Hopf-Fibration - Hopf fibration

Die Hopf-Fibration kann durch eine stereographische Projektion von S ³ auf R ³ und anschließendes Komprimieren von R ³ zu einer Kugel visualisiert werden . Dieses Bild zeigt Punkte auf S ² und die entsprechenden Fasern mit derselben Farbe.

Paarweise verbundene Schlüsselanhänger imitieren einen Teil der Hopf-Fibration.

Auf dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie beschreibt die Hopf-Fibration (auch bekannt als Hopf-Bündel oder Hopf-Karte ) eine 3-Sphäre (eine Hypersphäre im vierdimensionalen Raum ) in Form von Kreisen und einer gewöhnlichen Kugel . 1931 von Heinz Hopf entdeckt , ist es ein einflussreiches frühes Beispiel für ein Faserbündel . Technisch hat Hopf eine stetige Viele-zu-Eins- Funktion (oder "Abbildung") von der 3- Sphäre auf die 2- Sphäre gefunden, so dass jeder einzelne Punkt der 2- Sphäre von einem bestimmten Großkreis der 3- Sphäre abgebildet wird ( Höpf 1931 ). Somit besteht die 3- Sphäre aus Fasern, wobei jede Faser ein Kreis ist – eine für jeden Punkt der 2- Sphäre.

Diese Faserbündelstruktur wird als bezeichnet

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2},}$

was bedeutet , dass der Faserraum S ¹ (ein Kreis) ist , eingebettet in dem Gesamtraum S ³ (die 3 -sphere) und p  :  S ³ → S ² (Hopf map) ragt S ³ auf den Basisraum S ² (der gewöhnlichen 2- Kugel). Die Hopf-Faser hat, wie jedes Faserbündel, die wichtige Eigenschaft, dass sie lokal ein Produktraum ist . Es ist jedoch kein triviales Faserbündel, dh S ³ ist nicht global ein Produkt von S ² und S ^{1 ,} obwohl es lokal davon nicht zu unterscheiden ist.

Dies hat viele Implikationen: Zum Beispiel zeigt die Existenz dieses Bündels, dass die höheren Homotopiegruppen von Sphären im Allgemeinen nicht trivial sind. Es liefert auch ein grundlegendes Beispiel für ein Hauptbündel , indem es die Faser mit der Kreisgruppe identifiziert .

Die stereographische Projektion der Hopf-Fibration induziert eine bemerkenswerte Struktur auf R ³ , in der der gesamte dreidimensionale Raum, mit Ausnahme der z-Achse, mit verschachtelten Tori aus verbindenden Villarceau-Kreisen gefüllt ist . Hier projiziert jede Faser zu einem Kreis im Raum (von denen eine eine Linie ist, die als "Kreis durch die Unendlichkeit" gedacht ist). Jeder Torus ist die stereographische Projektion des inversen Bildes eines Breitenkreises der 2- Sphäre. (Topologisch ist ein Torus das Produkt zweier Kreise.) Diese Tori sind in den Bildern rechts dargestellt. Wenn R ³ auf den Rand einer Kugel komprimiert wird, geht etwas geometrische Struktur verloren, obwohl die topologische Struktur beibehalten wird (siehe Topologie und Geometrie ). Die Schleifen sind homöomorph zu Kreisen, obwohl sie keine geometrischen Kreise sind .

Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Hopf-Fibration. Die Einheitskugel im komplexen Koordinatenraum C ^{n +1} Fasern natürlich über dem komplexen projektiven Raum CP ⁿ mit Kreisen als Fasern, und es gibt auch reelle , quaternionische und oktonionische Versionen dieser Fasern . Insbesondere gehört die Hopf-Faser zu einer Familie von vier Faserbündeln, bei denen Gesamtraum, Grundraum und Faserraum alle Kugeln sind:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

Nach dem Satz von Adams können solche Fibrationen nur in diesen Dimensionen auftreten.

Die Hopf-Faser ist in der Twistor-Theorie wichtig .

