Grundlegendes Polygon - Fundamental polygon

In der Mathematik kann für jede kompakte Riemann-Oberfläche der Gattung größer als 0 ein Grundpolygon definiert werden . Es codiert nicht nur die Topologie der Oberfläche durch ihre Grundgruppe, sondern bestimmt auch die Riemann-Oberfläche bis zur konformen Äquivalenz. Nach dem Uniformisierungssatz hat jede kompakte Riemann-Oberfläche einfach eine universelle Abdeckfläche verbunden, die durch genau eine der folgenden Eigenschaften gegeben ist:

• die Riemannsche Sphäre ,
• die komplexe Ebene ,
• die Einheitsscheibe D in äquivalenter Weise die obere Halbebene H .

Im ersten Fall der Gattung Null entspricht die Oberfläche konform der Riemannschen Kugel.

Im zweiten Fall von einer Gattung ist die Oberfläche konform äquivalent zu einem Torus C / Λ für einige Gitter Λ in C . Das Grundpolygon von Λ kann, wenn es als konvex angenommen wird, entweder als Periodenparallelogramm oder als zentral symmetrisches Sechseck angesehen werden, ein Ergebnis, das Fedorov erstmals 1891 bewiesen hat .

Im letzten Fall der Gattung g > 1 entspricht die Riemann-Oberfläche konform H / Γ, wobei Γ eine fuchsianische Gruppe von Möbius-Transformationen ist . Eine grundlegende Domäne für Γ ist durch ein konvexes Polygon für die hyperbolische Metrik auf H gegeben . Diese können durch Dirichlet-Polygone definiert werden und haben eine gerade Anzahl von Seiten. Die Struktur der Grundgruppe Γ kann aus einem solchen Polygon abgelesen werden. Anhand der Theorie der quasikonformalen Abbildungen und der Beltrami-Gleichung kann gezeigt werden, dass es ein kanonisch konvexes Dirichlet-Polygon mit 4 g Seiten gibt, das zuerst von Fricke definiert wurde und der Standarddarstellung von Γ als Gruppe mit 2 g Generatoren a _{1 entspricht} . b ₁ , a ₂ , b ₂ , ..., a _g , b _g und die einzelne Beziehung [ a ₁ , b ₁ ] [ a ₂ , b ₂ ] ⋅⋅⋅ [ a _g , b _g ] = 1, wobei [ a , b ] = a b a ⁻¹ b ⁻¹ .

Jede Riemannsche Metrik auf einem orientierten geschlossenen 2-Verteiler M definiert eine komplexe Struktur auf M , was M zu einer kompakten Riemann-Oberfläche macht. Durch die Verwendung grundlegender Polygone folgt, dass zwei orientierte geschlossene 2-Mannigfaltigkeiten nach ihrer Gattung klassifiziert werden, dh dem halben Rang der abelschen Gruppe Γ / [Γ, Γ], wobei Γ = π ₁ ( M ). Darüber hinaus folgt aus der Theorie der quasikonformalen Abbildungen auch, dass zwei kompakte Riemann-Oberflächen genau dann diffeomorph sind, wenn sie homöomorph sind. Folglich sind zwei geschlossen orientierte 2-Mannigfaltigkeiten genau dann homöomorph, wenn sie diffeomorph sind. Ein solches Ergebnis kann auch mit den Methoden der Differentialtopologie nachgewiesen werden .

Grundlegende Polygone in der ersten Gattung

Parallelogramme und zentral symmetrische Sechsecke

Im Fall der Gattung 1 wird ein grundlegendes konvexes Polygon für die Wirkung durch Translation von Λ = Z a ⊕ Z b auf R ² = C gesucht, wobei a und b linear unabhängig von R sind . (Nach Durchführung einer reellen linearen Transformation von R ² kann bei Bedarf angenommen werden, dass Λ = Z ² = Z + Z i ; für eine Gattung eine Riemann-Oberfläche kann die Form Λ = Z ² = Z + Z angenommen werden ω mit Im ω> 0.) Eine fundamentale Domäne ist durch das Parallelogramm s x + t y für 0 < s , t <1 gegeben, wobei x und y Generatoren von Λ sind.

Wenn C das Innere eines fundamentalen konvexen Polygons ist, dann verschiebt die C + x- Abdeckung R ^2, wenn x über Λ läuft. Daraus folgt, dass die Grenzpunkte von C aus Schnittpunkten C ∩ ( C + x ) gebildet werden. Diese sind kompakt konvexe Mengen in ∂ C und damit entweder Eckpunkten C oder Seiten C . Daraus folgt, dass jede geschlossene Seite von C auf diese Weise geschrieben werden kann. Wenn man mit - x übersetzt , folgt, dass C - ( C - x ) auch eine Seite von C ist . Somit treten Seiten von C in parallelen Paaren gleicher Länge auf. Die Endpunkte von zwei solchen parallelen Segmenten gleicher Länge können so verbunden werden, dass sie sich schneiden und der Schnittpunkt an den Mittelpunkten der Liniensegmente auftritt, die die Endpunkte verbinden. Daraus folgt, dass die Schnittpunkte aller dieser Segmente am gleichen Punkt auftreten. Wenn man diesen Punkt auf den Ursprung übersetzt, folgt daraus, dass das Polygon zentral symmetrisch ist. Das heißt, wenn sich ein Punkt z im Polygon befindet, ist dies auch - z .

