Lokal endliche Sammlung - Locally finite collection

Im mathematischen Gebiet der Topologie ist lokale Endlichkeit eine Eigenschaft von Sammlungen von Teilmengen eines topologischen Raums . Es ist grundlegend für das Studium der Parakompaktheit und der topologischen Dimension .

Eine Sammlung von Teilmengen eines topologischen Raums heißt lokal endlich , wenn jeder Punkt im Raum eine Umgebung hat , die nur endlich viele der Mengen in der Sammlung schneidet. ${\displaystyle X}$

Beachten Sie, dass der Begriff lokal endlich in anderen mathematischen Gebieten unterschiedliche Bedeutungen hat.

Beispiele und Eigenschaften

Eine endliche Menge von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich. Unendliche Sammlungen können auch lokal endlich sein: zum Beispiel die Sammlung aller Teilmengen der Form für eine ganze Zahl . Eine abzählbare Menge von Teilmengen muss nicht lokal endlich sein, wie die Menge aller Teilmengen der Form für eine natürliche Zahl n zeigt . ${\displaystyle\mathbb{R}}$${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle\mathbb{R}}$${\displaystyle (-n,n)}$

Wenn eine Menge von Mengen lokal endlich ist, ist auch die Menge aller Abschlüsse dieser Mengen lokal endlich. Der Grund dafür ist, dass wenn eine offene Menge, die einen Punkt enthält, den Abschluss einer Menge schneidet, sie notwendigerweise die Menge selbst schneidet, daher kann eine Umgebung höchstens die gleiche Anzahl von Abschlüssen schneiden (sie kann weniger schneiden, da zwei verschiedene, ja disjunkt, Mengen können den gleichen Abschluss haben). Das Umgekehrte kann jedoch fehlschlagen, wenn die Abschlüsse der Mengen nicht verschieden sind. Zum Beispiel in der Finite - Komplement - Topologie auf ist die Sammlung aller offenen Mengen nicht lokal begrenzt, sondern die Sammlung aller Verschlüsse dieser Sätze ist lokal endlich (da die einzigen Verschlüsse sind und die leere Menge ). ${\displaystyle\mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{R}}$

Kompakte Räume

Jede lokal endliche Menge von Teilmengen eines kompakten Raums muss endlich sein. Sei in der Tat eine lokal endliche Familie von Teilmengen eines kompakten Raums . Wählen Sie für jeden Punkt eine offene Umgebung , die eine endliche Anzahl der Teilmengen in schneidet . Offensichtlich ist die Familie der Mengen: eine offene Überdeckung von und hat daher eine endliche Unterüberdeckung : . Da jede nur eine endliche Anzahl von Teilmengen in schneidet, schneidet die Vereinigung aller dieser Teilmengen nur eine endliche Anzahl von Teilmengen in . Da diese Vereinigung der gesamte Raum ist, schneidet sich nur eine endliche Anzahl von Teilmengen in der Sammlung . Und da sich jedes Glied von must intersect aus Teilmengen zusammensetzt , ist es endlich. ${\displaystyle G=\{G_{a}|a\in A\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{U_{x}|x\in X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}}$${\displaystyle U_{k_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U_{k_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Ein topologischer Raum, in dem jede offene Hülle eine lokal endliche offene Verfeinerung zulässt, heißt parakompakt . Jede lokal endliche Menge von Teilmengen eines topologischen Raums ist auch punktendlich . Ein topologischer Raum, in dem jede offene Hülle eine punkt-endliche offene Verfeinerung zulässt, heißt metakompakt .

Zweite zählbare Leerzeichen

Keine überzählige Überdeckung eines Lindelöf-Raumes kann lokal endlich sein, im Wesentlichen nach dem gleichen Argument wie bei kompakten Räumen. Insbesondere ist keine überzählbare Überdeckung eines zweitzählbaren Raumes lokal endlich.

Geschlossene Sätze

Eine endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist immer abgeschlossen. Man kann leicht ein Beispiel für eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen geben, die nicht abgeschlossen ist. Betrachten wir jedoch eine lokal endliche Menge abgeschlossener Mengen, so ist die Vereinigung abgeschlossen. Um dies wir zur Kenntnis , dass , wenn ein Punkt außerhalb der Vereinigung dieser lokal endlichen Sammlung von geschlossenen Sätzen ist, dass wir nur ein Viertel wählen aus , dass schneidet diese Sammlung nur endlich viele dieser Sätze. Definieren Sie eine bijektive Abbildung aus der Sammlung von Mengen, die sich überschneiden, um so jedem dieser Mengen einen Index zu geben. Wählen Sie dann für jede Menge eine offene Menge aus , die sie nicht schneidet. Der Durchschnitt aller solchen für geschnitten mit , ist eine Umgebung von , die die Vereinigung dieser Sammlung abgeschlossener Mengen nicht schneidet. ${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {1,\dots,k}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$

Abzählbar lokal endliche Sammlungen

Eine Sammlung in einem Raum ist abzählbar lokal endlich (oder σ-lokal endlich ), wenn sie die Vereinigung einer abzählbaren Familie von lokal endlichen Sammlungen von Teilmengen von ist . Abzählbare lokale Endlichkeit ist eine Schlüsselhypothese des Nagata-Smirnov-Metrisierungssatzes , der besagt, dass ein topologischer Raum genau dann metrisierbar ist, wenn er regulär ist und eine abzählbar lokal endliche Basis hat . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Verweise

• James R. Munkres (2000), Topologie (2. Aufl.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2