Definition und Konstruktion

Für jede natürliche Zahl n kann eine n- dimensionale Kugel oder n-Kugel als die Menge von Punkten in einem dimensionalen Raum definiert werden, die einen festen Abstand von einem zentralen Punkt haben . Der Konkretheit halber kann der Mittelpunkt als Ursprung angenommen werden , und der Abstand der Punkte auf der Kugel von diesem Ursprung kann als Längeneinheit angenommen werden. Nach dieser Konvention besteht die n- Sphäre, , aus den Punkten in mit x ₁ ²  +  x ₂ ²  + ⋯+  x _{n + 1} ²  = 1. Zum Beispiel besteht die 3- Sphäre aus den Punkten ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) in R ⁴ mit x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1. ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1})}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n+1}}$

Die Hopf-Fibration p : S ³ → S ² der 3- Sphäre über der 2- Sphäre kann auf verschiedene Weise definiert werden.

Direktbau

Identifizieren Sie R ⁴ mit C ² und R ³ mit C × R (wobei C die komplexen Zahlen bezeichnet ), indem Sie schreiben:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_ {3}+ix_{4})}$

und

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Somit wird S ³ mit der Teilmenge aller ( z ₀ , z ₁ ) in C ² identifiziert , so dass | z ₀ | ² + | z ₁ | ²  = 1 , und S ² wird mit der Teilmenge aller ( z , x ) in C × R identifiziert , so dass | z | ²  +  x ² = 1 . (Hier gilt für eine komplexe Zahl z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , wobei der Stern die komplex Konjugierte bezeichnet .) Dann ist die Hopf-Fibration p definiert durch

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast},\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_ {1}\rechts|^{2}).}$

Die erste Komponente ist eine komplexe Zahl, während die zweite Komponente reell ist. Jeder Punkt auf der 3- Sphäre muss die Eigenschaft haben, dass | z ₀ | ²  + | z ₁ | ²  = 1 . Wenn dem so ist, dann liegt p ( z ₀ , z ₁ ) auf der Einheit 2 -Sphäre in C × R , wie man durch Quadrieren der komplexen und reellen Komponenten von p

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}- \left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2 }+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left| z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2 }=1}$

Wenn außerdem zwei Punkte auf der 3-Sphäre auf denselben Punkt auf der 2-Sphäre abgebildet werden, dh wenn p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , dann ( w ₀ , w ₁ ) betragen muss ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) für einige komplexe Zahl λ mit | & lgr; | ²  = 1 . Das Umgekehrte gilt auch; zwei beliebige Punkte auf der 3- Sphäre, die sich durch einen gemeinsamen komplexen Faktor λ unterscheiden, werden auf denselben Punkt auf der 2- Sphäre abgebildet. Diese Schlussfolgerungen folgen, weil der komplexe Faktor λ mit seinem komplex Konjugierten λ ^∗ in beiden Teilen von p aufhebt : in der komplexen 2 z ₀ z ₁ ^∗ Komponente und in der reellen Komponente | z ₀ | ²  − | z ₁ | ² .

Da die Menge der komplexen Zahlen λ mit | & lgr; | ²  = 1 den Einheitskreis in der komplexen Ebene bilden, folgt daraus, dass für jeden Punkt m in S ² das Umkehrbild p ⁻¹ ( m ) ein Kreis ist, dh p ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Somit wird die 3- Kugel als disjunkte Vereinigung dieser kreisförmigen Fasern realisiert.

Eine direkte Parametrisierung der 3- Sphäre unter Verwendung der Hopf-Karte ist wie folgt.

