Vektorbündel auf algebraischen Kurven - Vector bundles on algebraic curves

In der Mathematik können Vektorbündel auf algebraischen Kurven als holomorphe Vektorbündel auf kompakten Riemannschen Flächen studiert werden , was der klassische Ansatz ist, oder als lokal freie Garben auf algebraischen Kurven C in einer allgemeineren, algebraischen Umgebung (die beispielsweise singuläre Punkte zulassen kann ).

Einige grundlegende Ergebnisse zur Klassifikation wurden in den 1950er Jahren bekannt. Das Ergebnis von Grothendieck (1957) , dass holomorphe Vektorbündel auf der Riemannschen Kugel Summen von Linienbündeln sind , wird heute oft als Birkhoff-Grothendieck-Theorem bezeichnet , da es in viel früheren Arbeiten von Birkhoff (1909) über die Riemann-Hilbert Problematik .

Atiyah (1957) gab die Klassifizierung von Vektorbündeln auf elliptischen Kurven an .

Das Riemann-Roch-Theorem für Vektorbündel wurde von Weil (1938) bewiesen , bevor das Konzept des 'Vektorbündels' wirklich offiziellen Status hatte. Obwohl im Zusammenhang Regelflächen waren klassische Objekte. Siehe Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem für sein Ergebnis. Er suchte eine Verallgemeinerung der Jacobi-Variante , indem er von holomorphen Linienbündeln zu einem höheren Rang überging. Diese Idee würde sich in Bezug auf Modulräume von Vektorbündeln als fruchtbar erweisen . im Anschluss an die Arbeiten in den 1960er Jahren zur geometrischen Invariantentheorie .

Siehe auch

Verweise

  • Atiyah, M. (1957). "Vektorbündel über einer elliptischen Kurve". Proz. London Math. Soz . VII : 414–452. doi : 10.1112/plms/s3-7.1.414 .Auch in Gesammelte Werke Bd. ich
  • Birkhoff, George David (1909). "Singuläre Punkte gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen" . Transaktionen der American Mathematical Society . 10 (4): 436–470. doi : 10.2307/1988594 . ISSN  0002-9947 . JFM  40.0352.02 . JSTOR  1988594 .
  • Grothendieck, A. (1957). "Sur la Klassifikation des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann". Amer. J.Math. 79 (1): 121–138. doi : 10.2307/2372388 . JSTOR  2372388 .
  • Weil, André (1938). „Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen“. Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik . 179 : 129–133. doi : 10.1515/crll.1938.179.129 .