Beweis durch unendliche Abstieg - Proof by infinite descent

In der Mathematik ist ein Beweis durch unendlichen Abstieg , auch als Fermatsche Abstiegsmethode bekannt, eine besondere Art von Widerspruchsbeweis, der verwendet wird, um zu zeigen, dass eine Aussage unmöglich für jede Zahl gelten kann, indem gezeigt wird, dass, wenn die Aussage für eine Zahl gilt , dann würde das gleiche für eine kleinere Zahl gelten, was zu einem unendlichen Abstieg und letztendlich zu einem Widerspruch führt. Es ist eine Methode, die auf dem Wohlordnungsprinzip beruht und oft verwendet wird, um zu zeigen, dass eine gegebene Gleichung, wie beispielsweise eine diophantische Gleichung , keine Lösungen hat.

Typischerweise zeigt man, dass, wenn eine Lösung für ein Problem existiert, die in gewissem Sinne mit einer oder mehreren natürlichen Zahlen zusammenhängt , dies notwendigerweise bedeuten würde, dass eine zweite Lösung existiert, die sich auf eine oder mehrere „kleinere“ natürliche Zahlen bezieht. Dies wiederum würde eine dritte Lösung in Bezug auf kleinere natürliche Zahlen implizieren, eine vierte Lösung, also eine fünfte Lösung, und so weiter. Es kann jedoch nicht unendlich viele immer kleinere natürliche Zahlen geben, und daher ist nach mathematischer Induktion die ursprüngliche Prämisse – dass es eine Lösung gibt – falsch: Ihre Richtigkeit erzeugt einen Widerspruch .

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, anzunehmen, dass eine oder mehrere Lösungen oder Beispiele existieren, aus denen dann eine kleinste Lösung oder ein Beispiel – ein minimales Gegenbeispiel – abgeleitet werden kann. Dort würde man versuchen zu beweisen, dass wenn eine kleinste Lösung existiert, dies die Existenz einer kleineren Lösung (in gewissem Sinne) implizieren muss, was wiederum beweist, dass die Existenz einer beliebigen Lösung zu einem Widerspruch führen würde.

Die frühesten Anwendungen der Methode des unendlichen Abstiegs erscheinen in Euklids Elements . Ein typisches Beispiel ist Proposition 31 von Buch 7, in dem Euklid beweist, dass jede zusammengesetzte ganze Zahl (in Euklids Terminologie „gemessen“) durch eine Primzahl geteilt wird.

Die Methode wurde viel später von Fermat entwickelt , der den Begriff prägte und oft für diophantische Gleichungen verwendete . Zwei typische Beispiele sind , welche die nicht-Lösbarkeit der Diophantine Gleichung r ²  +  s ⁴ =  t ⁴ und beweist Fermat-Theorem auf Summen von zwei Quadraten , die besagt , dass eine ungerade Primzahl p als eine Summe von zwei ausgedrückt werden Quadrate , wenn p  ≡ 1 ( mod  4) (siehe Beweis ). Auf diese Weise konnte Fermat die Nichtexistenz von Lösungen in vielen Fällen von diophantischen Gleichungen von klassischem Interesse zeigen (z. B. das Problem der vier perfekten Quadrate in arithmetischer Folge ).

In einigen Fällen ist seine "Methode des unendlichen Abstiegs" für das moderne Auge eine Ausnutzung der Inversion der Verdopplungsfunktion für rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve E . Der Kontext ist ein hypothetischer nicht-trivialer rationaler Punkt auf E . Das Verdoppeln eines Punktes auf E verdoppelt ungefähr die Länge der Zahlen, die zum Schreiben erforderlich sind (als Anzahl der Stellen), so dass eine "Halbierung" eines Punktes ein rationales mit kleineren Termen ergibt. Da die Bedingungen positiv sind, können sie nicht ewig abnehmen.

Zahlentheorie

In der Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts wurde die Methode des unendlichen Abstiegs wieder aufgegriffen und an einen Punkt getrieben, an dem sie mit der Hauptrichtung der algebraischen Zahlentheorie und dem Studium der L-Funktionen verbunden war . Das strukturelle Ergebnis von Mordell , dass die rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve E eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bilden , verwendet ein unendliches Abstiegsargument basierend auf E /2 E im Stil von Fermat.