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi_{1}+\xi_{2}}{2}}}\sin \eta}$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi_{2}-\xi_{1}}{2}}}\cos \eta .}$

oder im euklidischen R ⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi_{1}+\xi_{2}}{2}}\right)\sin \eta}$

${\displaystyle x_{2}=\sin\left({\frac {\xi_{1}+\xi_{2}}{2}}\right)\sin\eta}$

${\displaystyle x_{3}=\cos\left({\frac{\xi_{2}-\xi_{1}}{2}}\right)\cos\eta}$

${\displaystyle x_{4}=\sin\left({\frac {\xi_{2}-\xi_{1}}{2}}\right)\cos \eta}$

Wo η verläuft über den Bereich von 0 bis & pgr; / 2 , ξ ₁ verläuft über den Bereich von 0 und 2 π und ξ ₂ beliebige Werte annehmen kann zwischen 0 und 4 π . Jeder Wert von η , außer 0 und π /2, die Kreise angeben, gibt einen separaten flachen Torus in der 3- Sphäre an, und eine Rundfahrt ( 0 bis 4 π ) von entweder ξ ₁ oder ξ ₂ führt dazu, dass Sie einen Vollkreis machen beider Schenkel des Torus.

Eine Abbildung der obigen Parametrisierung auf die 2- Sphäre ist wie folgt, wobei Punkte auf den Kreisen durch ξ ₂ parametrisiert sind .

${\displaystyle z=\cos(2\eta)}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta)\cos\xi_{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta)\sin\xi_{1}}$

Geometrische Interpretation mit der komplexen projektiven Linie

Eine geometrische Interpretation der Faserung kann unter Verwendung der erhalten werden komplexe projektive Linie , CP ¹ , das die Menge aller komplexen eindimensionalen definiert werden soll Subräume von C ² . In äquivalenter, CP ¹ ist der Quotient aus C ² \ {0} von der Äquivalenzbeziehung identifiziert , ( z ₀ , z ₁ ) mit ( λ z ₀ , λ z ₁ ) für jeden Nicht - Null - komplexe Zahl λ . Auf jeder komplexen Geraden in C ² gibt es einen Kreis der Einheitsnorm, und so ist die Beschränkung der Quotientenabbildung auf die Punkte der Einheitsnorm eine Faserung von S ³ über CP ¹ .

CP ¹ ist diffeomorph zu einer 2 -Sphäre: tatsächlich kann sie mit der Riemannschen Kugel C _∞ = C ∪ {∞} identifiziert werden, die die Einpunkt-Kompaktifizierung von C ist (erhalten durch Hinzufügen eines Punktes im Unendlichen ). Dieobenfür p angegebene Formeldefiniert einen expliziten Diffeomorphismus zwischen der komplexen projektiven Linie und der gewöhnlichen 2- Sphäre im 3- dimensionalen Raum. Alternativ kann der Punkt ( z ₀ , z ₁ ) auf das Verhältnis z ₁ / z ₀ in der Riemannschen Kugel C _∞ abgebildet werden.

Faserbündelstruktur

Die Hopf- Faser definiert ein Faserbündel mit Bündelprojektion p . Dies bedeutet, dass er eine "lokale Produktstruktur" hat, in dem Sinne, dass jeder Punkt der 2- Sphäre eine Umgebung U hat, deren Umkehrbild in der 3- Sphäre mit dem Produkt von U und einem Kreis identifiziert werden kann : p ⁻¹ ( U )  U × S ¹ . Eine solche Fibration wird als lokal trivial bezeichnet .

Für die Hopf-Fibration genügt es, einen einzelnen Punkt m aus S ² und den entsprechenden Kreis p ⁻¹ ( m ) aus S ³ zu entfernen ; also kann man U = S ² \{ m } nehmen , und jeder Punkt in S ² hat eine Umgebung dieser Form.

Geometrische Interpretation durch Drehungen

Eine andere geometrische Interpretation der Hopf-Faser kann erhalten werden, indem man Rotationen der 2 -Kugel im gewöhnlichen 3 -dimensionalen Raum betrachtet. Die Drehgruppe SO (3) hat einen Doppeldeckel , die Spin - Gruppe Spin (3) , diffeomorph zum 3 -sphere. Die Spingruppe wirkt transitiv auf S ² durch Rotationen. Der Stabilisator eines Punktes ist isomorph zur Kreisgruppe . Daraus folgt leicht, dass die 3- Sphäre ein Hauptkreisbündel über der 2- Sphäre ist, und dies ist die Hopf-Fibration.

