Duozylinder - Duocylinder

Stereographische Projektion des Kamms des Duozylinders (siehe unten), als flacher Torus . Der Grat dreht sich auf der XW-Ebene.

Der Duozylinder oder Doppelzylinder ist ein geometrisches Objekt, das in den 4- dimensionalen euklidischen Raum eingebettet ist , definiert als das kartesische Produkt zweier Scheiben mit den jeweiligen Radien r ₁ und r ₂ :

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z,w)\mid x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\ z^{2}+w ^{2}\leq r_{2}^{2}\right\}}$

Es ist analog zu einem Zylinder im 3-Raum, der das kartesische Produkt einer Scheibe mit einem Liniensegment ist . Aber im Gegensatz zum Zylinder sind beide Hyperflächen (eines regulären Duozylinders) deckungsgleich .

Sein Dual ist eine Duospindel, die aus zwei Kreisen aufgebaut ist, einer in der XY-Ebene und der andere in der ZW-Ebene.

Geometrie

Begrenzende 3-Mannigfaltigkeiten

Die duocylinder wird begrenzt durch zwei zueinander senkrecht 3- Verteilern mit Torus -ähnlichen Flächen , die jeweils durch die Formeln beschrieben ist :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}}$

und

${\displaystyle z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2}}$

Der Duozylinder wird so genannt, weil man sich diese beiden begrenzenden 3-Mannigfaltigkeiten als 3-dimensionale Zylinder vorstellen kann , die im 4-dimensionalen Raum 'umgebogen' sind, so dass sie geschlossene Schleifen in den XY- und ZW- Ebenen bilden . Der Duozylinder weist in diesen beiden Ebenen Rotationssymmetrie auf.

Ein regulärer Duozylinder besteht aus zwei kongruenten Zellen, einer quadratischen flachen Torusfläche (dem Grat), Nullkanten und Nulleckpunkten.

Der Grat

Der Kamm des Duozylinders ist die 2-Mannigfaltigkeit, die die Grenze zwischen den beiden begrenzenden (festen) Toruszellen darstellt. Es hat die Form eines Clifford-Torus , der das kartesische Produkt zweier Kreise ist. Intuitiv kann es wie folgt konstruiert werden: Rollen Sie ein 2-dimensionales Rechteck zu einem Zylinder, so dass sich seine Ober- und Unterkante treffen. Dann rollen Sie den Zylinder in der Ebene senkrecht zu der 3-dimensionalen Hyperebene, in der der Zylinder liegt, so dass sich seine beiden kreisförmigen Enden treffen.

Die resultierende Form ist topologisch äquivalent zu einem euklidischen 2- Torus (einer Donut-Form). Im Gegensatz zu letzterem sind jedoch alle Teile seiner Oberfläche gleich verformt. Beim Donut wird die Oberfläche um das „Donut-Loch“ mit negativer Krümmung verformt, während die Außenfläche mit positiver Krümmung verformt wird.

Der Grat des Duozylinders kann als die tatsächliche globale Form der Bildschirme von Videospielen wie Asteroids angesehen werden , bei denen der Rand einer Seite des Bildschirms zur anderen Seite führt. Es lässt sich nicht verzerrungsfrei in den 3-dimensionalen Raum einbetten, da es neben seiner inhärenten 2-dimensionalen Oberfläche zwei Freiheitsgrade benötigt, damit beide Kantenpaare verbunden werden können.

Der Duozylinder kann aus der 3-Kugel konstruiert werden, indem die Ausbuchtung der 3-Kugel auf beiden Seiten des Kamms "abgeschnitten" wird. Das Analogon dazu auf der 2-Sphäre besteht darin, kleinere Breitenkreise bei ±45 Grad zu zeichnen und die Ausbuchtung zwischen ihnen abzuschneiden, wodurch eine zylindrische Wand zurückbleibt und die Spitzen abgeschnitten werden, wobei flache Spitzen übrig bleiben. Diese Operation entspricht dem Entfernen ausgewählter Scheitelpunkte/Pyramiden aus Polytopen , aber da die 3-Sphäre glatt/regelmäßig ist, müssen Sie die Operation verallgemeinern.

Der Diederwinkel zwischen den beiden 3-D-Hyperflächen auf beiden Seiten des Kamms beträgt 90 Grad.

Projektionen

Parallele Projektionen des Duozylinders in den dreidimensionalen Raum und seine Querschnitte mit dem dreidimensionalen Raum bilden beide Zylinder. Perspektivische Projektionen des duocylinder Form Torus -ähnlichen Formen mit dem ‚Donut - Loch‘ ausgefüllt.

Beziehung zu anderen Formen

Der Duozylinder ist die begrenzende Form von Duoprismen, da die Anzahl der Seiten in den konstituierenden polygonalen Prismen gegen unendlich geht. Die Duoprismen dienen daher als gute polytopische Approximationen des Duozylinders.

Im 3-Raum kann ein Zylinder als Zwischenraum zwischen einem Würfel und einer Kugel betrachtet werden . Im 4-Raum gibt es drei Zwischenformen zwischen dem Tesserakt (1- Kugel × 1-Kugel × 1-Kugel × 1-Kugel) und der Hypersphäre (4- Kugel ). Sie sind:

• der Kubinder (2-Kugel × 1-Kugel × 1-Kugel), dessen Oberfläche aus vier zylindrischen Zellen und einem quadratischen Torus besteht.
• der Spherinder (3-Ball × 1-Ball), dessen Oberfläche aus drei Zellen besteht - zwei Kugeln und der Region dazwischen.
• der Duozylinder (2-Kugel × 2-Kugel), dessen Oberfläche aus zwei toroidalen Zellen besteht.

Der Duozylinder ist der einzige der oben genannten drei, der regelmäßig ist. Diese Konstruktionen entsprechen den fünf Partitionen von 4, der Anzahl der Dimensionen.

Siehe auch

• Clifford-Torus
• Duoprisma
• Flacher Torus
• Hopf-Fibration
• Verteiler

Verweise

• Die vierte Dimension einfach erklärt , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, New York. Erhältlich in der Bibliothek der University of Virginia. Auch online zugänglich: The Fourth Dimension Simply Explained – enthält eine Beschreibung von Duoprismen und Duozylindern (Doppelzylinder)
• Der visuelle Leitfaden für zusätzliche Dimensionen: Visualisierung der vierten Dimension, höherdimensionaler Polytope und gekrümmter Hyperflächen , Chris McMullen, 2008, ISBN  978-1438298924

Externe Links

• Rotachora (4-dimensionale Objekte mit kreisförmigen Oberflächen)
• Klassifikation der Rotatope
• Diagramme des Duozylinders projiziert in den dreidimensionalen Raum
• Erkunden des Hyperraums mit dem geometrischen Produkt

( Wayback-Maschinenkopie )