Stochastische partielle Differentialgleichung - Stochastic partial differential equation

Differentialgleichung
Navier-Stokes-Differentialgleichungen zur Simulation des Luftstroms um ein Hindernis
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Einstufung
Typen gewöhnliche Teilweise Differentialalgebraisch Integro-Differential Bruchteil Linear Nicht linear Nach Variablentyp Abhängige und unabhängige Variablen Autonom Komplex Gekoppelt / entkoppelt Genau Homogen  / Inhomogen Eigenschaften Bestellen Operator Notation
Beziehung zu Prozessen Differenz (diskretes Analogon) Stochastisch Stochastischer Teil Verzögern
Lösung
Existenz und Einzigartigkeit Picard-Lindelöf-Theorem Peano-Existenzsatz Carathéodorys Existenzsatz Cauchy-Kowalevski-Theorem
Generelle Themen Wronskian Phasenporträt Phasenraum Lyapunov  / Asymptotisch  / Exponentielle Stabilität Konvergenzrate Serien-  / Integrallösungen Numerische Integration Dirac-Delta-Funktion
Lösungsmethoden Inspektion Methode der Eigenschaften Euler Exponentielle Antwortformel Endlicher Unterschied   ( Crank-Nicolson ) Finite Elemente Unendliches Element Endliches Volumen Galerkin Petrov-Galerkin Integrationsfaktor Integrale Transformationen Störungstheorie Runge-Kutta Trennung von Variablen Unbestimmte Koeffizienten Variation von Parametern
Menschen Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Stochastische partielle Differentialgleichungen ( SPDEs ) verallgemeinern partielle Differentialgleichungen über zufällige Kraftterme und Koeffizienten, ebenso wie gewöhnliche stochastische Differentialgleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen verallgemeinern .

Sie sind relevant für die Quantenfeldtheorie , die statistische Mechanik und die räumliche Modellierung .

Beispiele

Eine der am meisten untersuchten SPDEs ist die stochastische Wärmegleichung , die formal geschrieben werden kann als

${\ displaystyle \ partielle _ {t} u = \ Delta u + \ xi \;,}$

wo ist der Laplace und bezeichnet Raum-Zeit weißes Rauschen . Andere Beispiele umfassen auch stochastische Versionen berühmter linearer Gleichungen, wie Wellengleichung und Schrödinger-Gleichung . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ xi}$

Diskussion

Eine Schwierigkeit ist ihre mangelnde Regelmäßigkeit. In einem eindimensionalen Raum sind Lösungen für die stochastische Wärmegleichung nur fast 1/2- Hölder räumlich kontinuierlich und 1/4-Hölder zeitlich kontinuierlich. Für Dimensionen zwei und höher sind Lösungen nicht einmal funktionswertig, sondern können als zufällige Verteilungen verstanden werden .

Für lineare Gleichungen kann man normalerweise eine milde Lösung über Halbgruppentechniken finden .

Bei der Betrachtung nichtlinearer Gleichungen treten jedoch Probleme auf. Zum Beispiel

${\ displaystyle \ partielle _ {t} u = \ Delta u + P (u) + \ xi,}$

Wo ist ein Polynom? In diesem Fall ist nicht einmal klar, wie man die Gleichung verstehen soll. Eine solche Gleichung hat auch keine funktionswertige Lösung und daher keine punktweise Bedeutung. Es ist bekannt, dass der Vertriebsraum keine Produktstruktur aufweist. Dies ist das Kernproblem einer solchen Theorie. Dies führt dazu, dass irgendeine Form der Renormierung erforderlich ist. ${\ displaystyle P}$

Ein früher Versuch, solche Probleme für bestimmte Gleichungen zu umgehen, war der sogenannte da Pratto-Debusche-Trick , bei dem nichtlineare Gleichungen wie Störungen linearer Gleichungen untersucht wurden. Dies kann jedoch nur in sehr restriktiven Einstellungen verwendet werden, da dies sowohl vom nichtlinearen Faktor als auch von der Regelmäßigkeit des Fahrgeräuschausdrucks abhängt. In den letzten Jahren hat sich das Feld drastisch erweitert, und jetzt gibt es eine große Maschinen lokale Existenz für eine Vielzahl von gewährleisten unterkritischen SPDE ist.

Siehe auch

• Brownsche Oberfläche
• Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung
• Kushner-Gleichung
• Malliavin-Kalkül
• Dochtprodukt
• Zakai-Gleichung

Verweise

Weiterführende Literatur

• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010). Stochastische partielle Differentialgleichungen: Ein modellierender funktioneller Ansatz für weißes Rauschen . Universitext (2. Aufl.). New York: Springer. doi : 10.1007 / 978-0-387-89488-1 . ISBN   978-0-387-89487-4 .

Externe Links

• "Ein Minikurs über stochastische partielle Differentialgleichungen" (PDF) . 2006.
• Hairer, Martin (2009). "Eine Einführung in stochastische PDEs". arXiv : 0907.4178 . Zitierjournal benötigt |journal= ( Hilfe )