Um dies auf den Fall einer abelschen Varietät A auszudehnen , musste André Weil die Quantifizierung der Größe einer Lösung mit Hilfe einer Höhenfunktion expliziter machen – ein Konzept, das grundlegend wurde. Um zu zeigen, dass A ( Q )/2 A ( Q ) endlich ist, was sicherlich eine notwendige Bedingung für die endliche Erzeugung der Gruppe A ( Q ) von rationalen Punkten von A ist , muss man in dem, was später als Galois . erkannt wurde, rechnen kohomologie . Auf diese Weise werden abstrakt definierte Kohomologiegruppen in der Theorie mit Abstammungen in der Tradition von Fermat identifiziert . Das Mordell-Weil-Theorem stand am Anfang einer später sehr umfangreichen Theorie.

Anwendungsbeispiele

Irrationalität von √ 2

Der Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 ( √ 2 ) irrational ist (dh nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann) wurde von den alten Griechen entdeckt und ist vielleicht das früheste bekannte Beispiel für einen Beweis durch unendliche Abstammung. Pythagoräer entdeckten, dass die Diagonale eines Quadrats mit seiner Seite inkommensurabel ist, oder in der modernen Sprache, dass die Quadratwurzel aus zwei irrational ist . Über den Zeitpunkt oder die Umstände dieser Entdeckung ist wenig mit Sicherheit bekannt, aber der Name Hippasus von Metapontum wird oft erwähnt. Eine Zeit lang behandelten die Pythagoräer die Entdeckung, dass die Quadratwurzel aus zwei irrational ist, als offizielles Geheimnis, und der Legende nach wurde Hippasus ermordet, weil er sie preisgegeben hatte. Die Quadratwurzel aus zwei wird gelegentlich als "Pythagoras' Zahl" oder "Pythagoras' Konstante" bezeichnet, zum Beispiel Conway & Guy (1996) .

Die alten Griechen , die keine Algebra hatten , arbeiteten einen geometrischen Beweis durch unendliche Abstammung aus ( John Horton Conway präsentierte einen anderen geometrischen Beweis durch unendliche Abstammung, der möglicherweise leichter zugänglich ist). Das Folgende ist ein algebraischer Beweis in ähnlicher Weise:

Nehmen wir an, dass √ 2 waren vernünftig . Dann könnte es geschrieben werden als

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$

für zwei natürliche Zahlen, p und q . Dann würde das Quadrieren geben

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}},}$

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2},}$

2 muss also p ² teilen . Da 2 eine Primzahl ist , muss sie auch p durch das Lemma von Euklid teilen . Also p = 2 r , für eine ganze Zahl r .

Aber dann,

${\displaystyle 2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},}$

${\displaystyle q^{2}=2r^{2},}$

was zeigt, dass 2 auch q teilen muss . Also q = 2 s für eine ganze Zahl s .

Das gibt

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}}$.

Wenn also √ 2 als rationale Zahl geschrieben werden könnte, dann könnte es immer als rationale Zahl mit kleineren Teilen geschrieben werden, die selbst mit noch kleineren Teilen bis ins Unendliche geschrieben werden könnte . Aber das ist in der Menge der natürlichen Zahlen unmöglich . Da √ 2 eine reelle Zahl ist , die entweder rational oder irrational sein kann, bleibt nur die Möglichkeit, dass √ 2 irrational ist.

(Alternativ beweist dies, dass, wenn √ 2 rational wäre, keine "kleinste" Darstellung als Bruch existieren könnte, da jeder Versuch, eine "kleinste" Darstellung p / q zu finden , implizieren würde, dass eine kleinere existiert, was ein ähnlicher Widerspruch ist. )

Irrationalität von √ k, wenn es keine ganze Zahl ist

Für positive ganze Zahl k wird angenommen , dass √ k nicht eine ganze Zahl ist, sondern rational und kann ausgedrückt werden als ^m / _n für natürliche Zahlen m und n , und sei q die größte ganze Zahl kleiner als √ k . Dann

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[8pt]&={\frac {m({\sqrt {k}}-q )}{n({\sqrt {k}}-q)}}\\[8pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq }}\\[8pt]&={\frac {(n{\sqrt {k}}){\sqrt {k}}-mq}{n({\frac {m}{n}})-nq} }\\[8pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{ausgerichtet}}}$

Zähler und Nenner wurden jeweils mit dem Ausdruck ( √ k − q ) – der positiv aber kleiner als 1 ist – multipliziert und dann unabhängig voneinander vereinfacht. Also sind zwei resultierende Produkte, sagen wir m' und n' , selbst ganze Zahlen, die kleiner als m bzw. n sind. Deshalb, egal , welche natürlichen Zahlen m und n werden verwendet , um auszudrücken √ k , gibt es kleinere natürliche Zahlen m ‚ < m und n‘ < n , die das gleiche Verhältnis haben. Aber ein unendlicher Abstieg auf die natürlichen Zahlen ist unmöglich, was die ursprüngliche Annahme widerlegt, dass √ k als Verhältnis der natürlichen Zahlen ausgedrückt werden könnte.

