Bonaventura Cavalieri - Bonaventura Cavalieri

"Cavalerius" leitet hierher weiter. Für den Mondkrater siehe Cavalerius (Krater) .
Bonaventura Cavalieri
Ein Stich eines Mannes mit Schnurrbart im Mönchsgewand, dem Betrachter zugewandt.
Geboren
Bonaventura Francesco Cavalieri

1598
Mailand , Herzogtum Mailand , Habsburg Spanien
Ist gestorben 30. November 1647 (1647-11-30)(im Alter von 48–49)
Bologna , Kirchenstaat
Staatsangehörigkeit Italienisch
Andere Namen Bonaventura Cavalerius
Alma Mater Universität Pisa
Bekannt für Cavalieri-Prinzip
Quadraturformel
von Cavalieri Methode der Unteilbaren
Polarkoordinatensystem
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik

Bonaventura Francesco Cavalieri ( lateinisch : Bonaventura Cavalerius ; 1598 – 30. November 1647) war ein italienischer Mathematiker und ein Jesuit . Er ist bekannt für seine Arbeiten zu den Problemen der Optik und Bewegung , Arbeiten über Unteilbare , die Vorläufer der Infinitesimalrechnung und die Einführung der Logarithmen in Italien. Das Cavalieri-Prinzip in der Geometrie hat die Integralrechnung teilweise vorweggenommen .

Leben

Geboren in Mailand , trat Cavalieri im Alter von fünfzehn Jahren in den Jesuitenorden ein (nicht zu verwechseln mit den Jesuiten ). Er legte 1615 im Alter von siebzehn Jahren seine Gelübde als Ordensmitglied ab und trat kurz darauf in das Jesuitenhaus in Pisa ein. Bis 1616 studierte er Geometrie an der Universität von Pisa . Dort kam er unter die Vormundschaft von Benedetto Castelli , der ihn wahrscheinlich mit Galileo Galilei bekannt machte . 1617 trat er kurzzeitig dem Medici- Hof in Florenz unter der Schirmherrschaft von Kardinal Federico Borromeo bei , kehrte aber im folgenden Jahr nach Pisa zurück und begann an Stelle von Castelli Mathematik zu unterrichten. Er bewarb sich um den Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Bologna , wurde aber abgelehnt.

1620 kehrte er ins Jesuitenhaus in Mailand zurück, wo er als Noviziat gelebt hatte, und wurde Diakon unter Kardinal Borromäus. Er studierte Theologie im Kloster San Gerolamo in Mailand und wurde zum Prior des Klosters St. Peter in Lodi ernannt . 1623 wurde er zum Prior des Klosters St. Benedikt in Parma ernannt, bewarb sich aber noch immer um Stellen in Mathematik. Er bewarb sich erneut in Bologna und 1626 an der Universität Sapienza , wurde jedoch jedes Mal abgelehnt, obwohl er sechs Monate beurlaubt wurde, um seinen Fall in Sapienza in Rom zu unterstützen. 1626 begann er an Gicht zu leiden, die seine Bewegungen für den Rest seines Lebens einschränkte. Er wurde auch von einer Position an der Universität von Parma abgelehnt , was vermutlich auf seine Mitgliedschaft im Jesuitenorden zurückzuführen war, da Parma zu dieser Zeit vom Jesuitenorden verwaltet wurde. 1629 wurde er auf den Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Bologna berufen, was auf Galileis Unterstützung des bolognesischen Senats zurückzuführen ist.

Während seiner Zeit in Bologna veröffentlichte er die meisten seiner Werke, obwohl einige davon schon früher geschrieben worden waren; seine Geometria Indivisibilius , wo er skizzierte , was später werden würde Methode der unteilbaren , wurde im Jahr 1627 , während in Parma geschrieben und als Teil seiner Anwendung nach Bologna präsentiert, wurde aber erst 1635. Moderne kritische Aufnahme gemischt wurde veröffentlicht, und Exercitationes geometricae Sex (Six Exercises in Geometry) wurde 1647 veröffentlicht, teilweise als Reaktion auf Kritik. Auch in Bologna veröffentlichte er Logarithmentabellen und Informationen zu ihrer Verwendung, um ihre Verwendung in Italien zu fördern.