Es ist leicht zu sehen, dass Übersetzungen eines zentral symmetrischen konvexen Sechsecks die Ebene tessellieren. Wenn A ein Punkt des Sechsecks ist, wird das Gitter durch die Verschiebungsvektoren AB und AC erzeugt, wobei B und C die beiden Eckpunkte sind, die keine Nachbarn von A und nicht gegenüber von A sind . In der Tat zeigt das zweite Bild, wie das Sechseck dem Parallelogramm entspricht, das durch Verschieben der beiden durch die Segmente AB und AC abgeschnittenen Dreiecke erhalten wird . Ebenso gut zeigt das erste Bild eine andere Möglichkeit, eine Kachelung durch Parallelogramme mit der hexagonalen Kachelung abzugleichen. Wenn der Mittelpunkt des Sechsecks 0 ist und die Eckpunkte in der Reihenfolge a , b , c , - a , - b und - c sind , dann ist Λ die abelsche Gruppe mit den Generatoren a + b und b + c .

Beispiele für grundlegende Polygone, die durch Parallelogramme erzeugt werden

Es gibt genau vier Topologien, die erstellt werden können, indem die Seiten eines Parallelogramms auf unterschiedliche Weise identifiziert werden (unten als Quadrate dargestellt):

Kugel

Echte projektive Ebene

Klein Flasche

Torus

• Kugel : oder${\ displaystyle AA ^ {- 1}}$${\ displaystyle ABB ^ {- 1} A ^ {- 1}}$
• Reale projektive Ebene : oder${\ displaystyle AA}$${\ displaystyle ABAB}$
• Klein Flasche : oder${\ displaystyle ABAB ^ {- 1}}$${\ displaystyle AABB}$
• Torus : oder${\ displaystyle ABA ^ {- 1} B ^ {- 1}}$${\ displaystyle ABCA ^ {- 1} B ^ {- 1} C ^ {- 1}}$

Fedorovs Theorem

Fedorovs Theorem , das 1891 vom russischen Kristallographen Evgraf Fedorov aufgestellt wurde, besagt , dass Parallelogramme und zentral symmetrische Sechsecke die einzigen konvexen Polygone sind, die grundlegende Domänen sind. Es gibt mehrere Beweise dafür, einige der neueren beziehen sich auf Ergebnisse der Konvexitätstheorie , die Geometrie von Zahlen und die Kreispackung , wie die Brunn-Minkowski-Ungleichung . Zwei elementare Beweise von HSM Coxeter und Voronoi werden hier vorgestellt.

Coxeters Beweis geht davon aus, dass es ein zentral symmetrisches konvexes Polygon C mit 2 m Seiten gibt. Dann wird ein großes geschlossenes Parallelogramm, das aus N ² fundamentalen Parallelogrammen gebildet wird, durch Übersetzungen von C gekachelt, die über die Ränder des großen Parallelogramms hinausgehen. Dies führt zu einer Kachelung des Torus C / N Λ. Sei v , e und f die Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen in dieser Kachelung (unter Berücksichtigung der Identifikationen im Quotientenraum). Dann, weil die Euler-Poincaré-Charakteristik eines Torus Null ist,

${\ displaystyle v-e + f = 0.}$

Da sich jeder Scheitelpunkt an mindestens 3 verschiedenen Kanten befindet und jede Kante zwischen zwei Scheitelpunkten liegt,

${\ displaystyle 3v \ leq 2e.}$

Da sich jede Kante auf genau zwei Flächen befindet,

${\ displaystyle 2e = 2mf.}$

Daher

${\ displaystyle mf = e \ leq 3 (ev) = 3f.}$

damit

${\ displaystyle m \ leq 3,}$

nach Bedarf.