Um dies noch deutlicher, gibt es zwei Ansätze: die Gruppe Spin (3) kann entweder identifiziert wird mit der Gruppe Sp (1) der Einheit Quaternionen , oder mit der speziellen unitären Gruppe SU (2) .

Im ersten Ansatz wird ein Vektor ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) in R ⁴ als Quaternion q ∈ H interpretiert, indem man

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf{i}x_{2}+\mathbf{j}x_{3}+\mathbf{k}x_{4}.\,\!}$

Die 3- Sphäre wird dann mit den Versoren identifiziert , den Quaternionen der Einheitsnorm, denjenigen q ∈ H, für die | q | ² = 1 , wobei | q | ² = qq ^∗ , was gleich x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² für q wie oben ist.

Andererseits kann ein Vektor ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) in R ³ als imaginäres Quaternion interpretiert werden

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Dann ist, wie seit Cayley (1845) bekannt , die Kartierung

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

ist eine Drehung in R ³ : in der Tat ist es eindeutig eine Isometrie , da | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ² , und es ist nicht schwer zu überprüfen, ob er die Orientierung beibehält.

Tatsächlich identifiziert dies die Gruppe der Versoren mit der Gruppe der Drehungen von R ³ , modulo die Tatsache, dass die Versoren q und − q dieselbe Drehung bestimmen. Wie oben angemerkt, wirken die Drehungen transitiv auf S ² , und die Menge der Versoren q, die einen gegebenen rechten Versor p fixieren, haben die Form q = u + v p , wobei u und v reelle Zahlen mit u ² + v ² = 1 . sind . Dies ist eine Kreisuntergruppe. Der Konkretheit halber kann man p = k nehmen , und dann kann die Hopf-Fibration als die Abbildung definiert werden, die einen Versor ω nach ω k ω ^∗ sendet . Alle Quaternionen ωq , wobei q einer der Versoren ist, die k fixieren , werden auf dasselbe abgebildet (was zufällig eine der beiden 180° -Drehungen ist, die k an dieselbe Stelle drehen wie ω ).

Eine andere Möglichkeit, diese Fibration zu betrachten, besteht darin, dass jeder Versor ω die von {1, k } aufgespannte Ebene in eine neue von { ω , ωk } aufgespannte Ebene verschiebt . Jede Quaternion ωq , wobei q einer der Versoren ist, die k fixieren , hat den gleichen Effekt. Wir fassen all dies in einer Faser zusammen, und die Fasern können eins zu eins auf die 2- Sphäre mit 180° -Drehungen abgebildet werden, was dem Bereich von ωkω ^{* entspricht} .

Dieser Ansatz bezieht sich auf die direkte Konstruktion, indem ein Quaternion q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ mit der 2×2- Matrix identifiziert wird:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf{i}x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Dies identifiziert die Gruppe der Versoren mit SU(2) und die imaginären Quaternionen mit den schief-hermiteschen 2×2- Matrizen (isomorph zu C × R ).

Explizite Formeln

Die durch eine Einheitsquaternion induzierte Drehung q = w + i x + j y + k z ist explizit durch die orthogonale Matrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x ^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{ bmatrix}}.}$

Hier finden wir eine explizite reelle Formel für die Bündelprojektion, indem wir beachten, dass sich der feste Einheitsvektor entlang der z- Achse (0,0,1) zu einem anderen Einheitsvektor dreht,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big)},\,\!}$

die eine stetige Funktion von ( w , x , y , z ) ist . Das heißt, das Bild von q ist der Punkt auf der 2- Sphäre, an dem es den Einheitsvektor entlang der z- Achse sendet . Die Faser für einen gegebenen Punkt auf S ² besteht aus all den Einheitsquaternionen, die den Einheitsvektor dorthin senden.

