Verbundene Summe - Connected sum

In der Mathematik , insbesondere in der Topologie , ist die Operation der verbundenen Summe eine geometrische Modifikation an Verteilern . Seine Wirkung besteht darin, zwei gegebene Mannigfaltigkeiten in der Nähe eines ausgewählten Punktes an jedem Punkt miteinander zu verbinden. Diese Konstruktion spielt eine Schlüsselrolle bei der Klassifizierung geschlossener Flächen .

Allgemeiner kann man auch Verteiler entlang identischer Untervielfalt miteinander verbinden; Diese Verallgemeinerung wird oft als Fasersumme bezeichnet . Es gibt auch einen eng verwandten Begriff einer zusammenhängenden Summe von Knoten , die als Knotensumme oder Zusammensetzung von Knoten bezeichnet wird.

Abbildung der verbundenen Summe.

Verbundene Summe an einem Punkt

Eine zusammenhängende Summe von zwei m- dimensionalen Verteilern ist ein Verteiler, der durch Löschen einer Kugel in jedem Verteiler und Zusammenkleben der resultierenden Grenzkugeln gebildet wird .

Wenn beide Verteiler ausgerichtet sind , gibt es eine eindeutige verbundene Summe, die durch die umgekehrte Ausrichtung der Klebekarte definiert wird. Obwohl die Konstruktion die Wahl der Kugeln verwendet, ist das Ergebnis bis zur Homöomorphie einzigartig . Man kann diese Operation auch in der glatten Kategorie arbeiten lassen , und dann ist das Ergebnis bis zum Diffeomorphismus eindeutig . Im glatten Fall gibt es subtile Probleme: Nicht jeder Diffeomorphismus zwischen den Grenzen der Kugeln ergibt die gleiche zusammengesetzte Mannigfaltigkeit, selbst wenn die Ausrichtungen richtig gewählt werden. Zum Beispiel zeigte Milnor, dass zwei 7-Zellen entlang ihrer Grenze geklebt werden können, so dass das Ergebnis eine exotische Kugel ist, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer 7-Kugel ist.

Allerdings gibt es einen kanonischen Weg , um die Verklebung zu wählen und das gibt eine einzigartige gut angebundenen Summe definiert. Wählen Sie Einbettungen und damit Konserven Orientierung und Rückschlägen Orientierung. Erhalten Sie nun aus der disjunkten Summe ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle i_ {1}: D_ {n} \ rightarrow M_ {1}}$${\ displaystyle i_ {2}: D_ {n} \ rightarrow M_ {2}}$${\ displaystyle i_ {1}}$${\ displaystyle i_ {2}}$${\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$

${\ displaystyle (M_ {1} -i_ {1} (0)) \ sqcup (M_ {2} -i_ {2} (0))}$

durch Identifizieren mit für jeden Einheitsvektor und jeden . Wählen Sie die Ausrichtung, die mit und kompatibel ist . Die Tatsache, dass diese Konstruktion gut definiert ist, hängt entscheidend vom Scheibensatz ab , der überhaupt nicht offensichtlich ist. Weitere Einzelheiten finden Sie unter ${\ displaystyle i_ {1} (tu)}$${\ displaystyle i_ {2} ((1-t) u)}$${\ displaystyle u \ in S ^ {n-1}}$${\ displaystyle 0 <t <1}$${\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$

Die Operation der verbundenen Summe wird bezeichnet mit ; bezeichnet zum Beispiel die verbundene Summe von und . ${\ displaystyle \ #}$${\ displaystyle A \ #B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Die Operation der verbundenen Summe hat die Kugel als Identität ; das heißt, ist homöomorph (oder diffeomorph) zu . ${\ displaystyle S ^ {m}}$${\ displaystyle M \ # S ^ {m}}$${\ displaystyle M}$

Die Klassifizierung von geschlossenen Flächen, ein grundlegenden und historisch signifikanten Ergebnis in der Topologie, heißt es, dass jede geschlossene Fläche als die zusammenhängende Summe einer Kugel mit einem gewissen Zahl ausgedrückt werden kann , von Tori und einer bestimmten Anzahl von realen projektiven Ebenen . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle k}$

Verbundene Summe entlang einer Untervielfalt

Sei und sei zwei glatte, orientierte Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension und eine glatte, geschlossene, orientierte Mannigfaltigkeit, die als Untervielfalt in beide eingebettet ist, und nehme außerdem an, dass es einen Isomorphismus normaler Bündel gibt${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}.}$