Galilei übte einen starken Einfluss auf Cavalieri aus, und Cavalieri schrieb mindestens 112 Briefe an Galileo. Galilei sagte über ihn: "Seit Archimedes haben sich , wenn überhaupt, nur wenige so weit und so tief in die Wissenschaft der Geometrie vertieft." Er korrespondierte weit; zu seinen bekannten Korrespondenten zählen Marin Mersenne , Evangelista Torricelli und Vincenzo Viviani . Insbesondere Torricelli war maßgeblich an der Verfeinerung und Förderung der Methode der Unteilbaren beteiligt. Er profitierte auch von der Schirmherrschaft von Cesare Marsili .

Gegen Ende seines Lebens verschlechterte sich sein Gesundheitszustand deutlich. Arthritis hinderte ihn am Schreiben, und ein Großteil seiner Korrespondenz wurde von Stephano degli Angeli , einem Jesuitenkollegen und Schüler von Cavalieri, diktiert und geschrieben . Angeli würde die Methode von Cavalieri weiterentwickeln.

1647 starb er wahrscheinlich an Gicht.

Arbeit

Von 1632 bis 1646 veröffentlichte Cavalieri elf Bücher, die sich mit Problemen der Astronomie, Optik, Bewegung und Geometrie befassen.

Arbeiten in der Optik

Cavalieri's erstes Buch, das erstmals 1632 veröffentlicht und 1650 einmal nachgedruckt wurde, war Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche oder Der brennende Spiegel oder eine Abhandlung über konische Abschnitte . Das Ziel von Lo Specchio Ustorio war es, die Frage zu beantworten, wie Archimedes Spiegel verwendet haben könnte, um die römische Flotte zu verbrennen, als sie sich Syrakus näherten , eine Frage, die immer noch umstritten ist. Das Buch ging über diesen Zweck hinaus und untersuchte auch Kegelschnitte, Lichtreflexionen und die Eigenschaften von Parabeln. In diesem Buch entwickelte er die Theorie der zu Parabeln , Hyperbeln und Ellipsen geformten Spiegel sowie verschiedene Kombinationen dieser Spiegel. Er demonstrierte, dass, wenn Licht, wie später gezeigt wurde, eine endliche und bestimmte Geschwindigkeit hat, es im Fokus eines parabolischen, hyperbolischen oder elliptischen Spiegels minimale Interferenzen im Bild gibt, obwohl dies theoretisch war, da die erforderlichen Spiegel nicht konstruiert werden konnten mit zeitgemäßer Technik. Dies würde bessere Bilder liefern als die damaligen Teleskope.

Zwei Illustrationen von Lo Speccio Ustorio, die zwei Prinzipien der Lichtreflexion an der Oberfläche einer Parabel demonstrieren.
Geometrische Figuren von Lo Speccio Ustorio , die zum Nachweis der Eigenschaften von parabolisch reflektierenden Oberflächen verwendet werden.

Er demonstrierte auch einige Eigenschaften von Kurven. Der erste ist, dass für einen Lichtstrahl, der parallel zur Achse einer Parabel ist und reflektiert wird, um durch den Brennpunkt zu gehen, die Summe des Einfallswinkels und seiner Reflexion gleich der jedes anderen ähnlichen Strahls ist. Er zeigte dann ähnliche Ergebnisse für Hyperbeln und Ellipsen. Das zweite Ergebnis, das bei der Konstruktion von Spiegelteleskopen nützlich ist, ist, dass, wenn eine Linie von einem Punkt außerhalb einer Parabel zum Brennpunkt verlängert wird, die Reflexion dieser Linie an der Außenfläche der Parabel parallel zur Achse verläuft. Andere Ergebnisse umfassen die Eigenschaft, dass, wenn eine Linie durch eine Hyperbel und ihren externen Brennpunkt verläuft, ihre Reflexion im Inneren der Hyperbel durch den internen Brennpunkt verläuft; die Umkehrung des vorherigen, dass ein durch die Parabel zum inneren Brennpunkt gerichteter Strahl von der Außenfläche zum äußeren Brennpunkt reflektiert wird; und die Eigenschaft, dass, wenn eine Linie durch einen internen Brennpunkt einer Ellipse verläuft, ihre Reflexion an der Innenfläche der Ellipse durch den anderen internen Brennpunkt geht. Während einige dieser Eigenschaften bereits erwähnt wurden, lieferte Cavalieri den ersten Beweis von vielen.

