Kleinflasche - Klein bottle

In Topologie , ein Zweig der Mathematik , die Klein - Flasche ( / k l aɪ n / ) ist ein Beispiel einer nicht-orientierbare Oberfläche ; es ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, gegen die ein System zur Bestimmung eines Normalenvektors nicht konsistent definiert werden kann. Informell ist es eine einseitige Oberfläche, die, wenn sie befahren wird, bis zum Ausgangspunkt zurückverfolgt werden könnte, während der Reisende auf den Kopf gestellt wird. Andere verwandte nicht-orientierbare Objekte sind der Möbiusstreifen und die reale projektive Ebene . Während ein Möbius-Streifen eine Fläche mit Begrenzung ist , hat eine Klein-Flasche keine Begrenzung. Zum Vergleich: Eine Kugel ist eine orientierbare Fläche ohne Begrenzung.

Die Klein-Flasche wurde erstmals 1882 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben .

Konstruktion

Das folgende Quadrat ist ein Grundpolygon der Kleinschen Flasche. Die Idee ist, die entsprechenden roten und blauen Kanten mit den übereinstimmenden Pfeilen zusammenzukleben, wie in den Abbildungen unten. Beachten Sie, dass dies eine "abstrakte" Verklebung in dem Sinne ist, dass der Versuch, dies in drei Dimensionen zu realisieren, zu einer sich selbst schneidenden Klein-Flasche führt.

Um die Klein-Flasche zu konstruieren, kleben Sie die roten Pfeile des Quadrats zusammen (linke und rechte Seite), so dass ein Zylinder entsteht. Um die Enden des Zylinders so zusammenzukleben, dass die Pfeile auf den Kreisen übereinstimmen, würde man ein Ende durch die Seite des Zylinders führen. Dadurch entsteht ein Kreis der Selbstüberschneidung – das ist ein Eintauchen der Klein-Flasche in drei Dimensionen.

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Dieses Eintauchen ist nützlich, um viele Eigenschaften der Klein-Flasche zu visualisieren. Zum Beispiel hat die Klein-Flasche keine Grenze , wo die Oberfläche abrupt aufhört, und sie ist nicht orientierbar , was sich in der Einseitigkeit des Eintauchens widerspiegelt.

Das übliche physikalische Modell einer Klein-Flasche ist eine ähnliche Konstruktion. Das Science Museum in London zeigt eine Sammlung mundgeblasener Kleinflaschen aus Glas, die viele Variationen dieses topologischen Themas zeigt. Die Flaschen stammen aus dem Jahr 1995 und wurden von Alan Bennett für das Museum hergestellt.

Die Klein-Flasche schneidet sich selbst nicht. Nichtsdestotrotz gibt es eine Möglichkeit, die Klein-Flasche als in vier Dimensionen enthalten zu visualisieren. Durch Hinzufügen einer vierten Dimension zum dreidimensionalen Raum kann die Selbstüberschneidung eliminiert werden. Schieben Sie vorsichtig ein Stück des Rohres, das den Schnittpunkt enthält, entlang der vierten Dimension aus dem ursprünglichen dreidimensionalen Raum. Eine nützliche Analogie besteht darin, eine sich selbst schneidende Kurve in der Ebene zu betrachten; Selbstüberschneidungen können eliminiert werden, indem ein Strang aus der Ebene herausgehoben wird.

Nehmen wir zur Verdeutlichung an, dass wir die Zeit als diese vierte Dimension annehmen. Überlegen Sie, wie die Figur im xyzt- Raum konstruiert werden könnte . Die begleitende Illustration ("Zeitentwicklung...") zeigt eine nützliche Entwicklung der Figur. Bei t = 0 sprießt die Wand aus einer Knospe irgendwo in der Nähe des "Schnittpunkts". Nachdem die Figur eine Weile gewachsen ist, beginnt sich der früheste Abschnitt der Mauer zurückzuziehen, verschwindet wie die Grinsekatze , hinterlässt aber ihr immer breiter werdendes Lächeln. Wenn die Wachstumsfront dort ankommt, wo die Knospe war, gibt es dort nichts zu kreuzen und das Wachstum vervollständigt sich, ohne die bestehende Struktur zu durchdringen. Die definierte 4-Figur kann im 3-Raum nicht existieren, ist aber im 4-Raum leicht zu verstehen.

