Im Folgenden sind wichtige Identitäten aufgeführt, die Ableitungen und Integrale in der Vektorrechnung beinhalten .
Operatornotation
Gradient
Für eine Funktion in dreidimensionalen kartesischen Koordinatenvariablen ist der Gradient das Vektorfeld:
wobei i , j , k die sind Standardeinheitsvektoren für die x , y , z -Achsen. Allgemeiner ausgedrückt ist der Gradient für eine Funktion von n Variablen , auch Skalarfeld genannt , das Vektorfeld :
wo sind orthogonale Einheitsvektoren in willkürlichen Richtungen.
Für ein als 1 × n Zeilenvektor geschriebenes Vektorfeld, auch Tensorfeld der Ordnung 1 genannt, ist die Gradienten- oder kovariante Ableitung die n × n Jacobi-Matrix :
Für ein Tensorfeld beliebiger Ordnung k ist der Gradient ein Tensorfeld der Ordnung k + 1.
Abweichungen
In kartesischen Koordinaten ist die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes die skalarwertige Funktion:
Die Divergenz eines Tensorfeldes der Ordnung k wird geschrieben als , eine Kontraktion zu einem Tensorfeld der Ordnung k − 1. Genauer gesagt ist die Divergenz eines Vektors ein Skalar. Die Divergenz eines Tensorfeldes höherer Ordnung kann gefunden werden, indem man das Tensorfeld in eine Summe äußerer Produkte zerlegt und die Identität verwendet,
wo ist die Richtungsableitung in Richtung multipliziert mit ihrem Betrag. Insbesondere für das äußere Produkt zweier Vektoren gilt:
Locken
In kartesischen Koordinaten ist für die Locke das Vektorfeld:
wobei i , j und k die Einheitsvektoren für die x- , y- bzw. z- Achsen sind. In der Einstein-Notation hat das Vektorfeld eine Kräuselung, die gegeben ist durch:
wobei = ±1 oder 0 das Levi-Civita-Paritätssymbol ist .
Laplace
In kartesischen Koordinaten , die Laplace - Funktion ist
,
Für ein Tensorfeld , wird der Laplace-Operator im Allgemeinen geschrieben als:
und ist ein Tensorfeld gleicher Ordnung.
Wenn der Laplace-Operator gleich 0 ist, wird die Funktion als harmonische Funktion bezeichnet . Das ist,
-
Besondere Notationen
In der tiefgestellten Feynman-Notation ,
wobei die Notation ∇ B bedeutet, dass der tiefgestellte Gradient nur mit dem Faktor B arbeitet .
Weniger allgemein, aber ähnlich ist die Hestenes Overdot-Notation in der geometrischen Algebra . Die obige Identität wird dann ausgedrückt als:
wobei Überpunkte den Geltungsbereich der Vektorableitung definieren. Der gepunktete Vektor, hier B , wird differenziert, während das (undottierte) A konstant gehalten wird.
Für den Rest dieses Artikels wird gegebenenfalls die tiefgestellte Feynman-Notation verwendet.
Erste abgeleitete Identitäten
Für Skalarfelder , und Vektorfelder , haben wir die folgenden abgeleiteten Identitäten.
Verteilungseigenschaften
Produktregel für die Multiplikation mit einem Skalar
Wir haben die folgenden Verallgemeinerungen der Produktregel in einzelne Variable Kalkül .
In der zweiten Formel ist der transponierte Gradient ein n × 1-Spaltenvektor, ist ein 1 × n- Zeilenvektor und ihr Produkt ist eine n × n- Matrix (oder genauer gesagt eine Dyade ); Dies kann auch als das Tensorprodukt zweier Vektoren oder eines Kovektors und eines Vektors betrachtet werden .
Quotientenregel zur Division durch einen Skalar
Kettenregel
Sei eine Funktion mit einer Variablen von Skalaren zu Skalaren, eine parametrisierte Kurve und eine Funktion von Vektoren zu Skalaren. Wir haben die folgenden Spezialfälle der multivariablen Kettenregel .
Für eine Koordinatenparametrisierung gilt:
Hier nehmen wir die Spur des Produkts zweier n × n- Matrizen: den Gradienten von A und den Jacobi-Wert von .
