Integrierbares System - Integrable system

In der Mathematik ist Integrabilität eine Eigenschaft bestimmter dynamischer Systeme . Obwohl es mehrere verschiedene formale Definitionen gibt, ist ein integrierbares System informell gesprochen ein dynamisches System mit genügend vielen Erhaltungsgrößen oder ersten Integralen , so dass sein Verhalten weit weniger Freiheitsgrade hat als die Dimensionalität seines Phasenraums ; das heißt, seine Evolution ist auf eine Untermannigfaltigkeit innerhalb seines Phasenraums beschränkt.

Drei Merkmale werden häufig als charakterisierende integrierbare Systeme bezeichnet:

  • die Existenz einer maximalen Menge von Erhaltungsgrößen (die übliche Definitionseigenschaft der vollständigen Integrierbarkeit )
  • die Existenz von algebraischen Invarianten, die eine Basis in der algebraischen Geometrie haben (eine Eigenschaft, die manchmal als algebraische Integrabilität bekannt ist )
  • die explizite Bestimmung von Lösungen in einer expliziten funktionalen Form (keine intrinsische Eigenschaft, aber oft als Lösbarkeit bezeichnet )

Integrierbare Systeme können hinsichtlich ihres qualitativen Charakters als sehr unterschiedlich von generischen dynamischen Systemen angesehen werden, bei denen es sich eher um chaotische Systeme handelt . Letztere haben im Allgemeinen keine Erhaltungsgrößen und sind asymptotisch hartnäckig, da eine beliebig kleine Störung der Anfangsbedingungen zu beliebig großen Abweichungen ihrer Trajektorien über ausreichend lange Zeit führen kann.

Vollständige Integrierbarkeit ist somit eine nicht generische Eigenschaft dynamischer Systeme. Dennoch sind viele in der Physik untersuchte Systeme vollständig integrierbar, insbesondere im Hamiltonschen Sinne, das wichtigste Beispiel sind mehrdimensionale harmonische Oszillatoren. Ein weiteres Standardbeispiel ist die Planetenbewegung um entweder ein festes Zentrum (zB die Sonne) oder zwei. Andere elementare Beispiele sind die Bewegung eines starren Körpers um seinen Massenmittelpunkt (der Eulersche Kreisel ) und die Bewegung eines axialsymmetrischen starren Körpers um einen Punkt in seiner Symmetrieachse (der Lagrangesche Kreisel ).

Die moderne Theorie integrierbarer Systeme wurde 1965 mit der numerischen Entdeckung von Solitonen durch Martin Kruskal und Norman Zabusky wiederbelebt , die 1967 zur Methode der inversen Streuungstransformation führte . Es wurde erkannt, dass es in der Physik vollständig integrierbare Systeme mit unendlich vielen . gibt Freiheitsgrade, wie einige Modelle von Flachwasserwellen ( Korteweg-de-Vries-Gleichung ), der Kerr-Effekt in optischen Fasern, beschrieben durch die nichtlineare Schrödinger-Gleichung , und bestimmte integrierbare Vielteilchensysteme, wie das Toda-Gitter .

Im Spezialfall von Hamilton-Systemen, wenn es genügend unabhängige Poisson-kommutierende erste Integrale für die Strömungsparameter gibt, um als Koordinatensystem auf den invarianten Niveaumengen (den Blättern der Lagrange-Foliation ) dienen zu können, und wenn die Strömungen vollständig sind und die Energieniveaumenge kompakt ist, impliziert dies den Satz von Liouville-Arnold ; dh die Existenz von Aktionswinkelvariablen . Allgemeine dynamische Systeme haben keine solchen Erhaltungsgrößen; Bei autonomen Hamilton- Systemen ist die Energie im Allgemeinen die einzige, und auf den Energieniveaumengen sind die Flüsse typischerweise chaotisch.

Ein Schlüsselbestandteil bei der Charakterisierung integrierbarer Systeme ist der Frobenius-Satz , der besagt, dass ein System Frobenius-integrierbar ist (dh durch eine integrierbare Verteilung erzeugt wird), wenn es lokal eine Folierung durch maximale ganzzahlige Mannigfaltigkeiten aufweist. Aber Integrierbarkeit im Sinne dynamischer Systeme ist eine globale Eigenschaft, keine lokale, da sie eine regelmäßige Foliation mit eingebetteten Untermannigfaltigkeiten in den Blättern erfordert.

Integrierbare Systeme haben nicht unbedingt Lösungen, die sich in geschlossener Form oder in speziellen Funktionen ausdrücken lassen ; im vorliegenden Sinne ist Integrierbarkeit eine Eigenschaft der Geometrie oder Topologie der Lösungen des Systems im Phasenraum.