Wir können auch eine explizite Formel für die Faser über einem Punkt ( a , b , c ) in S ² schreiben . Die Multiplikation von Einheitsquaternionen erzeugt eine Zusammensetzung von Rotationen, und

${\displaystyle q_{\theta}=\cos\theta+\mathbf{k}\sin\theta}$

ist eine Drehung um 2 θ um die z- Achse. Da θ variiert, überstreicht dies einen Großkreis von S ³ , unserer prototypischen Faser. Solange der Basispunkt ( a , b , c ) nicht der Antipode ist, (0, 0, −1) , ist das Quaternion

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a )}$

sendet (0, 0, 1) an ( a , b , c ) . Somit ist die Faser von ( a , b , c ) durch Quaternionen der Form q _{( a , b , c )} q _θ , die die S ³ -Punkte sind, gegeben

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Groß (}(1+c)\cos(\theta),a\sin(\theta)-b\cos (\theta),a\cos(\theta)+b\sin(\theta),(1+c)\sin(\theta){\Big)}.\,\!}$

Da die Multiplikation mit q _{( a , b , c )} als Rotation des Quaternionenraums wirkt, ist die Faser nicht nur ein topologischer Kreis, sondern ein geometrischer Kreis.

Die endgültige Faser für (0, 0, −1) kann gegeben werden, indem q _{(0,0, −1)} gleich i definiert wird , wodurch

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta),-\sin(\theta),0{\Big)},}$

was das Bündel vervollständigt. Beachten Sie jedoch, dass diese Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen S ³ und S ² × S ¹ auf diesem Kreis nicht stetig ist, was die Tatsache widerspiegelt, dass S ³ topologisch nicht äquivalent zu S ² × S ^{1 ist} .

Somit ist eine einfache Möglichkeit, die Hopf-Fibration zu visualisieren, wie folgt. Jeder Punkt auf der 3- Sphäre entspricht einem Quaternion , das wiederum einer bestimmten Drehung eines kartesischen Koordinatensystems in drei Dimensionen entspricht. Die Menge aller möglichen Quaternionen ergibt die Menge aller möglichen Drehungen, die die Spitze eines Einheitsvektors eines solchen Koordinatensystems (zB des z- Vektors) zu allen möglichen Punkten auf einer Einheit 2 -Kugel bewegt. Durch das Festlegen der Spitze des z- Vektors wird die Drehung jedoch nicht vollständig spezifiziert; eine weitere Drehung um die z - Achse ist möglich . Somit wird die 3- Sphäre auf die 2- Sphäre abgebildet, plus einer einzigen Drehung.

Die Drehung kann mit den Eulerwinkeln θ, φ und ψ dargestellt werden. Das Hopf-Mapping bildet die Drehung auf den durch θ und φ gegebenen Punkt auf der 2-Kugel ab, und der zugehörige Kreis wird durch ψ parametrisiert. Beachten Sie, dass bei θ = π die Euler-Winkel φ und ψ einzeln nicht wohldefiniert sind, sodass wir keine Eins-zu-Eins-Abbildung (oder eine Eins-zu-Zwei-Abbildung) zwischen den 3-Torus von (θ, φ , ) und S ³ .

Strömungsmechanik

Behandelt man die Hopf-Fibration als Vektorfeld im dreidimensionalen Raum, dann gibt es eine Lösung der (kompressiblen, nicht viskosen) Navier-Stokes-Gleichungen der Fluiddynamik, in denen das Fluid entlang der Kreise der Projektion der Hopf-Fibration strömt im dreidimensionalen Raum. Die Größe der Geschwindigkeiten, die Dichte und der Druck können an jedem Punkt gewählt werden, um die Gleichungen zu erfüllen. Alle diese Größen fallen vom Zentrum weg auf Null. Wenn a der Abstand zum Innenring ist, sind die Geschwindigkeiten, Druck- und Dichtefelder gegeben durch:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2 }\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{ -3},}$

${\displaystyle \rho(x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

für beliebige Konstanten A und B . Ähnliche Feldmuster finden sich als Solitonenlösungen der Magnetohydrodynamik :

Verallgemeinerungen

Die Hopf-Konstruktion, betrachtet als Faserbündel p : S ³ → CP ¹ , lässt mehrere Verallgemeinerungen zu, die auch oft als Hopf-Fibrationen bezeichnet werden. Erstens kann man die projektive Linie durch einen n- dimensionalen projektiven Raum ersetzen . Zweitens kann man die komplexen Zahlen durch eine beliebige (reelle) Divisionsalgebra ersetzen , einschließlich (für n = 1) die Oktonionen .

