Richtungen.
Stereografische Koordinaten
Ein anderer praktischer Koordinatensatz kann durch stereographische Projektion von S 3 von einem Pol auf die entsprechende äquatoriale R 3 -Hyperebene erhalten werden . Wenn wir zum Beispiel vom Punkt (−1, 0, 0, 0) projizieren , können wir einen Punkt p in S 3 schreiben als
wobei u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ein Vektor in R 3 ist und || du || 2 = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 . In der zweiten obigen Gleichheit haben wir p mit einer Einheitsquaternion und u = u 1 i + u 2 j + u 3 k mit einer reinen Quaternion identifiziert . (Beachten Sie, dass Zähler und Nenner hier kommutieren, obwohl die quaternionische Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist). Die Umkehrung dieser Abbildung nimmt p = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) in S 3 zu
Wir hätten genauso gut vom Punkt (1, 0, 0, 0) projizieren können , dann ist der Punkt p gegeben durch
wobei v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) ein weiterer Vektor in R 3 ist . Die Umkehrung dieser Abbildung nimmt p zu
Beachten Sie, dass die u- Koordinaten überall außer (−1, 0, 0, 0) und die v- Koordinaten überall außer (1, 0, 0, 0) definiert sind . Dies definiert einen Atlas auf S 3 , der aus zwei Koordinatenkarten oder "Patches" besteht, die zusammen ganz S 3 abdecken . Beachten Sie, dass die Übergangsfunktion zwischen diesen beiden Diagrammen bei ihrer Überlappung gegeben ist durch
und umgekehrt.
Gruppenstruktur
Wenn als die Menge der Einheit betrachtet Quaternionen , S 3 inherits eine wichtige Struktur, nämlich der quaternionic Multiplikation. Da die Menge der Einheitsquaternionen bei der Multiplikation abgeschlossen ist, nimmt S 3 die Struktur einer Gruppe an . Da außerdem die quaternionische Multiplikation glatt ist , kann S 3 als echte Lie-Gruppe angesehen werden . Sie ist eine nichtabelsche , kompakte Lie-Gruppe der Dimension 3. Wenn man sich S 3 als Lie-Gruppe vorstellt, wird sie oft als Sp(1) oder U(1, H ) bezeichnet .
Es stellt sich heraus, dass die einzigen Sphären , die eine Lie-Gruppenstruktur zulassen, S 1 , die man sich als die Menge der komplexen Einheitszahlen vorstellt , und S 3 , die Menge der Einheitsquaternionen (Der entartete Fall S 0 bestehend aus den reellen Zahlen 1 und -1 ist ebenfalls eine Lie-Gruppe, wenn auch eine 0-dimensionale). Man könnte meinen, dass S 7 , die Menge der Einheits- Oktonionen , eine Lie-Gruppe bilden würde, aber dies scheitert, da die Oktonionen-Multiplikation nicht assoziativ ist . Die oktonionische Struktur verleiht S 7 eine wichtige Eigenschaft: Parallelisierbarkeit . Es stellt sich heraus, dass die einzigen Kugeln, die parallelisierbar sind, S 1 , S 3 und S 7 sind .
Durch Verwendung einer Matrixdarstellung der Quaternionen H erhält man eine Matrixdarstellung von S 3 . Eine bequeme Wahl bieten die Pauli-Matrizen :
Diese Abbildung liefert einen injektiven Algebra-Homomorphismus von H auf die Menge von 2 × 2 komplexen Matrizen. Es hat die Eigenschaft, dass der Absolutwert einer Quaternion q gleich der Quadratwurzel der Determinante des Matrixbildes von q ist .
Die Menge der Einheitsquaternionen ist dann durch Matrizen der obigen Form mit Einheitsdeterminante gegeben. Diese Matrixuntergruppe ist genau die spezielle unitäre Gruppe SU(2) . Somit ist S 3 als Lie-Gruppe isomorph zu SU(2) .
Mit unserem Hopf Koordinaten ( η , ξ 1 , ξ 2 ) wir jedes Element dann schreiben können SU (2) in der Form
Eine andere Möglichkeit, dieses Ergebnis zu formulieren, besteht darin, die Matrixdarstellung eines Elements von SU(2) als eine Exponentialfunktion einer Linearkombination der Pauli-Matrizen auszudrücken . Man sieht, dass ein beliebiges Element U ∈ SU(2) geschrieben werden kann als
Die Bedingung, dass die Determinante von U +1 ist, impliziert, dass die Koeffizienten α 1 auf eine 3-Sphäre beschränkt sind.
In der Literatur
In Edwin Abbott Abbott ‚s Flachland , im Jahr 1884 veröffentlicht wird , und in Sphereland , eine Fortsetzung von 1965 Flat von Dionys Burger , die 3-Kugel wird als bezeichnet oversphere , und eine 4-Kugel wird als bezeichnet Hypersphäre .
Mark A. Peterson schreibt im American Journal of Physics , beschreibt drei verschiedene Arten der Visualisierung von 3-Sphären und weist in The Divine Comedy auf eine Sprache hin, die darauf hindeutet, dass Dante das Universum auf die gleiche Weise betrachtet; Carlo Rovelli unterstützt dieselbe Idee.
In Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension entwickelt Stephen L. Lipscomb das Konzept der Hypersphärendimensionen in Bezug auf Kunst, Architektur und Mathematik.
Siehe auch
- 1-Kugel , 2-Kugel , n- Kugel
- tesseract , polychoron , simplex
- Pauli-Matrizen
- Rotationsgruppe SO(3)
- Hopf-Bündel , Riemann-Kugel
- Poincaré-Kugel
- Reeb Folierung
- Clifford-Torus
Verweise
- David W. Henderson , Experiencing Geometry: In Euclidean, Spherical, and Hyperbolic Spaces, zweite Auflage , 2001, [1] (Kapitel 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces.)
- Jeffrey R. Weeks , The Shape of Space: Wie sichtbar zu machen Oberflächen und dreidimensionale Mannigfaltigkeiten , 1985, ( [2] ) (Kapitel 14: Der HyperSphere) (Says: Eine Warnung auf Terminologie: Unsere beiden Kugeln in drei definiert ist -dimensionaler Raum, wo er die Grenze einer dreidimensionalen Kugel ist. Diese Terminologie ist unter Mathematikern Standard, aber nicht unter Physikern. Seien Sie also nicht überrascht, wenn Sie Leute finden, die die Zwei-Sphäre eine Drei-Sphäre nennen. )
- Zamboj, Michal (8. Januar 2021). „Synthetische Konstruktion der Hopf-Fibration in der doppelten orthogonalen Projektion des 4-Raums“. arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].
Externe Links
- Weisstein, Eric W. "Hypersphäre" . MathWorld . Hinweis : Dieser Artikel verwendet das alternative Namensschema für Kugeln, bei denen eine Kugel im n- dimensionalen Raum als n- Kugel bezeichnet wird.