Stellation - Stellation

Konstruktion eines sternförmigen Zwölfecks : ein regelmäßiges Vieleck mit Schläfli-Symbol {12/5}.

In der Geometrie ist Stellation der Prozess der Erweiterung eines Polygons in zwei Dimensionen , eines Polyeders in drei Dimensionen oder allgemein eines Polytops in n Dimensionen, um eine neue Figur zu bilden. Ausgehend von einer Originalfigur erweitert das Verfahren bestimmte Elemente wie deren Kanten oder Flächen, meist symmetrisch, bis sie wieder aufeinandertreffen und die geschlossene Begrenzung einer neuen Figur bilden. Die neue Figur ist eine Stellation des Originals. Das Wort stellation kommt vom lateinischen stellātus , „ gestern “, das wiederum vom lateinischen stella , „Stern“, kommt.

Keplers Definition

Im Jahr 1619 definierte Kepler die Stellation für Polygone und Polyeder als den Prozess, Kanten oder Flächen zu erweitern, bis sie sich zu einem neuen Polygon oder Polyeder treffen.

Er stellierte das regelmäßige Dodekaeder , um zwei regelmäßige Sternpolyeder zu erhalten, das kleine sternförmige Dodekaeder und das große sternförmige Dodekaeder . Er stellierte auch das regelmäßige Oktaeder , um die Stella Octangula zu erhalten , eine regelmäßige Verbindung von zwei Tetraedern.

Stellating Polygone

Durch die symmetrische Stellierung eines regelmäßigen Polygons entsteht ein regelmäßiges Sternpolygon oder ein polygonaler Verbund . Diese Polygone sind durch die Anzahl m gekennzeichnet , mit der sich die polygonale Grenze um die Mitte der Figur windet. Wie alle regelmäßigen Vielecke liegen ihre Scheitelpunkte auf einem Kreis. m entspricht auch der Anzahl der Eckpunkte um den Kreis herum, um von einem Ende einer gegebenen Kante zum anderen zu gelangen, beginnend bei 1.

Ein regelmäßiger Stern Polygon durch seine repräsentiert wird Schläfli Symbol { n / m }, wobei n die Anzahl der Ecken ist, m ist der Schritt in das Sequenzieren der Ränder um es verwendet wird , und m und n sind coprime (nicht gemeinsam haben Faktor ). Der Fall m = 1 ergibt das konvexe Polygon { n }. m muss auch kleiner als die Hälfte von n sein ; andernfalls sind die Linien entweder parallel oder divergieren und verhindern, dass sich die Figur jemals schließt.

Wenn n und m einen gemeinsamen Faktor haben, ist die Zahl eine regelmäßige Verbindung. {6/2} ist zum Beispiel die regelmäßige Verbindung zweier Dreiecke {3} oder Hexagramm , während {10/4} eine Verbindung zweier Pentagramme {5/2} ist.

Einige Autoren verwenden für solche regelmäßigen Verbindungen das Schläfli-Symbol. Andere betrachten das Symbol als Hinweis auf einen einzelnen Pfad, der m- mal umrundet wirdnein/ichScheitelpunkte, so dass eine Kante eine andere überlagert und jeder Scheitelpunkt m- mal besucht wird. In diesem Fall kann ein modifiziertes Symbol für die Verbindung verwendet werden, zum Beispiel 2{3} für das Hexagramm und 2{5/2} für die reguläre Verbindung von zwei Pentagrammen.

Ein regelmäßiges n -Eck hatn – 4/2stellations wenn n ist , auch (Verbindungen aus mehreren entarteten vorausgesetzt digons nicht berücksichtigt werden ), undn – 3/2stellations wenn n ist ungerade .