Voronois Beweis beginnt mit der Beobachtung, dass jede Kante von C einem Element x von Λ entspricht. Tatsächlich ist die Kante die orthogonale Winkelhalbierende des Radius von 0 bis x . Daher liegt der Fuß der Senkrechten von 0 zu jeder Kante im Inneren jeder Kante. Wenn y ein Gitterpunkt ist, kann 1/2 y nicht in C liegen ; denn wenn ja, würde –1/2 y auch in C liegen , was widerspricht, dass C eine fundamentale Domäne für Λ ist. Sei ± x ₁ , ..., ± x _m die 2 m unterschiedlichen Punkte von Λ, die den Seiten von C entsprechen . Fix Generatoren a und b von Λ. Somit ist x _i = α _i a + β _i b , wobei α _i und β _i ganze Zahlen sind. Es ist nicht möglich, dass sowohl α _i als auch β _i gerade sind, da andernfalls ± 1/2 x _i ein Punkt von Λ auf einer Seite wäre, was widerspricht, dass C eine fundamentale Domäne ist. Es gibt also drei Möglichkeiten für das Paar von ganzen Zahlen (α _i , β _i ) Modulo 2: (0,1), (1,0) und (1,1). Wenn also m > 3 wäre, gäbe es x _i und x _j mit i ≠ j, wobei beide Koordinaten von x _i - x _j gerade sind, dh 1/2 ( x _i + x _j ) liegt in Λ. Dies ist jedoch der Mittelpunkt des Liniensegments, das zwei innere Kantenpunkte verbindet, und liegt daher in C , dem Inneren des Polygons. Dies widerspricht wiederum der Tatsache, dass C eine fundamentale Domäne ist. Also reductio ad absurdum m ≤ 3, wie behauptet.

Dirichlet-Voronoi-Domänen

Für ein Gitter Λ in C = R ² kann eine fundamentale Domäne kanonisch unter Verwendung der konformen Struktur von C definiert werden . Es ist zu beachten, dass die Gruppe der konformen Transformationen von C durch komplexe affine Transformationen g ( z ) = az + b mit a ≠ 0 gegeben ist . Diese Transformationen bewahren die euklidische Metrik d ( z , w ) = | z - w | bis zu einem Faktor, sowie die Orientierung zu bewahren. Es ist die Untergruppe der Möbius-Gruppe, die den Punkt auf ∞ festlegt. Die metrische Struktur kann verwendet werden, um eine kanonische Grunddomäne durch C = { z : d ( z , 0) < d ( z , λ ) für alle λ ≠ 0 in Λ} zu definieren. (Aus der Definition geht hervor, dass es sich um eine grundlegende Domäne handelt.) Dies ist ein Beispiel für eine Dirichlet-Domäne oder ein Voronoi-Diagramm : Da komplexe Übersetzungen eine abelsche Gruppe bilden, pendeln Sie mit der Aktion von Λ, stimmen diese Konzepte überein. Die kanonische Grunddomäne für Λ = Z + Z ω mit Im ω > 0 ist entweder ein symmetrisches konvexes Parallelogramm oder ein Sechseck mit Zentrum 0. Durch konforme Äquivalenz kann die Periode ω weiter eingeschränkt werden, um | zu erfüllen Re ω | ≤ 1/2 und | ω | ≥ 1 . Wie Dirichlet zeigte ("Dirichlet's Hexagon Theorem", 1850), ist für fast alle ω die fundamentale Domäne ein Hexagon. Für Re ω > 0 sind die Mittelpunkte der Seiten gegeben durch ± 1/2, ± ω / 2 und ± ( ω - 1) / 2 ; Die Seiten halbieren die entsprechenden Radien orthogonal von 0, wodurch die Eckpunkte vollständig bestimmt werden. Tatsächlich muss der erste Scheitelpunkt die Form (1 + ix ) / 2 und ω (1 + iy ) / 2 mit x und y real haben; Wenn also ω = a + ib ist , dann ist a - by = 1 und x = b + ay . Daher ist y = ( a - 1) / b und x = ( a ² + b ² - a ) / b . Die sechs Eckpunkte sind daher ± ω (1 - iy ) / 2 und ± (1 ± ix ) / 2 .

Grundlegende Polygone in höheren Gattungen

Überblick

Jede kompakte Riemann-Oberfläche X hat eine universelle Deckfläche, die eine einfach verbundene Riemann-Oberfläche X ist . Die Grundgruppe von X fungiert als Decktransformation von X und kann mit einer Untergruppe Γ der Gruppe der Biholomorphismen von X identifiziert werden . Die Gruppe Γ wirkt somit frei auf X mit dem kompakten Quotientenraum X / Γ, der mit X identifiziert werden kann . Somit kann die Klassifizierung kompakter Riemann-Oberflächen auf die Untersuchung möglicher Gruppen Γ reduziert werden. Nach dem Uniformisierungssatz ist X entweder die Riemannsche Kugel, die komplexe Ebene oder die Einheitsscheibe / obere Halbebene. Die erste wichtige Invariante einer kompakten Riemann-Oberfläche ist ihre Gattung , eine topologische Invariante, die durch die Hälfte des Ranges der abelschen Gruppe Γ / [Γ, Γ] gegeben ist (die mit der Homologiegruppe H ₁ ( X , Z ) identifiziert werden kann ). Die Gattung ist Null, wenn der Deckraum die Riemannsche Kugel ist; eine, wenn es die komplexe Ebene ist; und größer als eins, wenn es sich um die Einheitsscheibe oder die obere Halbebene handelt.