Punktproduktregel
wobei bezeichnet die Jacobi-Matrix des Vektorfeldes , und im letzten Ausdruck werden die Operationen so verstanden, dass sie nicht auf die Richtungen wirken (was einige Autoren durch entsprechende Klammern oder Transponierungen angeben würden).
Alternativ können Sie die tiefgestellte Notation von Feynman verwenden.
Siehe diese Hinweise.
Als Sonderfall, wenn A = B ,
Die Verallgemeinerung der Skalarproduktformel auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist eine definierende Eigenschaft einer Riemannschen Verbindung , die ein Vektorfeld in eine vektorwertige 1-Form differenziert .
Produktübergreifende Regel
Beachten Sie den Unterschied zwischen
und
Beachten Sie auch, dass die Matrix antisymmetrisch ist.
Zweite abgeleitete Identitäten
Die Divergenz der Locke ist null
Die Divergenz der Windung eines beliebigen Vektorfeldes A ist immer Null:
Dies ist ein Spezialfall des Verschwindens des Quadrats der äußeren Ableitung im De Rham- Kettenkomplex .
Die Divergenz des Gradienten ist Laplace
Der Laplace-Operator eines Skalarfeldes ist die Divergenz seines Gradienten:
Das Ergebnis ist eine skalare Größe.
Divergenz der Divergenz ist nicht definiert
Die Divergenz eines Vektorfeldes A ist ein Skalar, und Sie können die Divergenz einer skalaren Größe nicht nehmen. Deswegen:
Die Steigung ist null
Die Wellung des Gradienten von jedem kontinuierlich zweimal differenzierbar Skalarfeld ist immer der Nullvektor :
Dies ist ein Spezialfall des Verschwindens des Quadrats der äußeren Ableitung im De Rham- Kettenkomplex .
Locke der Locke
Hier ist ∇ 2 der Vektor-Laplace-Operator , der auf dem Vektorfeld A operiert .
Divergenzkrümmung ist nicht definiert
Die Divergenz eines Vektorfeldes A ist ein Skalar, und Sie können keine skalare Größe kräuseln. Deswegen
DCG-Diagramm: Einige Regeln für zweite Ableitungen.
Eine Gedächtnisstütze
Die Abbildung rechts ist eine Gedächtnisstütze für einige dieser Identitäten. Die verwendeten Abkürzungen sind:
- D: Divergenz,
- C: Locken,
- G: Steigung,
- L: Laplace,
- CC: Locke der Locke.
Jeder Pfeil ist mit dem Ergebnis einer Identität gekennzeichnet, insbesondere dem Ergebnis der Anwendung des Operators am Ende des Pfeils auf den Operator an seiner Spitze. Der blaue Kreis in der Mitte bedeutet, dass Curl oder Curl existiert, während die anderen beiden roten Kreise (gestrichelt) bedeuten, dass DD und GG nicht existieren.
Zusammenfassung wichtiger Identitäten
Unterscheidung
Gradient
Abweichungen
Locken
Vektorpunkt-Entf-Operator
Zweite Ableitungen
-
( Skalar Laplace )
-
( Vektor-Laplace-Zeichen )
-
( Grüne Vektoridentität )
Dritte Ableitungen
Integration
Unten bedeutet das geschweifte Symbol ∂ „ Grenze einer “ Fläche oder eines Festkörpers.
Oberfläche-Volumen-Integrale
In den folgenden Flächen-Volumen-Integralsätzen bezeichnet V ein dreidimensionales Volumen mit einem entsprechenden zweidimensionalen Rand S = ∂ V (eine geschlossene Fläche ):
-
( Divergenzsatz )
-
-
-
( Grüne erste Identität )
-
( Greens zweite Identität )
-
( Integration von Teilen )
-
( Integration von Teilen )
Kurven–Flächenintegrale
In den folgenden Kurve-Flächen-Integralsätzen bezeichnet S eine 2d offene Fläche mit einem entsprechenden 1d Rand C = ∂ S (eine geschlossene Kurve ):
-
( Theorem von Stokes )
Die Integration um eine geschlossene Kurve im Uhrzeigersinn ist das Negative des gleichen Linienintegrals im Gegenuhrzeigersinn (analog zum Vertauschen der Grenzen in einem bestimmten Integral ):
-
Siehe auch
Verweise
Weiterlesen