Pentagramm grün.svg
Das Pentagramm , {5/2}, ist die einzige Stellation eines Fünfecks 		Reguläre Sternfigur 2(3,1).svg
Das Hexagramm , {6/2}, die Stellation eines Sechsecks und eine Verbindung aus zwei Dreiecken. 		Enneagon stellations.svg
Das Enneagon (Nonagon) {9} hat 3 enneagrammische Formen:
{9/2}, {9/3}, {9/4}, wobei {9/3} eine Verbindung von 3 Dreiecken ist.
Stumpfes heptagram.svgAkute heptagram.svg


Das Heptagon hat zwei heptagrammische Formen:
{7/2}, {7/3}

Wie das Siebeneck hat auch das Achteck zwei oktagrammische Stellationen, eine {8/3} ist ein Sternpolygon und die andere, {8/2}, ist die Verbindung zweier Quadrate .


Stellating Polyeder

Erste stellation des oktaeders.png Erste stellation des dodekaeders.png Zweite stellation des dodekaeders.png Dritte stellation des dodekaeders.png Sechzehnte Ikosaederstellation.png Erste Ikosaederstellation.png Siebzehnte stellation des ikosaeders.png

Ein Polyeder wird stelliert, indem die Kanten oder Flächenebenen eines Polyeders verlängert werden, bis sie sich wieder treffen, um ein neues Polyeder oder eine neue Verbindung zu bilden. Das Innere des neuen Polyeders wird durch die Flächen in mehrere Zellen unterteilt. Die Flächenebenen eines Polyeders können den Raum in viele solcher Zellen unterteilen, und wenn der Stellationsprozess fortschreitet, werden mehr dieser Zellen eingeschlossen. Bei einem symmetrischen Polyeder fallen diese Zellen in Gruppen oder Mengen kongruenter Zellen – wir sagen, dass die Zellen in einer solchen kongruenten Menge vom gleichen Typ sind. Ein übliches Verfahren zum Auffinden von Stellationen besteht darin, einen oder mehrere Zelltypen auszuwählen.

Dies kann zu einer Vielzahl möglicher Formen führen, so dass oft weitere Kriterien auferlegt werden, um die Menge auf die in irgendeiner Weise signifikanten und einzigartigen Stellationen zu reduzieren.

Eine Reihe von Zellen, die um ihren Kern eine geschlossene Schicht bilden, wird als Schale bezeichnet. Bei einem symmetrischen Polyeder kann eine Schale aus einem oder mehreren Zelltypen bestehen.

Basierend auf solchen Ideen wurden mehrere restriktive Interessenkategorien identifiziert.

  • Main-Line-Stellungen. Das Hinzufügen aufeinanderfolgender Schalen zum Kernpolyeder führt zu der Menge der Hauptlinienstellationen.
  • Vollständig unterstützte Stellationen. Die Unterseiten einer Zelle können äußerlich als "Überhang" erscheinen. In einer vollständig unterstützten Stellation gibt es keine solchen Überhänge, und alle sichtbaren Teile eines Gesichts werden von derselben Seite gesehen.
  • Monoakrale stellationen. Buchstäblich "einköpfig". Wo es nur eine Art von Spitze oder Scheitelpunkt in einer Stellation gibt (dh alle Scheitelpunkte sind innerhalb einer einzigen Symmetriebahn kongruent), ist die Stellation monoakral. Alle diese Stellationen werden vollständig unterstützt.
  • Primäre stellationen. Wo ein Polyeder spiegelsymmetrische Ebenen hat, werden Kanten, die in diese Ebenen fallen, in Primärlinien liegen. Liegen alle Kanten in Primärlinien, ist die Stellation primär. Alle Primärstellationen werden vollständig unterstützt.
  • Miller stellationen. In "The Fifty-Nine Icosahedra" zeichnen Coxeter , Du Val, Flather und Petrie fünf von Miller vorgeschlagene Regeln auf . Obwohl sich diese Regeln speziell auf die Geometrie des Ikosaeders beziehen, wurden sie angepasst, um für beliebige Polyeder zu funktionieren. Sie sorgen unter anderem dafür, dass die Rotationssymmetrie des ursprünglichen Polyeders erhalten bleibt und jede Stellation äußerlich anders aussieht. Die vier soeben definierten Arten von Stellationen sind alle Teilmengen der Miller-Stellationen.