${\ displaystyle \ psi: N_ {M_ {1}} V \ bis N_ {M_ {2}} V}$

das kehrt die Ausrichtung auf jeder Faser um. Dann induziert eine orientierungserhalt Diffeomorphismus ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle N_ {1} \ setminus V \ cong N_ {M_ {1}} V \ setminus V \ bis N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ cong N_ {2} \ setminus V,}$

wobei jedes normale Bündel diffeomorph mit einer Nachbarschaft von in und der Karte identifiziert wird ${\ displaystyle N_ {M_ {i}} V}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M_ {i}}$

${\ displaystyle N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ bis N_ {M_ {2}} V \ setminus V}$

ist die orientierungsumkehrende diffeomorphe Involution

${\ displaystyle v \ mapsto v / | v | ^ {2}}$

auf normalen Vektoren . Die verbundene Summe von und entlang ist dann der Raum ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle (M_ {1} \ setminus V) \ bigcup _ {N_ {1} \ setminus V = N_ {2} \ setminus V} (M_ {2} \ setminus V)}$

erhalten durch Zusammenkleben der gelöschten Nachbarschaften durch den orientierungserhaltenden Diffeomorphismus. Die Summe wird oft angegeben

${\ displaystyle (M_ {1}, V) \ # (M_ {2}, V).}$

Sein Diffeomorphismustyp hängt von der Wahl der beiden Einbettungen von und von der Wahl von ab . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ psi}$

Im Grunde genommen enthält jede normale Faser der Untervielfalt einen einzelnen Punkt von , und die verbundene Summe entlang ist einfach die verbundene Summe, wie im vorhergehenden Abschnitt beschrieben, die entlang jeder Faser ausgeführt wird. Aus diesem Grund wird die verbundene Summe häufig als Fasersumme bezeichnet . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Der Sonderfall eines Punktes stellt die verbundene Summe des vorhergehenden Abschnitts wieder her. ${\ displaystyle V}$

Verbundene Summe entlang einer Codimension-Zwei-Untervielfalt

Ein weiterer wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn die Abmessung von zwei kleiner ist als die von . Dann existiert der Isomorphismus normaler Bündel immer dann, wenn ihre Euler-Klassen entgegengesetzt sind: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - e (N_ {M_ {2}} V).}$

Weiterhin ist in diesem Fall die Strukturgruppe der normalen Bündel die Kreisgruppe ; folgt daraus , dass die Wahl der Einbettungen kann kanonisch mit der Gruppe von identifiziert wird homotopy Klassen von Karten aus dem Kreis, die wiederum die erste Integral gleich cohomology Gruppe . Der Diffeomorphismustyp der Summe hängt also von der Wahl und der Wahl des Elements ab . ${\ displaystyle SO (2)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle H ^ {1} (V)}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle H ^ {1} (V)}$

Eine zusammenhängende Summe entlang einer Codimension-Zwei kann auch in der Kategorie der symplektischen Mannigfaltigkeiten ausgeführt werden ; Diese Ausarbeitung wird als symplektische Summe bezeichnet . ${\ displaystyle V}$

Lokaler Betrieb

Die verbundene Summe ist eine lokale Operation auf Verteilern, was bedeutet, dass sie die Summanden nur in einer Nachbarschaft von ändert . Dies impliziert zum Beispiel, dass die Summe auf einem einzelnen Verteiler ausgeführt werden kann , der zwei disjunkte Kopien von enthält , mit dem Effekt, an sich selbst zu kleben . Zum Beispiel erzeugt die verbundene Summe einer Zwei-Kugel an zwei verschiedenen Punkten der Kugel den Zwei-Torus. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$

Verbundene Knotensumme

Es gibt einen eng verwandten Begriff der verbundenen Summe von zwei Knoten. Wenn man einen Knoten lediglich als einen Einverteiler betrachtet, dann ist die verbundene Summe von zwei Knoten nur ihre verbundene Summe als ein eindimensionaler Verteiler. Die wesentliche Eigenschaft eines Knotens ist jedoch nicht seine vielfältige Struktur (unter der jeder Knoten einem Kreis entspricht), sondern seine Einbettung in den Umgebungsraum . Die zusammenhängende Summe von Knoten hat also eine detailliertere Definition, die wie folgt eine genau definierte Einbettung erzeugt.

Betrachten Sie disjunkte planare Projektionen jedes Knotens.

Suchen Sie ein Rechteck in der Ebene, in der ein Seitenpaar Bögen entlang jedes Knotens sind, ansonsten aber von den Knoten getrennt sind.

Verbinden Sie nun die beiden Knoten miteinander, indem Sie diese Bögen aus den Knoten löschen und die Bögen hinzufügen, die das andere Seitenpaar des Rechtecks ​​bilden.