Nichtlösbarkeit von r ² + s ⁴ = t ⁴ und seine Permutationen

Die Nicht-Lösbarkeit von in ganzen Zahlen reicht aus, um die Nicht-Lösbarkeit von in ganzen Zahlen zu zeigen , was ein Spezialfall von Fermats letztem Satz ist , und die historischen Beweise des letzteren gingen weiter, indem ersterer mit unendlichem Abstieg allgemeiner bewiesen wurde. Der folgende neuere Beweis demonstriert diese beiden Unmöglichkeiten, indem er noch umfassender beweist, dass ein pythagoräisches Dreieck keine zwei seiner Seiten je entweder ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat haben kann, da es kein kleinstes solches Dreieck gibt: ${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4}}$${\displaystyle q^{4}+s^{4}=t^{4}}$

Angenommen, es existiert ein solches pythagoräisches Dreieck. Dann kann es verkleinert werden, um ein Primitiv (dh ohne gemeinsame Faktoren außer 1) Pythagoräisches Dreieck mit der gleichen Eigenschaft zu erhalten. Die Seiten der primitiven pythagoräischen Dreiecke können als geschrieben werden , wobei a und b relativ prim und mit a+b ungerade und daher y und z beide ungerade sind. Die Eigenschaft, dass y und z jeweils ungerade sind, bedeutet, dass weder y noch z zweimal ein Quadrat sein können. Außerdem, wenn x ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist, dann ist jedes von a und b ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat. Es gibt drei Fälle, je nachdem, welche zwei Seiten jeweils ein Quadrat oder ein zweimal ein Quadrat postulieren: ${\displaystyle x=2ab,}$ ${\displaystyle y=a^{2}-b^{2},}$ ${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$

• y und z : In diesem Fall sind y und z beide Quadrate. Aber dann hätte das rechtwinklige Dreieck mit Beinenundund Hypotenuseauch ganzzahlige Seiten einschließlich eines quadratischen Beins () und einer quadratischen Hypotenuse () und hätte eine kleinere Hypotenuse ( imVergleich zu).${\displaystyle {\sqrt {yz}}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$
• z und x : z ist ein Quadrat. Das ganzzahlige rechtwinklige Dreieck mit Beinenundund Hypotenusehätte auch zwei Seiten (und), von denen jede ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist, und eine kleinere Hypotenuse (imVergleich zu ) .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle z}$
• y und x : y ist ein Quadrat. Das ganzzahlige rechtwinklige Dreieck mit Beinenundund Hypotenusehätte zwei Seiten ( b und a ), von denen jede ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist, mit einer kleineren Hypotenuse als das ursprüngliche Dreieck (imVergleich zu).${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {y}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$

In jedem dieser Fälle hat ein pythagoräisches Dreieck mit zwei Seiten, von denen jede ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist, zu einem kleineren geführt, was wiederum zu einem kleineren führen würde usw.; da sich eine solche Folge nicht unendlich fortsetzen kann, muss die ursprüngliche Prämisse, dass ein solches Dreieck existiert, falsch sein.

Dies impliziert, dass die Gleichungen

${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4},}$

${\displaystyle r^{4}+s^{2}=t^{4},}$ und

${\displaystyle r^{4}+s^{4}=t^{2}}$

kann keine nicht-trivialen Lösungen haben, da nicht-triviale Lösungen pythagoreische Dreiecke mit zwei Seiten als Quadrate ergeben würden.

Für andere ähnliche Beweise durch unendlichen Abstieg für den Fall n = 4 des Satzes von Fermat siehe die Artikel von Grant und Perella und Barbara.

Siehe auch

• Vieta-Springen

Verweise

Weiterlesen

• Unendliche Abfahrt bei PlanetMath .
• Beispiel für Fermats letztes Theorem bei PlanetMath .