Formaler ausgedrückt ist die Kleinsche Flasche der Quotientenraum, der als das Quadrat [0,1] × [0,1] beschrieben wird, wobei die Seiten durch die Beziehungen (0, y ) ~ (1, y ) für 0 ≤ y ≤ 1 und ( x , 0) ~ (1 − x , 1) für 0 ≤ x ≤ 1 .

Eigenschaften

Wie der Möbiusstreifen ist die Klein-Flasche eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die nicht orientierbar ist . Im Gegensatz zum Möbius-Streifen ist die Klein-Flasche eine geschlossene Mannigfaltigkeit, also eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Während der Möbius-Streifen in den dreidimensionalen euklidischen Raum R ³ eingebettet werden kann , kann die Klein-Flasche nicht. Es kann jedoch in R ⁴ eingebettet sein .

Die Kleinsche Flasche kann als Faserbündel über dem Kreis S ¹ mit Faser S ¹ wie folgt betrachtet werden: Man nimmt das Quadrat (modulo der kantenidentifizierenden Äquivalenzrelation) von oben als E , den Gesamtraum, während der Basisraum B ist gegeben durch das Einheitsintervall in y , modulo 1~0 . Die Projektion π: E → B ist dann gegeben durch π([ x , y ]) = [ y ] .

Die Klein-Flasche kann konstruiert werden (in einem vierdimensionalen Raum, da dies im dreidimensionalen Raum nicht möglich ist, ohne dass die Oberfläche sich selbst schneidet) durch Zusammenfügen der Kanten von zwei (gespiegelten) Möbius-Streifen, wie im folgenden Limerick von . beschrieben Leo Moser :

Ein Mathematiker namens Klein hielt
die Möbius-Band für göttlich.
     Er sagte: "Wenn Sie
     die Ränder von zwei kleben , erhalten
Sie eine seltsame Flasche wie meine."

Die anfängliche Konstruktion der Klein-Flasche durch Identifizierung gegenüberliegender Kanten eines Quadrats zeigt, dass der Klein-Flasche eine CW-Komplexstruktur mit einer 0-Zelle P , zwei 1-Zellen C ₁ , C ₂ und einer 2-Zelle D gegeben werden kann . Seine Euler-Charakteristik ist daher 1 − 2 + 1 = 0 . Der Randhomomorphismus ist gegeben durch ∂ D = 2 C ₁ und ∂ C ₁ = ∂ C ₁ = 0 , was die Homologiegruppen der Kleinschen Flasche K zu H ₀ ( K , Z ) = Z , H ₁ ( K , Z ) = Z × ( Z /2 Z ) und H _n ( K , Z ) = 0 für n > 1 .

Es gibt eine 2-1 überdeckende Karte vom Torus zur Klein-Flasche, weil zwei Kopien der Fundamentalregion der Klein-Flasche, eine neben das Spiegelbild der anderen gelegt, eine Fundamentalregion des Torus ergeben. Die universelle Abdeckung sowohl des Torus als auch der Klein-Flasche ist die Ebene R ² .

Die Grundgruppe der Klein-Flasche lässt sich als Gruppe der Decktransformationen des Universaldeckels bestimmen und hat die Darstellung ⟨ a , b | ab = b ⁻¹ a ⟩ .

Sechs Farben reichen aus, um jede Karte auf der Oberfläche einer Klein-Flasche einzufärben; Dies ist die einzige Ausnahme von der Heawood-Vermutung , einer Verallgemeinerung des Vierfarbensatzes , die sieben erfordern würde.

Eine Klein-Flasche ist homöomorph zur zusammenhängenden Summe zweier projektiver Ebenen . Es ist auch homöomorph zu einer Kugel plus zwei Kreuzkappen .

Eingebettet in den euklidischen Raum ist die Klein-Flasche einseitig. Es gibt jedoch andere topologische 3-Räume, und in einigen der nicht-orientierbaren Beispiele kann eine Klein-Flasche so eingebettet werden, dass sie zweiseitig ist, obwohl sie aufgrund der Natur des Raums nicht orientierbar bleibt.

Präparation

Zerlegt man eine Klein-Flasche entlang ihrer Symmetrieebene in zwei Hälften , erhält man zwei spiegelbildliche Möbius-Streifen , dh einer mit einer linkshändigen Halbdrehung und der andere mit einer rechtshändigen Halbdrehung (einer davon ist rechts abgebildet) . Denken Sie daran, dass die abgebildete Kreuzung nicht wirklich da ist.

