Zentrum (Geometrie) - Centre (geometry)

Kreisdarstellung mit Umfang (C) in Schwarz, Durchmesser (D) in Blau, Radius (R) in Rot und Mittelpunkt oder Ursprung (O) in Magenta.

In der Geometrie ist ein Zentrum (oder Zentrum ) (aus dem Griechischen κέντρον ) eines Objekts ein Punkt in gewisser Weise in der Mitte des Objekts. Gemäß der betrachteten spezifischen Definition des Zentrums kann ein Objekt kein Zentrum haben. Betrachtet man Geometrie als das Studium von Isometriegruppen, dann ist ein Zentrum ein Fixpunkt aller Isometrien, die das Objekt auf sich selbst bewegen.

Kreise, Kugeln und Segmente

Der Mittelpunkt eines Kreises ist der Punkt äquidistant von den Punkten auf dem Rand. In ähnlicher Weise ist der Mittelpunkt einer Kugel der Punkt, der von den Punkten auf der Oberfläche gleich weit entfernt ist, und der Mittelpunkt eines Liniensegments ist der Mittelpunkt der beiden Enden.

Symmetrische Objekte

Bei Objekten mit mehreren Symmetrien , das Symmetriezentrum ist der Punkt , durch die symmetrischen Aktionen unverändert gelassen. Der Mittelpunkt eines Quadrats , Rechtecks , Rhombus oder Parallelogramms ist also der Schnittpunkt der Diagonalen, was (neben anderen Eigenschaften) der Fixpunkt der Rotationssymmetrien ist. Ebenso liegt der Mittelpunkt einer Ellipse oder Hyperbel dort, wo sich die Achsen schneiden.

Dreiecke

Hauptartikel: Dreieckszentrum

Mehrere spezielle Punkte eines Dreiecks werden oft als Dreiecksmittelpunkte bezeichnet :

Bei einem gleichseitigen Dreieck ist dies derselbe Punkt, der im Schnittpunkt der drei Symmetrieachsen des Dreiecks liegt, ein Drittel des Abstands von seiner Basis bis zu seiner Spitze.

Eine strenge Definition eines Dreiecks Zentrum ist ein Punkt , dessen trilineare Koordinaten sind f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ) wobei f eine Funktion der Längen der IS drei Seiten des Dreiecks a , b , c so dass:

  1. f ist homogen in a , b , c ; das heißt, f ( ta , tb , tc ) = t h f ( a , b , c ) für ein Wirkleistungs h ; somit ist die Position eines Zentrums maßstabsunabhängig.
  2. f ist in seinen letzten beiden Argumenten symmetrisch; dh f ( a , b , c ) = f ( a , c , b ); somit ist die Position eines Zentrums in einem spiegelbildlichen Dreieck das Spiegelbild seiner Position im ursprünglichen Dreieck.

Diese strenge Definition schließt Paare von bizentrischen Punkten wie die Brocard-Punkte (die durch eine spiegelbildliche Reflexion ausgetauscht werden) aus. Ab 2020 listet die Enzyklopädie der Dreieckszentren über 39.000 verschiedene Dreieckszentren auf.

Tangentiale Polygone und zyklische Polygone

Ein Tangentenvieleck hat jeder ihrer Seiten tangential zu einem bestimmten Kreis, der angerufene Inkreis oder Inkreises. Der Mittelpunkt des Inkreises, auch Incenter genannt, kann als Mittelpunkt des Polygons betrachtet werden.

Ein zyklisches Polygon hat jeden seiner Scheitel auf einem bestimmten Kreis, der als Umkreis oder umschriebener Kreis bezeichnet wird. Der Mittelpunkt des Umkreises, auch Umkreismittelpunkt genannt, kann als Mittelpunkt des Polygons betrachtet werden.

Wenn ein Polygon sowohl tangential als auch zyklisch ist, wird es als bizentrisch bezeichnet . (Alle Dreiecke sind zum Beispiel bizentrisch.) Mittelpunkt und Umkreis eines bizentrischen Polygons sind im Allgemeinen nicht derselbe Punkt.

Allgemeine Polygone

Siehe auch: Viereck § Bemerkenswerte Punkte und Geraden in einem konvexen Viereck

Der Mittelpunkt eines allgemeinen Polygons kann auf verschiedene Weise definiert werden. Der "Scheitelpunktschwerpunkt" kommt von der Betrachtung des Polygons als leer, aber mit gleichen Massen an seinen Scheitelpunkten. Der "Seitenschwerpunkt" kommt von der Annahme, dass die Seiten eine konstante Masse pro Längeneinheit haben. Der übliche Mittelpunkt, der nur als Schwerpunkt (Mittelpunkt der Fläche) bezeichnet wird, ergibt sich aus der Annahme, dass die Oberfläche des Polygons eine konstante Dichte hat. Diese drei Punkte sind im Allgemeinen nicht alle gleich.

Projektive Kegelschnitte

In der projektiven Geometrie hat jede Linie einen Punkt im Unendlichen oder "figurativen Punkt", wo sie alle parallelen Linien schneidet. Die Ellipse, Parabel und Hyperbel der euklidischen Geometrie werden in der projektiven Geometrie Kegelschnitte genannt und können als Steiner-Kegelschnitte aus einer Projektivität konstruiert werden , die keine Perspektivität ist. Eine Symmetrie der projektiven Ebene mit einem gegebenen Kegelschnitt bezieht jeden Punkt oder Pol auf eine Gerade, die seine Polare genannt wird . Das Konzept des Zentrums in der projektiven Geometrie verwendet diese Beziehung. Die folgenden Behauptungen stammen von GB Halsted .

  • Die harmonisch Konjugierte eines Punktes im Unendlichen in Bezug auf die Endpunkte einer endlichen Sekte ist das 'Zentrum' dieser Sekte.
  • Der Pol der Geraden im Unendlichen in Bezug auf einen bestimmten Kegelschnitt ist das „Zentrum“ des Kegelschnitts.
  • Die Polare jedes figurativen Punktes befindet sich in der Mitte des Kegelschnitts und wird als „Durchmesser“ bezeichnet.
  • Der Mittelpunkt jeder Ellipse liegt darin, da ihre Polare die Kurve nicht trifft, und daher gibt es keine Tangenten von ihr an die Kurve. Der Mittelpunkt einer Parabel ist der Kontaktpunkt der figurativen Geraden.
  • Der Mittelpunkt einer Hyperbel liegt ohne Kurve, da die figurative Gerade die Kurve kreuzt. Die Tangenten vom Zentrum zur Hyperbel werden 'Asymptoten' genannt. Ihre Kontaktpunkte sind die beiden Punkte im Unendlichen auf der Kurve.

Siehe auch

Verweise