Peano-Existenz-Theorem - Peano existence theorem

Differentialgleichung
Navier-Stokes-Differentialgleichungen zur Simulation der Luftströmung um ein Hindernis
Umfang Naturwissenschaften Ingenieurwesen Astronomie Physik Chemie Biologie Geologie Angewandte Mathematik Kontinuumsmechanik Chaostheorie Dynamische Systeme Sozialwissenschaften Wirtschaft Populationsdynamik
Einstufung
Typen gewöhnliche Teilweise Differentialalgebraisch Integro-Differential Bruchteil Linear Nichtlinear Nach Variablentyp Abhängige und unabhängige Variablen Autonom Komplex Gekoppelt / Entkoppelt Genau Homogen  / Inhomogen Eigenschaften Auftrag Operator Notation
Bezug zu Prozessen Differenz (diskretes Analog) Stochastisch Stochastisch partiell Verzögern
Lösung
Existenz und Einzigartigkeit Satz von Picard-Lindelöf Existenzsatz von Peano Existenzsatz von Carathéodory Cauchy-Kowalevski-Theorem
Generelle Themen Wronskian Phasenportrait Phasenraum Lyapunov  / Asymptotisch  / Exponentielle Stabilität Konvergenzrate Serie  / Integrale Lösungen Numerische Integration Dirac-Delta-Funktion
Lösungsmethoden Inspektion Methode der Merkmale Euler Exponentielle Antwortformel Endliche Differenz  ( Crank–Nicolson ) Finite Elemente Unendliches Element Endliches Volumen Galerkin Petrov–Galerkin Integrationsfaktor Integrale Transformationen Störungstheorie Runge–Kutta Trennung von Variablen Unbestimmte Koeffizienten Variation der Parameter
Menschen Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler mile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Kurbel Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

In der Mathematik , insbesondere beim Studium gewöhnlicher Differentialgleichungen , ist das Peano-Existenztheorem , Peano-Theorem oder Cauchy-Peano-Theorem , benannt nach Giuseppe Peano und Augustin-Louis Cauchy , ein fundamentaler Satz, der die Existenz von Lösungen für bestimmte Anfangswertprobleme garantiert .

Geschichte

Peano veröffentlichte den Satz erstmals 1886 mit einem falschen Beweis. 1890 veröffentlichte er einen neuen korrekten Beweis mit sukzessiven Approximationen.

Satz

Sei eine offene Teilmenge von R × R mit ${\displaystyle D}$

${\displaystyle f\colon D\to\mathbb{R}}$

eine stetige Funktion und

${\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right)}$

eine stetige , explizite Differentialgleichung erster Ordnung auf D definiert , dann ist jedes Anfangswertproblem

${\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}$

für f mit hat eine lokale Lösung ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$

${\displaystyle z\colon I\to\mathbb{R}}$

wo ist eine Nachbarschaft von in , so dass für alle . ${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)}$${\displaystyle x\in I}$

Die Lösung muss nicht eindeutig sein: Ein und derselbe Anfangswert kann zu vielen verschiedenen Lösungen führen . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle z}$

Verwandte Theoreme

Das Peano-Theorem kann mit einem anderen Existenzresultat im gleichen Kontext verglichen werden, dem Picard-Lindelöf-Theorem . Der Satz von Picard-Lindelöf nimmt mehr an und schließt mehr. Es erfordert Lipschitz-Stetigkeit , während das Peano-Theorem nur Stetigkeit erfordert; aber es beweist sowohl Existenz als auch Eindeutigkeit, wo das Peano-Theorem nur die Existenz von Lösungen beweist. Betrachten Sie zur Veranschaulichung die gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}}$ auf der Domäne ${\displaystyle \left[0,1\right].}$

Nach dem Satz von Peano hat diese Gleichung Lösungen, aber der Satz von Picard-Lindelöf gilt nicht, da die rechte Seite in keiner Umgebung mit 0 Lipschitz-stetig ist. Somit können wir auf Existenz schließen, aber nicht auf Eindeutigkeit. Es stellt sich heraus, dass diese gewöhnliche Differentialgleichung zwei Arten von Lösungen hat, wenn man bei entweder oder beginnt . Der Übergang zwischen und kann jederzeit erfolgen . ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle y(x)=0}$${\displaystyle y(x)=x^{2}/4}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=(xC)^{2}/4}$${\displaystyle C}$

Der Existenzsatz von Carathéodory ist eine Verallgemeinerung des Existenzsatzes von Peano mit schwächeren Bedingungen als der Stetigkeit.

Anmerkungen

Verweise

• Osgood, WF (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345.
• Coddington, Graf A.; Levinson, Norman (1955). Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen . New York: McGraw-Hill .
• Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Existenzsätze für gewöhnliche Differentialgleichungen (Reprint ed.). New York: Krieger.
• Teschl, Gerald (2012). Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme . Vorsehung : Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN 978-0-8218-8328-0.