Echte Hopf-Fasern

Eine reale Version der Hopf-Fibration erhält man, indem man den Kreis S ¹ in üblicher Weise als Teilmenge von R ^{2 betrachtet} und antipodale Punkte identifiziert. Dies ergibt ein Faserbündel S ¹ → RP ¹ über der reellen projektiven Linie mit Faser S ⁰ = {1, −1}. So wie CP ¹ zu einer Kugel diffeomorph ist, ist RP ¹ zu einem Kreis diffeomorph.

Allgemeiner gesagt , die n- Kugel S ⁿ Fasern über dem realen projektiven Raum RP ⁿ mit der Faser S ⁰ .

Komplexe Hopf-Fasern

Die Hopf-Konstruktion liefert Kreisbündel p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ über dem komplexen projektiven Raum . Dies ist eigentlich die Beschränkung des tautologischen Linienbündels über CP ⁿ auf die Einheitssphäre in C ^{n +1} .

Quaternionische Hopf-Fasern

In ähnlicher Weise kann man S ^{4 n+3} als in H ⁿ⁺¹ ( quaternionischer n- Raum) liegend betrachten und durch Multiplikation mit Einheitsquaternionen (= S ³ ) herausrechnen, um den quaternionischen projektiven Raum HP ^{n zu erhalten} . Da S ⁴ = HP ^{1 ist} , gibt es insbesondere ein Bündel S ⁷ → S ⁴ mit der Faser S ³ .

Oktonionische Hopf-Fasern

Ein ähnlicher Aufbau mit den Oktonionen ergibt ein Bündel S ¹⁵ → S ⁸ mit Faser S ⁷ . Aber die Kugel S ³¹ fasert nicht über S ¹⁶ mit Faser S ¹⁵ . Man kann S ⁸ als die oktonionische projektive Linie OP ^{1 betrachten} . Obwohl man auch eine oktonionische projektive Ebene OP ² definieren kann, fasert die Kugel S ²³ nicht über OP ² mit der Faser S ⁷ .

Fasern zwischen den Kugeln

Manchmal ist der Begriff "Hopf-Fibration" auf die oben erhaltenen Fibrationen zwischen Kugeln beschränkt, die

• S ¹ → S ¹ mit Faser S ⁰
• S ³ → S ² mit Faser S ¹
• S ⁷ → S ⁴ mit Faser S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ mit Faser S ⁷

Als Folge des Satzes von Adams können Faserbündel mit Kugeln als Gesamtraum, Grundraum und Faser nur in diesen Dimensionen vorkommen. Faserbündel mit ähnlichen Eigenschaften, die sich jedoch von den Hopf-Fasern unterscheiden, wurden von John Milnor verwendet , um exotische Kugeln zu konstruieren .

Geometrie und Anwendungen

Die Fasern der Hopf-Fibration projizieren stereographisch auf eine Familie von Villarceau-Kreisen in R ³ .

Die Hopf-Fibration hat viele Implikationen, einige rein attraktiv, andere tiefer. Beispielsweise induziert die stereographische Projektion S ³ → R ³ eine bemerkenswerte Struktur in R ³ , die wiederum die Topologie des Bündels beleuchtet ( Lyons 2003 ). Die stereographische Projektion bewahrt Kreise und bildet die Hopf-Fasern auf geometrisch perfekte Kreise in R ^{3 ab,} die den Raum ausfüllen. Hier gibt es eine Ausnahme: Der Hopf-Kreis, der den Projektionspunkt enthält, wird auf eine Gerade im R ³ abgebildet – ein „Kreis durch die Unendlichkeit“.

