Wirtinger-Derivate - Wirtinger derivatives

In der komplexen Analyse einer oder mehrerer komplexer Variablen sind die Wirtinger-Derivate (manchmal auch Wirtinger-Operatoren genannt ), benannt nach Wilhelm Wirtinger, der sie 1927 im Rahmen seiner Studien zur Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen einführte , partielle Differentialoperatoren von der ersten Ordnung, die sich in Bezug auf eine reelle Variable sehr ähnlich verhalten wie die gewöhnlichen Ableitungen , wenn sie auf holomorphe Funktionen , antiholomorphe Funktionen oder einfach differenzierbare Funktionen auf komplexen Gebieten angewendet werden . Diese Operatoren erlauben die Konstruktion einer Differentialrechnung für solche Funktionen, die der gewöhnlichen Differentialrechnung für Funktionen reeller Variablen völlig analog ist .

Historische Notizen

Frühe Tage (1899-1911): das Werk von Henri Poincaré

Wirtinger-Derivate wurden zumindest schon in der Arbeit ( Poincaré 1899 ) in der komplexen Analyse verwendet , wie Cherry & Ye (2001 , S. 31) und Remmert (1991 , S. 66–67) kurz anmerkten . Tatsächlich definiert Henri Poincaré im dritten Absatz seiner Arbeit von 1899 zuerst die komplexe Variable in und ihre komplex konjugierte Variable wie folgt: ${\displaystyle \mathbb{C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

Dann schreibt er die Gleichung, die die Funktionen definiert, die er biharmonique nennt und die zuvor mit partiellen Ableitungen in Bezug auf die reellen Variablen im Bereich von 1 bis geschrieben wurden , genau wie folgt: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$${\displaystyle k,q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

Dies impliziert, dass er implizit die folgende Definition 2 verwendet hat : um dies zu sehen, genügt es, die Gleichungen 2 und 2' von ( Poincaré 1899 , S. 112) zu vergleichen. Anscheinend wurde diese Arbeit von frühen Forschern in der Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Variablen nicht beachtet : In den Arbeiten von Levi-Civita (1905) , Levi (1910) (und Levi 1911 ) und von Amoroso (1912) sind alle fundamentalen partiellen Differentiale Operatoren der Theorie werden direkt ausgedrückt, indem partielle Ableitungen in Bezug auf die Real- und Imaginärteile der beteiligten komplexen Variablen verwendet werden . In der langen Übersichtsarbeit von Osgood (1966) (erstmals 1913 veröffentlicht) scheinen partielle Ableitungen in Bezug auf jede komplexe Variable einer holomorphen Funktion mehrerer komplexer Variablen als formale Ableitungen gemeint zu sein : tatsächlich, wenn Osgood die pluriharmonischen Operator und dem Levi-Operator folgt er der etablierten Praxis von Amoroso , Levi und Levi-Civita .

Das Werk von Dimitrie Pompeiu 1912 und 1913: eine neue Formulierung

Nach Henrici (1993 , S. 294) wurde von Dimitrie Pompeiu ein neuer Schritt in der Definition des Begriffs unternommen : In der Arbeit ( Pompeiu 1912 ) wird eine komplexwertige differenzierbare Funktion (im Sinne der Realanalyse ) von eins gegeben komplexe Variable in der Umgebung eines gegebenen Punktes definiert er definiert die Areolenableitung als folgenden Grenzwert${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z_{0}\in\mathbb{C},}$

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim_{r \to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint_{\Gamma(z_{0},r)}g(z)\mathrm {d}z,}$

wo ist der Rand einer Scheibe mit Radius, die vollständig im Definitionsbereich von zB seinem umgebenden Kreis enthalten ist . Dies ist offensichtlich eine alternative Definition der Wirtinger-Ableitung in Bezug auf die komplex konjugierte Variable : Sie ist eine allgemeinere, da, wie von Henrici (1993 , S. 294) festgestellt, der Grenzwert für Funktionen existieren kann, die nicht einmal differenzierbar sind bei nach Fichera (1969 , p. 28), die ersten , die identifizieren areolar Derivat als schwacher Ableitung im Sinne der Sobolev war Ilia Vekua . In seiner folgenden Arbeit verwendet Pompeiu (1913) dieses neu definierte Konzept, um seine Verallgemeinerung der Cauchy-Integralformel , die jetzt Cauchy-Pompeiu-Formel genannt wird, vorzustellen . ${\displaystyle \Gamma(z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g(z),}$ ${\displaystyle z=z_{0}.}$

Das Werk von Wilhelm Wirtinger

Die erste systematische Einführung von Wirtinger-Derivaten scheint Wilhelm Wirtinger in der Abhandlung Wirtinger 1926 zu verdanken, um die in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen vorkommenden Größenberechnungen zu vereinfachen : Durch die Einführung dieser Differentialoperatoren wird die Form alle in der Theorie gebräuchlichen Differentialoperatoren wie der Levi-Operator und der Cauchy-Riemann-Operator sind erheblich vereinfacht und damit einfacher zu handhaben. Die Arbeit ist bewusst formal geschrieben, dh ohne eine rigorose Herleitung der abgeleiteten Eigenschaften zu geben.