Lo Specchio Ustorio legte auch eine Tabelle mit reflektierenden Oberflächen und Reflexionsmodi für den praktischen Gebrauch bei.

Cavalieri's Arbeit enthielt auch theoretische Entwürfe für einen neuen Teleskoptyp mit Spiegeln, ein Spiegelteleskop , das ursprünglich entwickelt wurde, um die Frage des Archimedes-Spiegels zu beantworten, und dann in viel kleinerem Maßstab als Teleskope angewendet wurde. Er illustrierte drei verschiedene Konzepte für den Einbau von reflektierenden Spiegeln in sein Teleskopmodell. Plan eins bestand aus einem großen, konkaven Spiegel, der auf die Sonne gerichtet war, um das Licht in einen zweiten, kleineren, konvexen Spiegel zu reflektieren. Das zweite Konzept von Cavalieri bestand aus einem Hauptspiegel mit abgestumpftem Paraboloid und einem zweiten konvexen Spiegel. Seine dritte Option zeigte eine starke Ähnlichkeit mit seinem vorherigen Konzept, indem er die konvexe Sekundärlinse durch eine konkave Linse ersetzte.

Arbeiten in Geometrie und die Methode der Unteilbaren

Das Frontispiz der Geometria indivisibilibus .

Inspiriert von früheren Arbeiten von Galileo entwickelte Cavalieri einen neuen geometrischen Ansatz, der als Methode der Unteilbaren in der Infinitesimalrechnung bezeichnet wird, und veröffentlichte eine Abhandlung zu diesem Thema, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota oder Geometrie, die durch eine neue Methode durch die Unteilbaren der Kontinuität entwickelt wurde . Dies wurde 1627 geschrieben, aber erst 1635 veröffentlicht. In diesem Werk betrachtet Cavalieri eine Einheit, die im Text als "alle Linien" oder "alle Ebenen" einer Figur bezeichnet wird, eine unbestimmte Anzahl paralleler Linien oder Ebenen innerhalb der Grenzen einer Figur, die mit der Fläche bzw. dem Volumen der Figur vergleichbar sind. Spätere Mathematiker, die seine Methode verbesserten, behandelten "alle Linien" und "alle Ebenen" als gleichwertig oder gleich der Fläche und des Volumens, aber Cavalieri bestand in dem Versuch, die Frage nach der Zusammensetzung des Kontinuums zu vermeiden, darauf die beiden waren vergleichbar, aber nicht gleich.

Diese parallelen Elemente werden als unteilbare Flächen- bzw. Volumenelemente bezeichnet und bilden die Bausteine ​​der Cavalieri-Methode und sind auch grundlegende Merkmale der Integralrechnung . Er benutzte auch die Methode der Unteilbaren, um das Ergebnis zu berechnen, das jetzt geschrieben wird , bei der Berechnung der von einer archimedischen Spirale eingeschlossenen Fläche , die er später auf andere Figuren verallgemeinerte und zum Beispiel zeigte, dass das Volumen eines Kegels eins ist Drittel des Volumens seines umschriebenen Zylinders.

Eine unmittelbare Anwendung der Methode der Unteilbaren ist das Cavalieri-Prinzip , das besagt, dass die Volumina zweier Objekte gleich sind, wenn die Flächen ihrer entsprechenden Querschnitte in allen Fällen gleich sind. Zwei Querschnitte entsprechen, wenn sie Schnittpunkte des Körpers mit Ebenen sind, die von einer gewählten Basisebene gleich weit entfernt sind. (Das gleiche Prinzip wurde zuvor von Zu Gengzhi (480–525) aus China im speziellen Fall der Berechnung des Kugelvolumens verwendet.)