Einfach-geschlossene Kurven

Eine Beschreibung der Typen von einfach geschlossenen Kurven, die auf der Oberfläche der Kleinschen Flasche erscheinen können, wird durch die Verwendung der ersten Homologiegruppe der Kleinschen Flasche gegeben, die mit ganzzahligen Koeffizienten berechnet wurde. Diese Gruppe ist isomorph zu Z × Z ₂ . Bis auf die Orientierungsumkehr sind die einzigen Homologieklassen, die einfach-geschlossene Kurven enthalten, die folgenden: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Bis auf die Umkehrung der Orientierung einer einfachen geschlossenen Kurve, wenn sie innerhalb einer der beiden Kreuzkappen liegt, aus denen die Klein-Flasche besteht, dann ist sie in der Homologieklasse (1,0) oder (1,1); schneidet es die Klein-Flasche in zwei Möbius-Streifen, dann ist es in der Homologieklasse (2,0); wenn es die Klein-Flasche in einen Ring schneidet, dann ist es in der Homologieklasse (0,1); und wenn eine Scheibe begrenzt ist, ist sie in der Homologieklasse (0,0).

Parametrierung

Die Figur 8 Immersion

Um das "Figur 8" oder "Bagel" Eintauchen der Klein-Flasche zu machen, kann man mit einem Möbius-Streifen beginnen und ihn kräuseln, um den Rand zur Mittellinie zu bringen; da es nur eine Kante gibt, trifft sie sich dort und verläuft durch die Mittellinie. Er hat eine besonders einfache Parametrierung als „Figur-8“-Torus mit halber Drehung:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x&=\left(r+\cos {\frac {\theta}{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta}{2}}\sin 2v\right )\cos \theta \\y&=\left(r+\cos {\frac {\theta}{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta}{2}}\sin 2v\right)\ sin \theta \\z&=\sin {\frac {\theta}{2}}\sin v+\cos {\frac {\theta}{2}}\sin 2v\end{ausgerichtet}}}$

für 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π und r > 2.

In dieser Immersion ist der Selbstschnittkreis (wobei sin( v ) null ist) ein geometrischer Kreis in der xy- Ebene. Die positive Konstante r ist der Radius dieses Kreises. Der Parameter θ gibt den Winkel in der xy- Ebene sowie die Drehung der Figur 8 an und v gibt die Position um den 8-förmigen Querschnitt an. Mit obiger Parametrierung ist der Querschnitt eine 2:1 Lissajous-Kurve .

4-D nicht überschneidend

Eine nicht schneidende 4-D-Parametrisierung kann der des flachen Torus nachempfunden werden :

${\displaystyle \ {\begin{ausgerichtet}x&=R\left(\cos {\frac {\theta}{2}}\cos v-\sin {\frac {\theta}{2}}\sin 2v\ rechts)\\y&=R\left(\sin {\frac {\theta}{2}}\cos v+\cos {\frac {\theta}{2}}\sin 2v\right)\\z&=P \cos \theta \left(1+{\epsilon}\sin v\right)\\w&=P\sin \theta \left(1+{\epsilon}\sin v\right)\end{ausgerichtet}}}$

wobei R und P Konstanten sind , die Seitenverhältnis bestimmen θ und v sind ähnlich wie oben definiert. v bestimmt die Position um die Figur 8 sowie die Position in der xy-Ebene. θ bestimmt auch den Drehwinkel der Figur-8 und die Position um die zw-Ebene. ε ist eine kleine Konstante und ε sin v ist eine kleine v- abhängige Erhebung im zw- Raum, um einen Selbstschnitt zu vermeiden. Der V- Bump bewirkt, dass sich die sich selbst schneidende 2-D/planare Figur-8 in eine 3-D-stilisierte "Kartoffelchips"- oder Sattelform im xyw- und xyz-Raum, betrachtet an der Kante, ausbreitet. Bei ε=0 ist der Selbstschnittpunkt ein Kreis in der zw-Ebene <0, 0, cos θ , sin θ >.

3D Quetschtorus / 4D Möbiusrohr

Der eingeklemmte Torus ist vielleicht die einfachste Parametrisierung der Klein-Flasche sowohl in drei als auch in vier Dimensionen. Es ist ein Torus, der sich in drei Dimensionen abflacht und auf einer Seite durch sich selbst hindurchgeht. Leider hat diese Parametrierung in drei Dimensionen zwei Quetschstellen, was sie für manche Anwendungen unerwünscht macht. In vier Dimensionen dreht sich die z- Amplitude in die w- Amplitude und es gibt keine Selbstschnittpunkte oder Pinch-Punkte.