Bihomolomorphismen der Riemannschen Kugel sind nur komplexe Möbius-Transformationen, und jede Nichtidentitätstransformation hat mindestens einen festen Punkt, da die entsprechende komplexe Matrix immer mindestens einen Nicht-Null-Eigenvektor hat. Wenn also X die Riemann-Kugel ist, muss X einfach mit der Riemann-Kugel, der Riemann-Oberfläche der Gattung Null, verbunden und biholomorph sein . Wenn X die komplexe Ebene ist, ist die Gruppe der Biholomorphismen die affine Gruppe, wobei die komplexen Möbius-Transformationen ∞ fixieren, sodass die Transformationen g ( z ) = az + b mit a ≠ 0 sind . Die Nichtidentitätstransformationen ohne Fixpunkte sind nur diejenigen mit a = 1 und b ≠ 0 , dh die Nicht-Null-Übersetzungen. Die Gruppe Γ kann somit mit einem Gitter Λ in C und X mit einem Quotienten C / Λ identifiziert werden , wie im Abschnitt über grundlegende Polygone in Gattung 1 beschrieben. Im dritten Fall, wenn X die Einheitsscheibe oder die obere Halbebene ist, besteht die Gruppe der Biholomorphismen aus den komplexen Möbius-Transformationen, die den Einheitskreis oder die reale Achse fixieren. Im ersteren Fall entsprechen die Transformationen Elementen der Gruppe SU (1, 1) / {± I }; im letzteren Fall entsprechen sie realen Möbius-Transformationen, also Elementen von SL (2, R ) / {± I }.

Die Untersuchung und Klassifizierung möglicher Gruppen Γ, die mit kompaktem Quotienten frei auf die Einheitsscheibe oder die obere Halbebene wirken - die Fuchsschen Gruppen der ersten Art - kann durch Untersuchung ihrer grundlegenden Polygone erreicht werden, wie nachstehend beschrieben. Wie Poincaré feststellte, hat jedes dieser Polygone besondere Eigenschaften, nämlich es ist konvex und weist eine natürliche Paarung zwischen seinen Seiten auf. Diese ermöglichen nicht nur die Wiederherstellung der Gruppe, sondern bieten auch eine explizite Darstellung der Gruppe durch Generatoren und Beziehungen. Umgekehrt hat Poincaré bewiesen, dass aus einem solchen Polygon eine kompakte Riemann-Oberfläche entsteht. Tatsächlich galt Poincarés Polygonsatz auf allgemeinere Polygone, bei denen das Polygon ideale Eckpunkte haben durfte, aber sein Beweis war nur im kompakten Fall ohne solche Eckpunkte vollständig. Ohne Annahmen über die Konvexität des Polygons wurden von Maskit und de Rham vollständige Beweise auf der Grundlage einer Idee von Siegel geliefert , die in Beardon (1983) , Iversen (1992) und Stillwell (1992) zu finden sind . Carathéodory gab eine elementare Behandlung der Existenz von Tessellationen durch Schwarz-Dreiecke , dh Kacheln durch geodätische Dreiecke mit Winkeln π / a , π / b , π / c mit einer Summe von weniger als π, wobei a , b , c ganze Zahlen sind. Wenn alle Winkel gleich π / 2 g sind , wird die Kachelung durch reguläre 4g- seitige hyperbolische Polygone und damit die Existenz einer bestimmten kompakten Riemann-Oberfläche der Gattung g als Quotientenraum hergestellt. Dieses spezielle Beispiel, das eine cyclische Gruppe Z _{2 g} bihomolomorpher Symmetrien aufweist, wird in der folgenden Entwicklung verwendet.

Die Klassifizierung bis zum Homöomorphismus und Diffeomorphismus kompakter Riemann-Oberflächen impliziert die Klassifizierung geschlossener orientierbarer 2-Mannigfaltigkeiten bis hin zum Homöomorphismus und Diffeomorphismus: Zwei beliebige 2-Mannigfaltigkeiten mit derselben Gattung sind diffeomorph. Tatsächlich lässt jede geschlossene orientierbare 2-Mannigfaltigkeit unter Verwendung einer Teilung der Einheit eine Riemannsche Metrik zu . Für eine kompakte Riemann-Oberfläche kann auch eine konforme Metrik eingeführt werden, die konform ist, so dass die Metrik in holomorphen Koordinaten die Form ρ ( z ) | annimmt dz | ² . Sobald diese Metrik ausgewählt wurde, sind lokal biholomorphe Abbildungen genau orientierungserhaltende Diffeomorphismen, die konform sind, dh die Metrik durch eine glatte Funktion skalieren. Die Existenz isothermer Koordinaten , die entweder mit lokalen Existenzsätzen für die Laplace- oder die Beltrami-Gleichung bewiesen werden können, zeigt, dass jeder geschlossen orientierten Riemannschen 2-Mannigfaltigkeit eine komplexe Struktur gegeben werden kann, die mit ihrer Metrik kompatibel ist und daher die Struktur von a hat kompakte Riemann-Oberfläche. Diese Konstruktion zeigt, dass die Klassifizierung geschlossener orientierbarer 2-Mannigfaltigkeiten bis hin zu Diffeomorphismus oder Homöomorphismus auf den Fall kompakter Riemann-Oberflächen reduziert werden kann.