Wir können auch einige andere Kategorien identifizieren:

  • Eine partielle Stellation ist eine, bei der nicht alle Elemente einer gegebenen Dimensionalität erweitert sind.
  • Eine subsymmetrische Stellation ist eine, bei der nicht alle Elemente symmetrisch erweitert sind.

Die archimedischen Körper und ihre Dualen können auch stelliert werden. Hier fügen wir normalerweise die Regel hinzu, dass alle ursprünglichen Gesichtsebenen in der Stellation vorhanden sein müssen, dh wir berücksichtigen keine Teilstellationen. Zum Beispiel wird der Würfel normalerweise nicht als Stellation des Kuboktaeders betrachtet .

Verallgemeinerung der Millerschen Regeln gibt es:

Siebzehn der nichtkonvexen einheitlichen Polyeder sind Stellationen archimedischer Körper.

Millers Regeln

In dem Buch The Fifty-Nine Icosahedra schlug JCP Miller eine Reihe von Regeln vor, um zu definieren, welche Stellationsformen als "richtig signifikant und unterschiedlich" angesehen werden sollten.

Diese Regeln wurden für die Verwendung mit Stellationen vieler anderer Polyeder angepasst. Unter den Millerschen Regeln finden wir:

Viele "Miller-Stellationen" können mit der Methode von Kepler nicht direkt erhalten werden. Viele haben zum Beispiel hohle Zentren, in denen die ursprünglichen Flächen und Kanten des Kernpolyeders vollständig fehlen: Es gibt nichts mehr zu sternförmig. Andererseits liefert Keplers Methode auch Stellationen, die nach den Millerschen Regeln verboten sind, da ihre Zellen kanten- oder eckpunktverbunden sind, obwohl ihre Flächen einzelne Polygone sind. Diese Diskrepanz wurde bis Inchbald (2002) nicht wirklich beachtet.

Andere Regeln für stellation

Millers Regeln stellen keineswegs die "richtige" Art dar, Stellationen aufzuzählen. Sie basieren auf der Kombination von Teilen innerhalb des Stellationsdiagramms auf bestimmte Weise und berücksichtigen nicht die Topologie der resultierenden Flächen. Als solche gibt es einige recht vernünftige Stellationen des Ikosaeders, die nicht auf ihrer Liste stehen – eine wurde 1974 von James Bridge identifiziert, während einige "Miller-Stellationen" fraglich sind, ob sie überhaupt als Stellationen angesehen werden sollen – eine von das ikosaedrische Set besteht aus mehreren völlig unverbundenen Zellen, die symmetrisch im Raum schweben.

Ein alternatives Regelwerk, das dies berücksichtigt, ist noch nicht vollständig entwickelt. Die meisten Fortschritte wurden auf der Grundlage der Vorstellung gemacht, dass die Stellation der reziproke oder duale Prozess zur Facettierung ist , wobei Teile aus einem Polyeder entfernt werden, ohne neue Scheitelpunkte zu erzeugen. Für jede Stellation eines Polyeders gibt es eine duale Facettierung des dualen Polyeders und umgekehrt. Durch das Studium der Facetten des Dualen gewinnen wir Einblicke in die Stellungen des Originals. Bridge fand seine neue Ikosaeder-Stellung, indem er die Facetten seines Duals, des Dodekaeders, studierte.

Einige Polyeder vertreten die Ansicht, dass die Stellation ein Zwei-Wege-Prozess ist, so dass zwei beliebige Polyeder, die die gleichen Flächenebenen teilen, Stellationen voneinander sind. Dies ist verständlich, wenn man einen allgemeinen Algorithmus entwickelt, der für die Verwendung in einem Computerprogramm geeignet ist, aber ansonsten nicht besonders hilfreich.

Viele Beispiele für Stellationen finden sich in der Liste der Stellationsmodelle von Wenninger .

Stellierende Polytope

Der Stellationsprozess kann auch auf höherdimensionale Polytope angewendet werden. Ein stellaDiagramm eines n -polytope existiert in einer ( n  - 1) -dimensionalen Hyperebene einer gegebenen Facette .

Zum Beispiel ist im 4-Raum die große stellierte 120-Zelle die letzte Stellation der regulären 4-Polytop- 120-Zelle .