Die von Cavalieri dargelegte Methode der Unteilbaren war mächtig, aber in ihrer Nützlichkeit in dreierlei Hinsicht begrenzt. Erstens waren Cavalieri's Beweise zwar intuitiv und wurden später als richtig bewiesen, aber sie waren nicht streng; zweitens war seine Schrift dicht und undurchsichtig; drittens wurde die Behandlung des Kontinuums als aus Infinitesimalen zusammengesetzt, damals in Italien vom Jesuitenorden als ein Merkmal des Atomismus , einer verbotenen Doktrin, verurteilt. Während viele zeitgenössische Mathematiker die Methode der Unteilbarkeiten förderten, oft ohne Rücksicht auf die Einschränkungen, die Cavalieri der Verwendung von Infinitesimalen auferlegte, um Kontroversen zu vermeiden, war die kritische Rezeption der Geometria indivisibilius streng. Andre Taquet und Paul Guldin veröffentlichten beide Antworten auf die Geometria indivisibilus. Guldins besonders eingehende Kritik legt nahe, dass Cavalieri's Methode von den Arbeiten von Johannes Kepler und Bartholomew Sover abgeleitet sei , griff seine Methode wegen mangelnder Strenge an und argumentiert dann, dass es kein sinnvolles Verhältnis zwischen zwei Unendlichkeiten geben kann, und daher ist es bedeutungslos, einen mit einem anderen zu vergleichen.

Cavalieri's Exercitationes Geometricae sex or Six Geometric Exercises (1647) entstand als direkte Reaktion auf Guldins Kritik. Es war zunächst als Dialog nach Galilei-Manier angelegt, doch Korrespondenten rieten dem Format als unnötig aufhetzend ab. Die Anschuldigungen des Plagiats waren ohne Substanz, aber viele der Exercitationes beschäftigten sich mit der mathematischen Substanz von Guldins Argumenten. Er argumentierte unaufrichtig, dass seine Arbeit „alle Linien“ als eine von der Fläche einer Figur getrennte Einheit betrachtete, und argumentierte dann, dass „alle Linien“ und „alle Ebenen“ sich nicht mit absoluter, sondern mit relativer Unendlichkeit befassten, und könnte daher verglichen werden. Diese Argumente überzeugten die Zeitgenossen nicht. Dennoch stellten die Exercitationes eine bedeutende Verbesserung der Methode der Unteilbaren dar. Durch Anwenden von Transformationen auf seine Variablen verallgemeinerte er sein vorheriges Integralergebnis und zeigte, dass für n=3 bis n=9 die heute als Cavalieri-Quadraturformel bekannt ist .

Arbeit in der Astronomie

Gegen Ende seines Lebens veröffentlichte Cavalieri zwei Bücher über Astronomie . Obwohl sie die Sprache der Astrologie verwenden , sagt er im Text, dass er nicht an Astrologie glaubte oder sie praktizierte . Diese Bücher waren die Nuova pratica astromlogica (1639) und das Trattato della ruota planetaria perpetua (1646).

Andere Arbeit

Er veröffentlichte Tabellen von Logarithmen , deren praktische Anwendung in den Bereichen Astronomie und betont Geographie .

Cavalieri baute auch eine Hydraulikpumpe für ein Kloster, das er leitete. Der Herzog von Mantua erhielt einen ähnlichen.

Erbe

Cavalieri-Denkmal von Giovanni Antonio Labus, Palazzo di Brera , Mailand , 1844

Nach Gilles-Gaston Granger gehört Cavalieri mit Newton , Leibniz , Pascal , Wallis und MacLaurin zu denen, die im 17. und 18. Jahrhundert "das mathematische Objekt neu definieren".

Der Mondkrater Cavalerius ist nach Cavalieri benannt.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

Externe Links