Die Klassifizierung bis zum Homöomorphismus und Diffeomorphismus kompakter Riemann-Oberflächen kann unter Verwendung des Grundpolygons erreicht werden. Wie Poincaré beobachtete, können konvexe Grundpolygone für kompakte Riemann-Oberflächen H / Γ konstruiert werden, indem die Methode Dirichlet vom euklidischen Raum an den hyperbolischen Raum angepasst wird. Nach Nevanlinna und Jost kann die Grunddomäne schrittweise modifiziert werden, um ein nicht konvexes Polygon mit Eckpunkten zu erhalten, die in einer einzelnen Umlaufbahn von Γ und stückweise geodätischen Seiten liegen. Die Paarungsbeziehung an den Seiten wird in jedem dieser Schritte ebenfalls geändert. Bei jedem Schritt wird das Polygon durch ein diagonales geodätisches Segment im Inneren des Polygons geschnitten und das Polygon mithilfe einer der an der Paarung beteiligten Möbius-Transformationen wieder zusammengesetzt. Keine zwei gepaarten Seiten können einen gemeinsamen Scheitelpunkt in der endgültigen Paarungsbeziehung haben, der ähnliche Eigenschaften wie die ursprüngliche Beziehung erfüllt. Dieses Polygon kann wiederum sukzessive modifiziert werden, indem das Polygon wieder zusammengesetzt wird, nachdem es durch ein diagonales stückweises geodätisches Segment in seinem Inneren geschnitten wurde. Das endgültige Polygon hat 4 g äquivalente Eckpunkte mit stückweise geodätischen Seiten. Die Seiten sind durch die Gruppenelemente gekennzeichnet, die der gepaarten Seite die Möbius-Transformation verleihen. In der Reihenfolge ist die Kennzeichnung

${\ displaystyle a_ {1}, b_ {1}, a_ {1} ^ {- 1}, b_ {1} ^ {- 1}, \ dots, a_ {g}, b_ {g}, a_ {g} ^ {- 1}, b_ {g} ^ {- 1},}$

so dass Γ durch das a _i und b _i erzeugt wird, die der einzelnen Beziehung unterliegen

${\ displaystyle a_ {1} b_ {1} a_ {1} ^ {- 1} b_ {1} ^ {- 1} \ cdots a_ {g} b_ {g} a_ {g} ^ {- 1} b_ { g} ^ {- 1} = 1.}$

• 

  Gattung Null Oberfläche (Kugel)

• 

  Gattung eine Oberfläche (Torus)

• 

  Gattung zwei Oberfläche

• 

  Gattung drei Oberfläche

Unter Verwendung der Theorie der Schnittzahlen folgt, dass die Form, die durch Verbinden von Eckpunkten durch Geodäten erhalten wird, auch ein geeignetes Polygon ist, das nicht unbedingt konvex ist, und auch eine grundlegende Domäne mit denselben Gruppenelementen ist, die die Paarung ergeben. Dies ergibt ein grundlegendes Polygon mit Kanten, die durch geodätische Segmente gegeben sind, und mit der Standardbeschriftung. Die Abelianisierung von Γ, der Quotientengruppe Γ / [Γ, Γ] , ist eine freie abelsche Gruppe mit 2 g Generatoren. Somit ist die Gattung g eine topologische Invariante. Es ist leicht zu erkennen, dass zwei Riemann-Oberflächen mit derselben Gattung homöomorph sind, da sie als topologischer Raum erhalten werden, indem sie durch Identifizieren von Seiten eines 4 g- seitigen Polygons - eines euklidischen Polygons im Klein-Modell - durch Diffeomorphismen zwischen gepaarten Seiten erhalten werden. Durch Anwendung dieser Konstruktion auf das reguläre 4 g- seitige Polygon kann die Riemann-Oberfläche topologisch als Donut mit g- Löchern betrachtet werden, die Standardbeschreibung orientierter Oberflächen in Einführungstexten zur Topologie.

