Logarithmische Differenzierung - Logarithmic differentiation

In der Analysis ist die logarithmische Differenzierung oder Differenzierung durch Logarithmen eine Methode zur Differenzierung von Funktionen unter Verwendung der logarithmischen Ableitung einer Funktion f ,

${\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad \ impliziert \ quad f '= f \ cdot (\ ln f)'.}$

Die Technik wird häufig in Fällen durchgeführt, in denen es einfacher ist, den Logarithmus einer Funktion als die Funktion selbst zu unterscheiden. Dies tritt normalerweise in Fällen auf, in denen die interessierende Funktion aus einem Produkt mehrerer Teile besteht, so dass eine logarithmische Transformation daraus eine Summe separater Teile macht (was viel einfacher zu unterscheiden ist). Dies kann auch nützlich sein, wenn es auf Funktionen angewendet wird, die durch Variablen oder Funktionen erhöht werden. Die logarithmische Differenzierung beruht auf der Kettenregel sowie den Eigenschaften von Logarithmen (insbesondere dem natürlichen Logarithmus oder dem Logarithmus zur Basis e ), um Produkte in Summen und Divisionen in Subtraktionen umzuwandeln. Das Prinzip kann zumindest teilweise in die Differenzierung fast aller differenzierbaren Funktionen umgesetzt werden , sofern diese Funktionen nicht Null sind.

Überblick

Für eine Funktion

${\ displaystyle y = f (x) \, \!}$

Die logarithmische Differenzierung beginnt normalerweise damit, dass der natürliche Logarithmus oder der Logarithmus auf beiden Seiten zur Basis e gebracht wird, wobei daran gedacht wird, absolute Werte anzunehmen:

${\ displaystyle \ ln | y | = \ ln | f (x) |. \, \!}$

Nach impliziter Differenzierung :

${\ displaystyle {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}$

Die Multiplikation mit y erfolgt dann, um 1 / y zu eliminieren und nur dy / dx auf der linken Seite zu belassen :

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ times {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}$

Die Methode wird verwendet, weil die Eigenschaften von Logarithmen Möglichkeiten bieten, um zu differenzierende komplizierte Funktionen schnell zu vereinfachen. Diese Eigenschaften können nach der Aufnahme natürlicher Logarithmen auf beiden Seiten und vor der vorläufigen Differenzierung manipuliert werden. Die am häufigsten verwendeten Logarithmusgesetze sind

${\ displaystyle \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b), \ qquad \ ln \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ ln (a) - \ ln (b), \ qquad \ ln (a ^ {n}) = n \ ln (a).}$

Allgemeiner Fall

Mit Kapital pi Notation ,

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}.}$

Die Anwendung natürlicher Logarithmen führt zu (mit Großbuchstaben-Notation )

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} (x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)),}$

und nach Differenzierung

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = \ sum _ {i} \ left [\ alpha _ {i}' (x) \ cdot \ ln (f_ {i} ( x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ right].}$

Neu anordnen, um die Ableitung der ursprünglichen Funktion zu erhalten,

${\ displaystyle f '(x) = \ overbrace {\ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}} ^ {f (x)} \ times \ Überlagerung {\ sum _ {i} \ left \ {\ alpha _ {i} '(x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ right \}} ^ {[\ ln (f (x))]'}.}$

Derivate höherer Ordnung

Unter Verwendung der Formel von Faà di Bruno lautet die logarithmische Ableitung n-ter Ordnung:

${\ displaystyle {d ^ {n} \ über dx ^ {n}} \ ln f (x) = \ sum _ {m_ {1} + 2m_ {2} + \ cdots + nm_ {n} = n} {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot {\ frac {(-1) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1} (m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1)!} {f (x) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n}}} \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {f ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}$

Damit sind die ersten vier Ableitungen:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' (x)} {f (x)}} - \ left ( {\ frac {f '(x)} {f (x)}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 3 { \ frac {f '(x) f' '(x)} {f (x) ^ {2}}} + 2 \ left ({\ frac {f' (x)} {f (x)}} \ right ) ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4}} {dx ^ {4}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '' (x)} {f (x)}} - 4 {\ frac {f '(x) f' '' (x)} {f (x) ^ {2}}} - 3 \ left ({\ frac {f '' (x)} {f (x)} } \ right) ^ {2} +12 {\ frac {f '(x) ^ {2} f' '(x)} {f (x) ^ {3}}} - 6 \ left ({\ frac { f '(x)} {f (x)}} \ right) ^ {4}}$

Anwendungen

Produkte

Ein natürlicher Logarithmus wird auf ein Produkt aus zwei Funktionen angewendet

${\ displaystyle f (x) = g (x) h (x) \, \!}$

das Produkt in eine Summe umwandeln

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln (g (x) h (x)) = \ ln (g (x)) + \ ln (h (x)). \, \!}$

Differenzieren durch Anwenden der Kette und der Summenregeln ergibt

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

und nach dem Umordnen ergibt sich

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) h (x) \ mal {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Quotienten

Ein natürlicher Logarithmus wird auf einen Quotienten aus zwei Funktionen angewendet

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \, \!}$

die Division in eine Subtraktion umzuwandeln

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln {\ Bigg (} {\ frac {g (x)} {h (x)}} {\ Bigg)} = \ ln (g (x)) - \ ln (h (x)) \, \!}$

Differenzieren durch Anwenden der Kette und der Summenregeln ergibt

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

und nach dem Umordnen ergibt sich

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g ( x)}} - {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Nach dem Multiplizieren und Verwenden der Formel mit dem gemeinsamen Nenner ist das Ergebnis dasselbe wie nach dem direkten Anwenden der Quotientenregel auf . ${\ displaystyle f (x)}$

Zusammengesetzter Exponent

Für eine Funktion des Formulars

${\ displaystyle f (x) = g (x) ^ {h (x)} \, \!}$

Der natürliche Logarithmus wandelt die Potenzierung in ein Produkt um

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln \ left (g (x) ^ {h (x)} \ right) = h (x) \ ln (g (x)) \, \!}$

Differenzierung durch Anwendung der Kette und der Produktregeln ergibt

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}},}$

und nach dem Umordnen ergibt sich

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) ^ {h (x)} \ times {\ Bigg \ {} h '(x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} {g (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Das gleiche Ergebnis kann erhalten werden, indem f in Bezug auf exp umgeschrieben und die Kettenregel angewendet wird .

Siehe auch

• Darboux-Derivat
• Maurer-Cartan-Form
• Lügengruppe
• Liste der Logarithmus-Themen
• Liste der logarithmischen Identitäten

Anmerkungen