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x(\theta,\varphi)&=(R+r\cos\theta)\cos {\varphi}\\y(\theta,\varphi)&=(R+r \cos\theta)\sin{\varphi}\\z(\theta,\varphi)&=r\sin\theta\cos\left({\frac{\varphi}{2}}\right)\\w (\theta,\varphi)&=r\sin\theta\sin\left({\frac{\varphi}{2}}\right)\end{ausgerichtet}}}$

Man kann dies als ein Rohr oder einen Zylinder betrachten, der sich wie in einem Torus umschlingt, aber sein kreisförmiger Querschnitt dreht sich in vier Dimensionen und präsentiert seine "Rückseite" beim Wiederverbinden, so wie sich ein Möbius-Streifenquerschnitt dreht, bevor er sich wieder verbindet. Die orthogonale 3D-Projektion davon ist der oben gezeigte eingeklemmte Torus. So wie ein Möbius-Streifen eine Teilmenge eines massiven Torus ist, ist die Möbius-Röhre eine Teilmenge eines toroidförmig geschlossenen Spherinders (solider Spheritorus ).

Flaschenform

Die Parametrierung des dreidimensionalen Eintauchens der Flasche selbst ist wesentlich komplizierter.

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\ cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v} \sin {u}\right)\\y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{ u}\cos{v}-48\cos^{4}{u}\cos{v}+48\cos^{6}{u}\cos{v}\right.-\\&60\sin {u }+5\cos{u}\cos{v}\sin{u}-5\cos^{3}{u}\cos{v}\sin{u}-\\&\left.80\cos^ {5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\z(u,v)=& {\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{ausgerichtet}}}$

für 0 u < π und 0 ≤ v < 2π.

Homotopieklassen

Regelmäßige 3D-Einbettungen der Klein-Flasche fallen in drei reguläre Homotopieklassen (vier, wenn man sie malt). Die drei werden vertreten durch:

1. Die "traditionelle" Klein-Flasche
2. Linkshänder Figur-8 Klein Flasche
3. Rechtshänder Figur-8 Klein Flasche

Die traditionelle Kleinflascheneinbettung ist achiral . Die Einbettung der Zahl 8 ist chiral (die Einbettung des eingeklemmten Torus oben ist nicht regelmäßig, da sie Pinch-Punkte hat und daher in diesem Abschnitt nicht relevant ist). Die drei obigen Einbettungen lassen sich in drei Dimensionen nicht reibungslos ineinander überführen. Wird die traditionelle Klein-Flasche der Länge nach aufgeschnitten, zerfällt sie in zwei gegenläufig chirale Möbius-Streifen.

Wenn eine linkshändige Achter-Klein-Flasche geschnitten wird, zerlegt sie sich in zwei linkshändige Möbius-Streifen, und ähnlich bei der rechtshändigen Achter-Klein-Flasche.

Das Bemalen der traditionellen Klein-Flasche in zwei Farben induziert Chiralität darauf, wodurch vier Homotopieklassen entstehen.

Verallgemeinerungen

Die Verallgemeinerung der Kleinen Flasche auf eine höhere Gattung ist im Artikel über das Fundamentalpolygon gegeben .

In einer anderen Reihenfolge von Ideen, Konstruieren 3-Verteilern , ist es bekannt , dass eine feste Kleine Flasche ist homeomorphic auf das Kartesische Produkt einer Möbius - Band und ein geschlossenes Intervall. Die solide Klein-Flasche ist die nicht orientierbare Version des soliden Torus , äquivalent zu${\displaystyle D^{2}\times S^{1}.}$

Klein Oberfläche

Eine Klein-Fläche ist wie die Riemann-Fläche eine Fläche mit einem Atlas, der es erlaubt, die Übergangskarten durch komplexe Konjugation zusammenzusetzen . Man kann die sogenannte dianalytische Struktur des Raumes erhalten.

Siehe auch

• Algebraische Topologie
• Alice-Universum
• Bavards Klein Flaschensystolische Ungleichung
• Oberfläche des Jungen

Verweise

Zitate

Quellen

Externe Links

• Bildgebende Mathematik - Die Klein-Flasche
• Die größte Klein-Flasche der Welt
• Klein Bottle Animation: produziert für ein Topologieseminar an der Leibniz Universität Hannover.
• Klein Flaschenanimation von 2010 mit Autofahrt durch die Flasche und der Originalbeschreibung von Felix Klein: produziert an der Freien Universität Berlin.
• Klein Bottle , XScreenSaver "hack". Ein Bildschirmschoner für X 11 und OS X mit einer animierten Klein Bottle.