Es gibt mehrere weitere Ergebnisse:

• Zwei homöomorphe Riemann-Oberflächen sind diffeomorph.
• Jedes konvexe Grundpolygon in der Gattung g hat N Eckpunkte, wobei 4 g ≤ N ≤ 12 g - 6 sind.
• Ein Dirichlet-Polygon in der Gattung g hat genau 12 g - 6 Eckpunkte für eine dichte offene Menge von Zentren.
• Jede Gattung g Riemann Oberfläche einen Fricke Fundamentalpolygon, also ein konvexes Polygon mit kanonischer Paarung zwischen Seiten. (Das Polygon muss nicht unbedingt ein Dirichlet-Polygon sein.)
• Nach einer geeigneten Normalisierung und Kennzeichnung der Generatoren der Grundgruppe wird das Fricke-Polygon eindeutig bestimmt und die 6 g - 6 reellen Parameter, die es beschreiben, können als globale reelle analytische Parameter für den Teichmüller-Raum in der Gattung g verwendet werden .

Diese Ergebnisse hängen mit der Wechselbeziehung zwischen Homöomorphismen und der Grundgruppe zusammen: Dies spiegelt die Tatsache wider, dass die Mapping-Klassengruppe einer Riemann-Oberfläche - die Gruppe der quasikonformalen Selbsthomomorphismen einer Riemann-Oberfläche H / Γ modulo jene Homotope zur Identität - kann mit der äußeren Automorphismusgruppe von Γ (dem Dehn-Nielsen-Baer-Theorem ) identifiziert werden . Um diesen Zusammenhang zu sehen, ist zu beachten, dass wenn f ein quasikonformer Homöomorphismus von X ₁ = H / Γ ₁ auf X ₂ = H / Γ _{2 ist} , f zu einem quasikonformalen Homöomorphismus f von H auf sich selbst aufsteigt. Dieser Lift ist bis zur Vorkomposition mit Elementen von Γ ₁ und nach der Komposition mit Elementen von Γ ₂ einzigartig . Wenn π _i die Projektion von H auf X _{i ist} , dann ist f ∘ π ₁ = π ₂ ∘ f und Γ _i ist nur die Gruppe der Homöomorphismen g von H, so dass π _i ∘ g = π _{i ist} . Wenn folgt, dass f g = θ ( g ) f für g in Γ _{1 ist,} wobei θ ein Gruppenisomorphismus von Γ ₁ auf Γ _{2 ist} . Eine andere Wahl von f ändert θ durch Zusammensetzung mit einem inneren Automorphismus: Solche Isomorphismen werden als äquivalent bezeichnet .

Zwei Isomorphismen θ und θ 'sind genau dann äquivalent, wenn die entsprechenden Homöomorphismen f und f ' homotop sind. Tatsächlich genügt es zu zeigen, dass ein quasikonformer Selbsthomöomorphismus f einer Oberfläche genau dann einen inneren Automorphismus der Grundgruppe induziert, wenn er zur Identitätskarte homotop ist: mit anderen Worten der Homomorphismus der quasikonformalen Selbsthomöomorphismusgruppe von H. / Γ in Out Γ wird an die Mapping-Klassengruppe übergeben, für die es injektiv ist. Nehmen wir zunächst an, dass F ( t ) ein kontinuierlicher Pfad von Selbsthomöomorphismen mit F (0) = id und F (1) = f ist . Dann gibt es einen kontinuierlichen Auftrieb F ( t ) mit F (0) = id. Darüber hinaus ist für jedes g in Γ F ( t ) ∘ g ∘ F ( t ) ⁻¹ ein sich kontinuierlich änderndes Element von Γ gleich g für t = 0 ; Die Diskretion von Γ zwingt dieses Element dazu, konstant und damit gleich g zu sein, so dass F ( t ) mit Γ pendelt, so dass F (1) den trivialen Automorphismus induziert. Wenn andererseits F ein quasikonformer Auftrieb von f ist , der einen inneren Automorphismus von Γ induziert, kann nach der Zusammensetzung mit einem Element Γ, falls erforderlich, angenommen werden, dass F mit Γ pendelt. Da F quasikonform ist, erstreckt es sich auf einen quasisymmetrischen Homöomorphismus des Kreises, der auch mit Γ pendelt. Jede g ≠ id in Γ hyperbolisch so hat zwei feste Punkte auf dem Kreis a _± , so dass für alle anderen Punkte z , g ^{± n} ( z ) dazu , zu einer _± wie n gegen Unendlich. Daher muss F diese Punkte festlegen; Da diese Punkte im Kreis dicht sind, wenn g variiert, folgt, dass F den Einheitskreis festlegt. Sei μ = F _z / F _z , so dass μ ein Γ-invariantes Beltrami-Differential ist. Sei F ( t ) die Lösung der normalisierten Beltrami-Gleichung tμ , um drei Punkte auf dem Einheitskreis zu fixieren. Dann pendelt F ( t ) mit Γ und so ist wie bei F = F (1) die Identität auf dem Einheitskreis. Durch die Konstruktion F ( t ) ist eine Isotopie zwischen der Identität und F . Dies beweist die Injektivität.