Benennen von Stellationen

Die erste systematische Benennung sternförmiger Polyeder war Cayleys Benennung der regelmäßigen Sternpolyeder (heute bekannt als Kepler-Poinsot-Polyeder ). Dieses System wurde weithin, aber nicht immer systematisch, für andere Polyeder und höhere Polytope übernommen.

John Conway entwickelte eine Terminologie für Sternpolygone , Polyeder und Polychora (Coxeter 1974). In diesem System wird das Ausdehnen von Kanten zur Schaffung einer neuen Figur als Stellation bezeichnet , das Ausdehnen von Flächen als Vergrößerung und das Ausdehnen von Zellen als Anhäufung (letzteres gilt nicht für Polyeder). Dies ermöglicht eine systematische Verwendung von Wörtern wie „stelliert“, „großartig“ und „großartig“ bei der Namensfindung für die resultierenden Figuren. Zum Beispiel schlug Conway einige kleinere Variationen der Namen der Kepler-Poinsot-Polyeder vor .

Stellation bis unendlich

Wenninger bemerkte, dass einige Polyeder, wie der Würfel, keine endlichen Sternbilder haben. Stellationszellen können jedoch als Prismen konstruiert werden, die sich bis ins Unendliche erstrecken. Die Figur, die diese Prismen enthält, kann als Sternation ins Unendliche bezeichnet werden . Nach den meisten Definitionen eines Polyeders sind diese Stellationen jedoch nicht streng Polyeder.

Wenningers Figuren traten als Duale der gleichförmigen Hemipolyeder auf , bei denen die Gesichter, die durch das Zentrum gehen, zu Scheitelpunkten "im Unendlichen" geschickt werden.

Von der Mathematik zur Kunst

Magnus Wenninger mit einigen seiner Modelle von Sternpolyedern im Jahr 2009
Weitere Informationen: Mathematik und Kunst

Neben seinen Beiträgen zur Mathematik wird Magnus Wenninger im Zusammenhang mit dem Verhältnis von Mathematik und Kunst als „besonders schöne“ Modelle komplexer Sternpolyeder beschrieben.

Marmorboden Mosaik von Paolo Uccello , Basilika von St. Mark, Venedig , c. 1430

Der italienische Renaissance- Künstler Paolo Uccello schuf ein Bodenmosaik, das ein kleines sternförmiges Dodekaeder in der Basilika San Marco in Venedig zeigt. 1430. Uccellos Darstellung wurde 1986 als Symbol für die Biennale von Venedig zum Thema "Kunst und Wissenschaft" verwendet. Dieselbe Stellung steht im Mittelpunkt zweier Lithographien von MC Escher : Contrast (Order and Chaos) , 1950, und Gravitation , 1952.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Malkewitsch, Joseph. "Mathematik und Art. 5. Polyeder, Kacheln und Dissektionen" . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . Abgerufen am 1. September 2015 .
  2. ^ Emmer, Michele (2. Dezember 2003). Mathematik und Kultur I . Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. s. 269. ISBN 978-3-540-01770-7.
  3. ^ Locher, JL (2000). Die Magie von MC Escher . Harry N. Abrams, Inc. ISBN 0-810-96720-0.
  • Brücke, New Jersey; Facetten des Dodekaeders, Acta Crystallographica A30 (1974), S. 548–552.
  • Coxeter , HSM; Regelmäßige komplexe Polytope (1974).
  • Coxeter , HSM; DuVal, P.; Flather, HT; und Petrie, JF The Fifty-Nine Icosahedra , 3. Auflage. Stradbroke, England: Tarquin Publications (1999).
  • Inchbald, G.; Auf der Suche nach den verlorenen Ikosaedern, The Mathematical Gazette 86 (2002), S. 208-215.
  • Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontaedron and beyond, Symmetry: Culture and Science , 11 (2000), S. 201–230.
  • Wenninger, Magnus (1974). Polyeder-Modelle . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
  • Wenninger, Magnus (1983). Duale Modelle . Cambridge University Press. ISBN 0-521-24524-9.

Externe Links