Diese Prozedur führt zur Projektion eines neuen Knotens, einer verbundenen Summe (oder Knotensumme oder Zusammensetzung ) der ursprünglichen Knoten. Damit die zusammenhängende Knotensumme gut definiert ist, muss man orientierte Knoten im 3-Raum berücksichtigen . So definieren Sie die verbundene Summe für zwei orientierte Knoten:

1. Betrachten Sie eine planare Projektion jedes Knotens und nehmen Sie an, dass diese Projektionen disjunkt sind.
2. Suchen Sie ein Rechteck in der Ebene, in der ein Seitenpaar Bögen entlang jedes Knotens sind, ansonsten aber von den Knoten getrennt sind und die Bögen der Knoten an den Seiten des Rechtecks ​​in derselben Richtung um die Grenze des Rechtecks ​​herum ausgerichtet sind .
3. Verbinden Sie nun die beiden Knoten miteinander, indem Sie diese Bögen aus den Knoten löschen und die Bögen hinzufügen, die das andere Seitenpaar des Rechtecks ​​bilden.

Der resultierende verbundene Summenknoten erbt eine Orientierung, die mit den Orientierungen der beiden ursprünglichen Knoten übereinstimmt, und die orientierte Umgebungsisotopieklasse des Ergebnisses ist genau definiert, abhängig nur von den orientierten Umgebungsisotopieklassen der ursprünglichen zwei Knoten.

Bei dieser Operation bilden orientierte Knoten im 3-Raum ein kommutatives Monoid mit einer eindeutigen Primfaktorisierung , mit der wir definieren können, was unter einem Primknoten zu verstehen ist . Der Beweis der Kommutativität kann gesehen werden, indem ein Summand schrumpfen gelassen wird, bis er sehr klein ist, und dann entlang des anderen Knotens gezogen wird. Der Knoten ist die Einheit. Die zwei Kleeblattknoten sind die einfachsten Hauptknoten . Höherdimensionale Knoten können durch Spleißen der Kugeln hinzugefügt werden . ${\ displaystyle n}$

In drei Dimensionen kann der Unknot nicht als die Summe von zwei nicht trivialen Knoten geschrieben werden. Diese Tatsache folgt aus der Additivität der Knotengattung ; Ein weiterer Beweis beruht auf einer unendlichen Konstruktion, die manchmal als Mazur-Schwindel bezeichnet wird . In höheren Dimensionen (mit einer Codimension von mindestens drei) ist es möglich, einen Knoten zu lösen, indem zwei nichttriviale Knoten hinzugefügt werden.

Wenn man die Orientierungen der Knoten nicht berücksichtigt, ist die verbundene Summenoperation für Isotopieklassen von (nicht orientierten) Knoten nicht gut definiert. Um dies zu sehen, betrachten Sie zwei nicht umkehrbare Knoten K, L, die nicht äquivalent sind (als nicht orientierte Knoten); Nehmen wir zum Beispiel die beiden Brezelknoten K = P (3,5,7) und L = P (3,5,9). Lassen Sie K ₊ und K _- sein K mit seinen beiden inäquivalenten Orientierungen, und lassen Sie L ₊ und L _- sein L mit seinen beiden inäquivalenten Orientierungen. Es gibt vier orientierte zusammenhängende Summen, die wir bilden können:

• A = K ₊ # L ₊
• B = K _- # L _-
• C = K ₊ # L _-
• D = K _- # L ₊

Die orientierten Umgebungsisotopieklassen dieser vier orientierten Knoten sind alle unterschiedlich. Und wenn man die Umgebungsisotopie der Knoten ohne Rücksicht auf die Orientierung betrachtet, gibt es zwei unterschiedliche Äquivalenzklassen: { A ~ B } und { C ~ D }. Um zu sehen, dass A und B nicht orientierte Äquivalente sind, beachten Sie einfach, dass beide aus demselben Paar disjunkter Knotenprojektionen wie oben konstruiert sein können, wobei der einzige Unterschied in den Orientierungen der Knoten besteht. In ähnlicher Weise sieht man, dass C und D aus demselben Paar disjunkter Knotenprojektionen konstruiert werden können.

Siehe auch

• Bandsumme
• Hauptzersetzung (3-mannigfaltig)
• Vielfältige Zersetzung
• Satellitenknoten

Weiterführende Literatur

• Robert Gompf : Eine neue Konstruktion symplektischer Mannigfaltigkeiten, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
• William S. Massey, Ein Grundkurs in algebraischer Topologie , Springer-Verlag, 1991. ISBN   0-387-97430-X .

Verweise