Der Beweis der Surjektivität beruht auf dem Vergleich der hyperbolischen Metrik für D mit einer Wortlängenmetrik für Γ. Unter der Annahme , mit aus der Allgemeinheit , dass 0 liegt im Innern eines konvexen Vielecks fundamentalen C und g ein Element von Γ, der Strahl von 0 bis g (0) -Die hyperbolischen geodätischen-durchläuft eine Reihe von Translationen von C . Jedes von diesen wird aus dem vorherigen erhalten, indem ein Generator von Γ oder ein festes Produkt von Generatoren angewendet wird (wenn aufeinanderfolgende Übersetzungen sich in einem Scheitelpunkt treffen). Daraus folgt, dass der hyperbolische Abstand zwischen 0 und g (0) weniger als das 4 g- fache der Wortlänge von g plus dem doppelten Durchmesser des Grundpolygons beträgt . Somit erfüllt die durch die Wortlänge L ( g ) definierte Metrik für Γ d ₁ ( g , h ) = L ( h - ¹ g )

${\ Anzeigestil d (g (0), h (0)) \ leq a \, d_ {1} (g, h) + b}$

für positive Konstanten a und b . Umgekehrt gibt es positive Konstanten c und d, so dass

${\ displaystyle d_ {1} (g, h) \ leq c \, d (g (0), h (0)) + d.}$

Dirichlet-Polygone

Bei einem Punkt in der oberen Halbebene H und einer diskreten Untergruppe Γ von PSL (2, R ) , die auf der oberen Halbebene frei diskontinuierlich wirkt , kann man das Dirichlet-Polygon als Punktmenge definieren ${\ displaystyle z_ {0}}$

${\ displaystyle F = \ {z \ in \ mathbf {H}: d (z, z_ {0}) <d (z, gz_ {0}) \; \; \ forall g \ in \ Gamma, g \ neq 1 \}}$

Hier ist d eine hyperbolische Metrik in der oberen Halbebene. Das metrische Grundpolygon wird üblicherweise als Dirichlet-Polygon bezeichnet .

• Dieses grundlegende Polygon ist eine grundlegende Domäne .
• Dieses grundlegende Polygon ist insofern konvex , als die geodätische Verbindung zweier beliebiger Punkte des Polygons vollständig im Polygon enthalten ist.
• Der Durchmesser von F ist kleiner oder gleich dem Durchmesser von H / Γ. Insbesondere ist der Verschluss von F kompakt.
• Wenn Γ keine festen Punkte in H hat und H / Γ kompakt ist, hat F endlich viele Seiten.
• Jede Seite des Polygons ist ein geodätischer Bogen.
• Für jede Seite s des Polygons gibt es genau eine andere Seite s ', so dass für einige g in Γ gs = s ' ist . Somit hat dieses Polygon eine gerade Anzahl von Seiten.
• Die Menge der Gruppenelemente g , die Seiten miteinander verbinden, sind Generatoren von Γ, und es gibt keine kleinere Menge, die Γ erzeugt.
• Die obere Halbebene wird durch das Schließen von F unter der Wirkung von Γ gekachelt . Das heißt, wo ist die Schließung von F .${\ displaystyle H = \ cup _ {g \ in \ Gamma} \, g {\ overline {F}}}$${\ displaystyle {\ overline {F}}}$

Normalisiertes Polygon

In diesem Abschnitt wird ausgehend von einem beliebigen Dirichlet-Polygon eine Beschreibung der in Jost (2002) ausgearbeiteten Methode von Nevanlinna (1955) zur Modifizierung des Polygons zu einem nicht konvexen Polygon mit 4 g äquivalenten Eckpunkten und einem Kanonischen gegeben Paarung an den Seiten. Diese Behandlung ist ein analytisches Gegenstück zur klassischen topologischen Klassifikation orientierbarer zweidimensionaler Polyeder, die in Seifert & Threlfall (1934) vorgestellt wurde . Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFNevanlinna1955 ( Hilfe )

Fricke kanonisches Polygon

Bei einer Riemannschen Oberfläche der Gattung g größer als eins beschrieb Fricke ein weiteres grundlegendes Polygon, das kanonische Fricke-Polygon , das ein ganz besonderes Beispiel für ein Dirichlet-Polygon darstellt. Das Polygon bezieht sich auf die Standarddarstellung der Grundgruppe der Oberfläche. Frickes ursprüngliche Konstruktion ist kompliziert und in Fricke & Klein (1897) beschrieben . Unter Verwendung der Theorie der quasikonformalen Abbildungen von Ahlfors und Bers gab Keen (1965) eine neue, kürzere und präzisere Version von Frickes Konstruktion. Das kanonische Fricke-Polygon hat folgende Eigenschaften:

• Die Eckpunkte des Fricke-Polygons haben 4 g Eckpunkte, die alle in einer Umlaufbahn von Γ liegen. Mit Scheitelpunkt ist der Punkt gemeint, an dem sich zwei Seiten treffen.
• Die Seiten sind paarweise aufeinander abgestimmt, so dass es ein einzigartiges Element von Γ gibt, das eine Seite zur gepaarten Seite trägt und die Ausrichtung umkehrt. Da die Wirkung von Γ orientierungserhaltend ist, kann, wenn eine Seite aufgerufen wird , die andere des Paares mit der entgegengesetzten Orientierung markiert werden .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {- 1}}$
• Die Kanten des Standardpolygons können so angeordnet werden, dass die Liste der benachbarten Seiten die Form annimmt . Das heißt, Seitenpaare können so angeordnet werden, dass sie sich auf diese Weise verschachteln.${\ displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} \ cdots A_ {g} B_ {g} A_ {g} ^ {- 1} B_ {g} ^ {- 1}}$
• Die Seiten sind geodätische Bögen.
• Jeder der Innenwinkel des Fricke-Polygons ist streng kleiner als π , so dass das Polygon streng konvex ist und die Summe dieser Innenwinkel 2 π beträgt .

Die obige Konstruktion reicht aus, um sicherzustellen, dass jede Seite des Polygons eine geschlossene (nicht triviale) Schleife in der Riemannschen Oberfläche H / Γ ist. Als solche kann jede Seite somit ein Element der Grundgruppe sein . Insbesondere hat die Grundgruppe 2 g Generatoren mit genau einer definierenden Einschränkung. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {H} / \ Gamma) \ equiv \ Gamma}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {H} / \ Gamma)}$${\ displaystyle A_ {1}, B_ {1}, A_ {2}, B_ {2}, \ cdots A_ {g}, B_ {g}}$

${\ displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} \ cdots A_ {g} B_ {g} A_ {g} ^ {- 1} B_ {g} ^ {- 1} = 1}$.

Die Gattung der Riemannschen Oberfläche H / Γ ist g .

Bereich

Die Fläche des Standardgrundpolygons ist dort, wo g die Gattung der Riemannschen Oberfläche ist (äquivalent, wobei 4 g die Anzahl der Seiten des Polygons ist). Da das Standardpolygon ein Vertreter von H / Γ ist, entspricht die Gesamtfläche der Riemannschen Fläche der Fläche des Standardpolygons. Die Flächenformel folgt aus dem Gauß-Bonnet-Theorem und wird in gewissem Sinne durch die Riemann-Hurwitz-Formel verallgemeinert . ${\ displaystyle 4 \ pi (g-1)}$

Explizite Form für Standardpolygone

Explizite Ausdrücke können für das reguläre Standard-4 g- seitige Polygon mit Rotationssymmetrie angegeben werden. In diesem Fall, der einer Gattung Riemann-Oberfläche mit g- facher Rotationssymmetrie, kann die Gruppe durch Generatoren angegeben werden . Diese Generatoren sind durch die folgenden gebrochenen linearen Transformationen gegeben, die auf die obere Halbebene wirken : ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 2g}$${\ displaystyle a_ {k}}$

${\ displaystyle a_ {k} = \ left ({\ begin {matrix} \ cos k \ alpha & - \ sin k \ alpha \\\ sin k \ alpha & \ cos k \ alpha \ end {matrix}} \ right ) \ left ({\ begin {matrix} e ^ {p} & 0 \\ 0 & e ^ {- p} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ cos k \ alpha & \ sin k \ alpha \\ - \ sin k \ alpha & \ cos k \ alpha \ end {matrix}} \ right)}$

für . Die Parameter sind gegeben durch ${\ displaystyle 0 \ leq k <2g}$

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {4g}} \ left (2g-1 \ ​​right)}$

und

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ pi} {4g}}}$

und

${\ displaystyle p = \ ln {\ frac {\ cos \ beta + {\ sqrt {\ cos 2 \ beta}}} {\ sin \ beta}}}$

Es kann überprüft werden, ob diese Generatoren die Einschränkung erfüllen

${\ displaystyle a_ {0} a_ {1} \ cdots a_ {2g-1} a_ {0} ^ {- 1} a_ {1} ^ {- 1} \ cdots a_ {2g-1} ^ {- 1} = 1}$

Dies gibt die Gesamtheit der Gruppenpräsentation .

Siehe auch

• Cayley-Diagramm
• Euklidische Domäne
• Voronoi-Diagramm

Anmerkungen

Verweise

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