Commensurability (Mathematik) - Commensurability (mathematics)

In der Mathematik gelten zwei reelle Zahlen a und b ungleich Null als angemessen, wenn ihr Verhältnis stimmt ein /. b ist eine rationale Zahl ; ansonsten ein und b genannt inkommensurabel . (Denken Sie daran, dass eine rationale Zahl eine ist, die dem Verhältnis zweier Ganzzahlen entspricht .) In der Gruppentheorie gibt es einen allgemeineren Begriff der Verhältnismäßigkeit .

Zum Beispiel sind die Zahlen 3 und 2 angemessen, weil ihr Verhältnis, 3 /. 2 ist eine rationale Zahl. Die Zahlen und sind auch angemessen, weil ihr Verhältnis eine rationale Zahl ist. Die Zahlen und 2 sind jedoch nicht vergleichbar, da ihr Verhältnis eine irrationale Zahl ist . ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}}$${\ textstyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2 {\ sqrt {3}}} = {\ frac {1} {2}}}$${\ textstyle {\ sqrt {3}}}$${\ textstyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$

Allgemeiner ergibt sich aus der Definition unmittelbar, dass a und b angemessen sind , wenn a und b zwei beliebige rationale Zahlen ungleich Null sind; es ist auch sofort , dass , wenn eine irgendeine irrationale Zahl und b ist eine beliebige Nicht-Null rationale Zahl, dann a und b inkommensurabel sind. Wenn andererseits sowohl a als auch b irrationale Zahlen sind, können a und b angemessen sein oder nicht.

Geschichte des Konzepts

Den Pythagoräern wird der Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen zugeschrieben . Wenn das Verhältnis der Längen zweier Liniensegmente irrational ist, werden die Liniensegmente selbst (nicht nur ihre Längen) ebenfalls als nicht vergleichbar beschrieben.

In Buch V der Euklidischen Elemente wurde eine separate, allgemeinere und umständlichere altgriechische Proportionalitätslehre für die geometrische Größe entwickelt , um Beweise mit nicht messbaren Längen zu ermöglichen und so Argumente zu vermeiden, die nur für eine historisch eingeschränkte Definition der Zahl gelten .

Euklids Vorstellung von Verhältnismäßigkeit wird im Vorbeigehen in der Diskussion zwischen Sokrates und dem Sklavenjungen in Platons Dialog mit dem Titel Meno vorweggenommen , in dem Sokrates die eigenen Fähigkeiten des Jungen nutzt, um ein komplexes geometrisches Problem durch die sokratische Methode zu lösen. Er entwickelt einen Beweis, der in jeder Hinsicht sehr euklidisch ist und mit dem Konzept der Inkommensurabilität spricht.

Der Einsatz kommt hauptsächlich von Übersetzungen des Euklid ‚s Elements , in der zwei Liniensegmente a und b sind kommensurabel genau bezeichnet , wenn es ein drittes Segment ist c , das Ende-zu-Ende - eine ganze Zahl von Malen anlegbaren ein Segment kongruent zu erzeugen , zu a und auch mit einer anderen ganzen Zahl ein zu b kongruentes Segment . Euklid verwendete kein Konzept der reellen Zahl, aber er verwendete den Begriff der Kongruenz von Liniensegmenten und davon, dass ein solches Segment länger oder kürzer als ein anderes ist.

Das ein /. b ist rational ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Existenz einer reellen Zahl c und ganzer Zahlen m und n , so dass

a = mc und b = nc .

Unter der Annahme , dass die Einfachheit halben a und b sind positive , kann man sagen , dass ein Lineal , in Einheiten der Länge markiert c , verwendet werden könnte , um sowohl ein auszumessen Liniensegment mit einer Länge a und einer Länge b . Das heißt, es eine gemeinsame Einheit ist Länge in Bezug auf denen ein und b beide gemessen werden kann; Dies ist der Ursprung des Begriffs. Andernfalls wird das Paar a und b sind nicht vergleichbar .

In der Gruppentheorie

In der Gruppentheorie , zwei Subgruppen & Ggr; ₁ und Γ ₂ von einer Gruppe G gesagt werden soll kommensurabel , wenn der Schnittpunkt Γ ₁ ∩ Γ ₂ ist von Finite - Index sowohl Γ ₁ und Γ ₂ .

Beispiel: Sei a und b reelle Zahlen ungleich Null. Dann ist die Untergruppe der reellen Zahlen R , erzeugt durch eine mit der Untergruppe , die durch kommensurabel ist b , wenn und nur wenn die reellen Zahlen a und b kommensurabel sind, in dem Sinne , dass a / b rational ist. Der gruppentheoretische Begriff der Verhältnismäßigkeit verallgemeinert somit das Konzept für reelle Zahlen.

Es gibt einen ähnlichen Begriff für zwei Gruppen, die nicht als Untergruppen derselben Gruppe angegeben sind. Zwei Gruppen G ₁ und G ₂ ist ( abstrakt ) kommensurabel wenn es Untergruppen H ₁ ⊂ G ₁ und H ₂ ⊂ G ₂ endlichen Index derart , dass H ₁ ist isomorph zu H ₂ .

In der Topologie

Zwei wegzusammenhängend topologische Räume sind manchmal gesagt sein kommensurabel wenn sie homeomorphic finite schaligen Überlagerungen . Abhängig von der Art des betrachteten Raums möchte man in der Definition möglicherweise Homotopieäquivalenzen oder Diffeomorphismen anstelle von Homöomorphismen verwenden. Wenn zwei Räume angemessen sind, sind ihre Grundgruppen angemessen.

Beispiel: Zwei beliebige geschlossene Oberflächen der Gattung mindestens 2 sind einander angemessen.

Verweise