Satz des geometrischen Mittelwerts - Geometric mean theorem

Fläche des grauen Quadrats = Fläche des grauen Rechtecks: ${\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}$

Der Höhensatz des rechtwinkligen Dreiecks oder der geometrische Mittelwertsatz ist ein Ergebnis in der elementaren Geometrie, das eine Beziehung zwischen der Höhe auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck und den beiden Liniensegmenten beschreibt, die es auf der Hypotenuse erzeugt. Es besagt, dass das geometrische Mittel der beiden Segmente gleich der Höhe ist.

Satz und Anwendungen

Konstruktion von √ p durch Setzen von q auf 1

Bezeichnet h die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck und p und q die Segmente auf der Hypotenuse, dann kann der Satz wie folgt formuliert werden:

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$

oder nach Bereichen:

${\displaystyle h^{2}=pq.}$

AM-GM-Ungleichheit

Die letztere Version liefert eine Methode, um ein Rechteck mit Lineal und Zirkel zu quadrieren , dh ein Quadrat mit gleicher Fläche zu einem gegebenen Rechteck zu konstruieren. Für ein solches Rechteck mit den Seiten p und q bezeichnen wir seine linke obere Ecke mit D . Nun verlängern wir das Segment q nach links um p (mit dem auf D zentrierten Bogen AE ) und zeichnen einen Halbkreis mit den Endpunkten A und B mit dem neuen Segment p+q als Durchmesser. Dann errichten wir eine senkrechte Linie zum Durchmesser in D , die den Halbkreis in C schneidet . Aufgrund des Satzes von Thales bilden C und der Durchmesser ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Liniensegment DC als Höhe, also ist DC die Seite eines Quadrats mit der Fläche des Rechtecks. Die Methode ermöglicht auch die Bildung von Quadratwurzeln (siehe konstruierbare Zahl ), da das konstruierte Quadrat ausgehend von einem Rechteck mit der Breite 1 eine Seitenlänge hat, die der Quadratwurzel der Länge des Rechtecks ​​entspricht.

Eine andere Anwendung von liefert einen geometrischen Beweis der AM-GM-Ungleichung im Fall von zwei Zahlen. Für die Zahlen p und q konstruiert man einen Halbkreis mit Durchmesser p+q . Nun stellt die Höhe das geometrische Mittel und der Radius das arithmetische Mittel der beiden Zahlen dar. Da die Höhe immer kleiner oder gleich dem Radius ist, ergibt sich die Ungleichung.

Satz des geometrischen Mittels als Spezialfall des Akkordsatzes :
${\displaystyle |CD||DE|=|AD||DB|\Linksrechtspfeil h^{2}=pq}$

Der Satz kann auch als Spezialfall des Satzes der sich schneidenden Sehnen für einen Kreis angesehen werden, da die Umkehrung des Satzes von Thales sicherstellt, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks der Durchmesser seines Umkreises ist .

Auch die umgekehrte Aussage ist richtig. Jedes Dreieck, bei dem die Höhe dem geometrischen Mittel der beiden dadurch erzeugten Liniensegmente entspricht, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Geschichte

Der Satz wird in der Regel zugeschrieben Euklid (ca. 360 bis 280 vor Christus), der es als logische Folge Proposition 8 angegeben in Buch VI seine Elemente . In Proposition 14 von Buch II gibt Euklid eine Methode zum Quadrieren eines Rechtecks ​​an, die im Wesentlichen mit der hier angegebenen Methode übereinstimmt. Euklid liefert jedoch einen anderen, etwas komplizierteren Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion, als sich auf den Satz des geometrischen Mittels zu verlassen.

Nachweisen

Basierend auf Ähnlichkeit

${\displaystyle\triangle ABC\sim\triangle ADC\sim\triangle DBC}$

Beweis des Satzes :

Die Dreiecke und sind ähnlich , da: ${\displaystyle \triangle ADC}$${\displaystyle \triangle BCD}$

• Betrachten wir Dreiecke , hier haben wir und , also nach dem AA-Postulat${\displaystyle \triangle ABC,\triangle ACD}$${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ}}$${\displaystyle \angle BAC=\angle CAD}$ ${\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle ACD}$
• Betrachten wir weiterhin Dreiecke , hier haben wir und daher nach dem AA-Postulat${\displaystyle \triangle ABC,\triangle BCD}$${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ}}$${\displaystyle \angle ABC=\angle CBD}$${\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle BCD}$

Daher sind beide Dreiecke und und sich selbst ähnlich , dh . ${\displaystyle \triangle ACD}$${\displaystyle \triangle BCD}$${\displaystyle\dreieck ABC}$${\displaystyle \triangle ACD\sim\triangle ABC\sim\triangle BCD}$

Wegen der Ähnlichkeit erhalten wir folgende Gleichheit der Verhältnisse und ihre algebraische Umordnung liefert den Satz:.

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq }}\qquad (h,p,q>0)}$

Beweis der Umkehrung:

Für die Umkehrung haben wir ein Dreieck, in dem gilt und müssen zeigen, dass der Winkel bei C ein rechter Winkel ist. Jetzt wegen haben wir auch . Zusammen mit den Dreiecken haben und einen gleich großen Winkel und haben entsprechende Beinpaare mit dem gleichen Verhältnis. Dies bedeutet, dass die Dreiecke ähnlich sind, was ergibt: ${\displaystyle\dreieck ABC}$${\displaystyle h^{2}=pq}$${\displaystyle h^{2}=pq}$${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}$${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$${\displaystyle \triangle ADC}$${\displaystyle \triangle BDC}$

${\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ}-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ}-\angle ACD)=90^{\ Kreis }}$

Basierend auf dem Satz des Pythagoras

Beweis mit dem Satz des Pythagoras

Im Rahmen des geometrischen Mittelsatzes gibt es drei rechtwinklige Dreiecke , und , in denen der Satz des Pythagoras liefert: ${\displaystyle\dreieck ABC}$${\displaystyle \triangle ADC}$${\displaystyle\triangle DBC}$

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-q^{2}}$, und${\displaystyle h^{2}=b^{2}-p^{2}}$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Das Addieren der ersten beiden beiden Gleichungen und die Verwendung der dritten führt dann zu:

${\displaystyle 2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2} =(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq}$.

Eine Division durch zwei liefert schließlich die Formel des geometrischen Mittelsatzes.

Basierend auf Dissektion und Neuordnung

Das Zerlegen des rechtwinkligen Dreiecks entlang seiner Höhe h ergibt zwei ähnliche Dreiecke, die auf zwei alternative Weisen zu einem größeren rechtwinkligen Dreieck mit senkrechten Seiten der Längen p+h und q+h erweitert und angeordnet werden können . Eine solche Anordnung erfordert ein Quadrat mit der Fläche h ² , um sie zu vervollständigen, die andere ein Rechteck mit der Fläche pq . Da beide Anordnungen das gleiche Dreieck ergeben, müssen die Flächen von Quadrat und Rechteck identisch sein.

Basierend auf Schubkartierungen

Das Höhenquadrat kann mit Hilfe von drei Scherabbildungen in ein flächengleiches Rechteck mit den Seiten p und q umgewandelt werden (Scherabbildungen erhalten die Fläche):

Scherabbildungen mit ihren zugehörigen festen Linien (gestrichelt), beginnend mit dem ursprünglichen Quadrat als Vorbild jedes Parallelogramm zeigt das Bild einer Scherabbildung der Figur links davon

Verweise

Externe Links

• Geometrischer Mittelwert bei Cut-the-Knot