Formale Definition

Trotz ihrer allgegenwärtigen Verwendung scheint es keinen Text zu geben, der alle Eigenschaften von Wirtinger-Derivaten auflistet: ziemlich vollständige Referenzen sind jedoch der kurze Kurs zur multidimensionalen komplexen Analyse von Andreotti (1976 , S. 3–5), die Monographie von Gunning & Rossi (1965 , S. 3–6) und die Monographie von Kaup & Kaup (1983 , S. 2,4), die in diesem und den folgenden Abschnitten als allgemeine Referenzen verwendet werden.

Funktionen einer komplexen Variablen

Definition 1. Betrachten Sie die komplexe Ebene Die Wirtinger-Ableitungen sind definiert als die folgenden linearen partiellen Differentialoperatoren erster Ordnung: ${\displaystyle\mathbb{C}\equiv\mathbb{R}^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}} -i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2} }\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{ausgerichtet}}}$

Offensichtlich ist die natürliche Domäne ist der Definition dieser partiellen Differentialoperatoren der Raum der Funktionen auf einer Domäne , aber da diese Operatoren sind linear und haben konstante Koeffizienten , können sie leicht zu jedem erweitert werden Raum der verallgemeinerten Funktionen . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega\subseteq\mathbb{R}^{2},}$

Funktionen von n > 1 komplexen Variablen

Definition 2. Betrachten Sie den euklidischen Raum auf dem komplexen Körper Die Wirtinger-Ableitungen sind definiert als die folgenden linearen partiellen Differentialoperatoren erster Ordnung: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{ 1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n}\right)\mid \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^{n} \rechts\}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_ {1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}} ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right )\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2 }}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\ {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n }}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$

Wie für Wirtinger Derivate für Funktionen einer komplexen Variablen, die natürliche Domäne der Definition dieser partiellen Differentialoperatoren ist wiederum der Raum der Funktionen auf einem Domain wieder, da diese Operatoren sind linear und weisen konstante Koeffizienten , können sie ohne weiteres auf jeden verlängert werden Raum von verallgemeinerten Funktionen . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega\subset\mathbb{R}^{2n},}$

Grundeigenschaften

In diesem Abschnitt und in den folgenden Einsen wird angenommen , dass a komplexer Vektor und wo sind reelle Vektoren , mit n  ≥ 1: Auch wird angenommen , dass die Teilmenge der als gedacht werden kann Domäne in dem realen euklidischen Raum oder in sein isomorphes komplexes Gegenstück Alle Beweise sind einfache Folgen von Definition 1 und Definition 2 und den entsprechenden Eigenschaften der Ableitungen (ordinär oder partiell ). ${\displaystyle z\in\mathbb{C}^{n}}$${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n})}$${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle \mathbb{R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb{C}^{n}.}$

Linearität

Lemma 1. Wenn und sind komplexe Zahlen , dann für die folgenden Gleichheiten halten ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega)}$${\displaystyle\alpha,\beta}$${\displaystyle i=1,\dots,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{ \partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i }}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac { \partial g}{\partial {\bar{z}}_{i}}}\end{ausgerichtet}}}$

Produktregel

Lemma 2. Wenn dann für die Produktregel gilt ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega),}$${\displaystyle i=1,\dots,n}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}} \cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}( f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial { \bar {z}}_{i}}}\end{ausgerichtet}}}$

Diese Eigenschaft impliziert, dass Wirtinger-Ableitungen Ableitungen vom Standpunkt der abstrakten Algebra sind , genau wie gewöhnliche Ableitungen .

Kettenregel

Diese Eigenschaft nimmt zwei verschiedene Formen jeweils für Funktionen eines und mehrere komplexen Variablen : für die n  > 1 Fall, die zum Ausdruck bringt Kettenregel in ihrer vollen Allgemeinheit es notwendig ist , zwei zu betrachten Domänen und und zwei Karten und mit natürlicher Glätte Anforderungen. ${\displaystyle \Omega '\subseteq\mathbb{C}^{m}}$${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle g:\Omega '\nach \Omega}$${\displaystyle f:\Omega \zu \Omega ''}$

Funktionen einer komplexen Variablen

Lemma 3.1 Wenn und dann die Kettenregel hält ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega),}$${\displaystyle g(\Omega)\subseteq\Omega,}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g \right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar{z}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({ \frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar{z}}}}+\left({\frac {\partial f }{\partial {\bar {z}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{ausgerichtet} }}$

Funktionen von n > 1 komplexen Variablen

Lemma 3.2 Wenn und dann für die folgende Form der Kettenregel gilt ${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega',\Omega)}$${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega''),}$${\displaystyle i=1,\dots,m}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\ links({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{ j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g \right)&=\sum_{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_ {j}}{\partial {\bar{z}}_{i}}}+\sum_{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}} \end{ausgerichtet}}}$

Konjugation

Lemma 4. Wenn dann für die folgenden Gleichungen gilt ${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega),}$${\displaystyle i=1,\dots,n}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar { f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i }}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{ausgerichtet}}}$

Siehe auch

• CR–Funktion
• Dolbeault-Komplex
• Dolbeault-Betreiber
• Pluriharmonische Funktion

Anmerkungen

Verweise