Die Fasern über einen Breitenkreis auf S ² bilden einen Torus in S ³ (topologisch ist ein Torus das Produkt zweier Kreise) und diese projizieren zu verschachtelten Torus in R ^3, die ebenfalls den Raum ausfüllen. Die einzelnen Fasern bilden die verbindenden Villarceau-Kreise auf diesen Tori ab, mit Ausnahme des Kreises durch den Projektionspunkt und der einen durch seinen gegenüberliegenden Punkt : erstere wird auf eine gerade Linie abgebildet , letztere auf einen Einheitskreis, der senkrecht und zentriert auf , diese Linie, die als entarteter Torus angesehen werden kann, dessen kleiner Radius auf Null geschrumpft ist. Jedes andere Faserbild umkreist die Linie ebenfalls, und so ist jeder Kreis symmetrisch durch jeden Kreis verbunden, sowohl in R ³ als auch in S ³ . Zwei solche Verknüpfungskreise bilden einen Hopf-Link in R ³

Hopf hat bewiesen, dass die Hopf-Abbildung die Hopf-Invariante 1 hat und daher nicht null-homotop ist . Tatsächlich erzeugt es die Homotopiegruppe π ₃ ( S ² ) und hat unendliche Ordnung.

In der Quantenmechanik ist die Riemann-Kugel als Bloch-Kugel bekannt , und die Hopf-Fibration beschreibt die topologische Struktur eines quantenmechanischen Zwei-Ebenen-Systems oder Qubits . In ähnlicher Weise ist die Topologie eines Paares verschränkter Zwei-Niveau-Systeme durch die Hopfsche Fibration gegeben

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

( Mosseri & Dandoloff 2001 ).

Die Hopf-Fibration entspricht der Faserbündelstruktur des Dirac-Monopols .

Anmerkungen

Verweise

• Cayley, Arthur (1845), "Über bestimmte Ergebnisse in Bezug auf Quaternionen" , Philosophical Magazine , 26 (171): 141-145, doi : 10.1080/1478644508562684; abgedruckt als Artikel 20 in Cayley, Arthur (1889), The collect mathematisch papers of Arthur Cayley , I, (1841–1853), Cambridge University Press , S. 123–126
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf der Kugelfläche" , Mathematische Annalen , Berlin: Springer , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN  0025-5831 , S2CID  123533891
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae , Warschau: Polish Acad. Sci., 25 : 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736
• Lyons, David W. (April 2003), "An Elementary Introduction to the Hopf Fibration" (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, doi : 10.2307/3219300 , ISSN  0025-570X , JSTOR  3219300
• Mosseri, R.; Dandoloff, R. (2001), "Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , Bibcode : 2001JPhA ...3410243M , doi : 10.1088/0305-4470/34/47/324 , S2CID  119462869.
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , PMS 14, Princeton University Press (veröffentlicht 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, HK (2003), "The Hopf fibration-seven times in physics", Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP....46..125U , doi : 10.1016/S0393 -0440(02)00121-3
• Zamboj, Michal (8. Januar 2021). „Synthetische Konstruktion der Hopf-Fibration in der doppelten orthogonalen Projektion des 4-Raums“. arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

Externe Links

• "Hopffibration" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Dimensionsmathematik Kapitel 7 und 8 veranschaulichen die Hopf-Fibration mit animierten Computergrafiken.
• Eine elementare Einführung in die Hopf-Fibration von David W. Lyons ( PDF )
• YouTube-Animation mit dynamischer Zuordnung von Punkten auf der 2-Sphäre zu Kreisen in der 3-Sphäre von Professor Niles Johnson.
• YouTube-Animation zum Bau der 120-Zelle Von Gian Marco Todesco zeigt die Hopf-Fibration der 120-Zelle.
• Video eines 30-Zellen-Rings der 600-Zellen von http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ .
• Interaktive Visualisierung der Abbildung von Punkten auf der 2-Sphäre auf Kreise in der 3-Sphäre