Eulers Edelstein -Euler's Gem
Eulersche Gem: Die Polyhedron Formel und die Geburt von Topologie ist ein Buch auf der Formelfür die Euler - Charakteristik der konvexen Polyeder und seine Verbindungen mit der Geschichte der Topologie . Es wurde von David Richeson geschrieben und 2008 von der Princeton University Press mit einer Taschenbuchausgabe im Jahr 2012 veröffentlicht. Es wurde 2010 mit dem Euler-Buchpreis der Mathematical Association of America ausgezeichnet .
Themen
Das Buch ist historisch organisiert, und der Rezensent Robert Bradley unterteilt die Themen des Buches in drei Teile. Der erste Teil behandelt die frühere Geschichte der Polyeder, einschließlich der Werke von Pythagoras , Thales , Euklid und Johannes Kepler , und die Entdeckung einer polyedrischen Version des Gauß-Bonnet-Theorems durch René Descartes (später als äquivalent zu Eulers Formel angesehen). . Es untersucht das Leben von Euler , seine Entdeckung in den frühen 1750er Jahren, dass die Euler-Eigenschaft für alle konvexen Polyeder gleich zwei ist und seine fehlerhaften Versuche, einen Beweis zu erbringen, und schließen mit dem ersten strengen Beweis dieser Identität im Jahre 1794 von Adrien-Marie Legendre , basierend auf Girards Theorem, das den Winkelüberschuss von Dreiecken in der sphärischen Trigonometrie auf ihre Fläche bezieht .
Obwohl Polyeder geometrische Objekte sind, argumentiert Euler's Gem , dass Euler seine Formel entdeckt hat, indem er sie als erster topologisch (als abstrakte Einfallsmuster von Eckpunkten, Flächen und Kanten) und nicht durch ihre geometrischen Abstände und Winkel betrachtet hat. (Dieses Argument wird jedoch durch die Diskussion ähnlicher Ideen in den früheren Arbeiten von Kepler und Descartes untergraben.) Die Geburt der Topologie ist herkömmlicherweise durch einen früheren Beitrag von Euler, seiner Arbeit von 1736 über die sieben Brücken von Königsberg und der Der mittlere Teil des Buches verbindet diese beiden Werke durch die Theorie der Graphen . Es beweist Eulers Formel für planare Graphen eher in einer topologischen als in einer geometrischen Form und erörtert ihre Verwendung, um zu beweisen, dass diese Graphen Eckpunkte von geringem Grad haben , eine Schlüsselkomponente bei Beweisen des Vierfarbensatzes . Es stellt sogar Verbindungen zur kombinatorischen Spieltheorie durch die graphbasierten Spiele von Sprouts und Brussels Sprouts und deren Analyse unter Verwendung der Euler-Formel her.
Im dritten Teil des Buches bewegt sich Bradley von der Topologie der Ebene und der Kugel zu beliebigen topologischen Oberflächen. Für jede Oberfläche sind die Euler-Eigenschaften aller Unterteilungen der Oberfläche gleich, sie hängen jedoch von der Oberfläche ab und sind nicht immer 2. Hier beschreibt das Buch die Arbeit von Bernhard Riemann , Max Dehn und Poul Heegaard zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten , in dem gezeigt wurde, dass die zweidimensionalen topologischen Oberflächen durch ihre Eulereigenschaften und ihre Orientierbarkeit vollständig beschrieben werden können . Weitere in diesem Teil behandelte Themen sind die Knotentheorie und die Euler-Charakteristik von Seifert-Oberflächen , das Poincaré-Hopf-Theorem , das Brouwer-Fixpunkt-Theorem , Betti-Zahlen und Grigori Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung .
Ein Anhang enthält Anweisungen zum Erstellen von Papier- und Seifenblasenmodellen einiger Beispiele aus dem Buch.
Publikum und Empfang
Euler's Gem richtet sich an ein allgemeines Publikum, das sich für mathematische Themen interessiert, mit biografischen Skizzen und Porträts der Mathematiker, die es diskutiert, vielen Diagrammen und visuellen Überlegungen anstelle strenger Beweise und nur wenigen einfachen Gleichungen. Ohne Übungen ist es kein Lehrbuch. Die späteren Teile des Buches können jedoch für Amateure sehr schwierig sein und erfordern zumindest ein Verständnis der Analysis und der Differentialgeometrie auf Bachelor-Niveau . Der Rezensent Dustin L. Jones schlägt außerdem vor, dass die Lehrer ihre Beispiele, intuitiven Erklärungen und historischen Hintergrundmaterialien im Klassenzimmer nützlich finden.
Obwohl der Rezensent Jeremy L. Martin sich darüber beschwert, dass "die Verallgemeinerungen des Buches über mathematische Geschichte und Ästhetik etwas simpel oder sogar einseitig sind", weist er auf einen signifikanten mathematischen Fehler in der Verschmelzung der polaren Dualität mit der Poincaré-Dualität hin und betrachtet die Haltung des Buches In Bezug auf computergestützte Beweise als "unnötig abweisend" kommt er dennoch zu dem Schluss, dass der mathematische Inhalt des Buches "diese gelegentlichen Mängel überwiegt". Dustin Jones bewertet das Buch als "eine einzigartige Mischung aus Geschichte und Mathematik ... einnehmend und unterhaltsam", und Rezensent Bruce Roth nennt es "gut geschrieben und voller interessanter Ideen". Die Rezensentin Janine Daems schreibt: "Es war eine Freude, dieses Buch zu lesen, und ich empfehle es jedem, der keine Angst vor mathematischen Argumenten hat."