Allgemeine dynamische Systeme

Im Kontext differenzierbarer dynamischer Systeme bezieht sich der Begriff der Integrierbarkeit auf die Existenz von invarianten, regelmäßigen Schieferungen ; dh solche, deren Blätter eingebettete Untermannigfaltigkeiten der kleinstmöglichen Dimension sind, die unter der Strömung invariant sind . Es gibt somit eine variable Vorstellung vom Grad der Integrierbarkeit, abhängig von der Dimension der Blätter der invarianten Belaubung. Eine Verfeinerung hat dieses Konzept bei Hamiltonschen Systemen , die als vollständige Integrierbarkeit im Sinne von Liouville (siehe unten) bekannt ist und in diesem Zusammenhang am häufigsten genannt wird.

Eine Erweiterung des Integrabilitätsbegriffs ist auch auf diskrete Systeme wie Gitter anwendbar. Diese Definition kann angepasst werden, um Evolutionsgleichungen zu beschreiben, die entweder Systeme von Differentialgleichungen oder endliche Differenzengleichungen sind .

Die Unterscheidung zwischen integrierbaren und nichtintegrierbaren dynamischen Systemen hat die qualitative Implikation von regulärer Bewegung vs. chaotischer Bewegung und ist daher eine intrinsische Eigenschaft, nicht nur eine Frage der expliziten Integration eines Systems in exakter Form.

Hamiltonsche Systeme und Liouville-Integrabilität

Im speziellen Kontext von Hamiltonschen Systemen haben wir den Begriff der Integrierbarkeit im Sinne von Liouville . (Siehe den Satz von Liouville-Arnold .) Die Liouville-Integrabilität bedeutet, dass eine regelmäßige Folierung des Phasenraums durch invariante Mannigfaltigkeiten existiert, so dass die den Invarianten der Folierung zugeordneten Hamiltonschen Vektorfelder die Tangentenverteilung aufspannen. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, besteht darin, dass es eine maximale Menge von Poisson-kommutierenden Invarianten gibt (dh Funktionen auf dem Phasenraum, deren Poisson-Klammern mit dem Hamilton-Operator des Systems und untereinander verschwinden).

In endlichen Abmessungen, wenn der Phasenraum ist symplektischer (dh die Mitte des Poisson - Algebra besteht nur aus Konstanten), muss sie sogar Dimension aufweist , und die maximale Anzahl unabhängiger Poisson Pendel Invarianten (einschließlich dem Hamilton - Operator selbst) ist . Die Blätter der Foliation sind bezüglich der symplektischen Form total isotrop und eine solche maximal isotrope Foliation wird Lagrange genannt . Alle autonomen Hamilton-Systeme (dh diejenigen, für die die Hamilton- und Poisson-Klammern nicht explizit zeitabhängig sind) haben mindestens eine Invariante; nämlich der Hamilton-Operator selbst, dessen Wert entlang des Flusses die Energie ist. Wenn die Energieniveaumengen kompakt sind, sind die Blätter der Lagrange-Foliation tori, und die natürlichen linearen Koordinaten auf diesen werden "Winkel"-Variablen genannt. Die Zyklen der kanonischen Form werden Aktionsvariablen genannt, und die resultierenden kanonischen Koordinaten werden Aktionswinkelvariablen genannt (siehe unten).

Es gibt auch eine Unterscheidung zwischen vollständiger Integrierbarkeit im Sinne von Liouville und partieller Integrierbarkeit sowie den Begriff der Superintegrität und der maximalen Superintegrität. Im Wesentlichen entsprechen diese Unterscheidungen den Abmessungen der Blätter der Belaubung. Wenn die Anzahl unabhängiger Poisson-kommutierender Invarianten kleiner als maximal ist (bei autonomen Systemen jedoch mehr als eins), sagen wir, dass das System teilweise integrierbar ist. Wenn es über die maximale Zahl hinaus, die Poisson-kommutiert werden kann, weitere funktional unabhängige Invarianten existieren und daher die Dimension der Blätter der invarianten Schieferung kleiner als n ist, sagen wir, dass das System superintegrierbar ist . Liegt eine regelmäßige Belaubung mit eindimensionalen Blättern (Kurven) vor, so spricht man von maximal superintegrierbar.

Aktionswinkelvariablen

Wenn ein endlichdimensionales Hamilton-System im Sinne von Liouville vollständig integrierbar ist und die Energieniveaumengen kompakt sind, sind die Flüsse vollständig und die Blätter der invarianten Foliation sind tori . Es existieren dann, wie oben erwähnt, spezielle Sätze von kanonischen Koordinaten auf dem Phasenraum, die als Aktionswinkelvariablen bekannt sind , so dass die invarianten Tori die gemeinsamen Ebenensätze der Aktionsvariablen sind. Diese liefern somit einen vollständigen Satz von Invarianten des Hamiltonschen Flusses (Bewegungskonstanten), und die Winkelvariablen sind die natürlichen periodischen Koordinaten auf dem Torus. Die Bewegung auf den invarianten Tori, ausgedrückt durch diese kanonischen Koordinaten, ist in den Winkelvariablen linear.

Der Hamilton-Jacobi-Ansatz

In der kanonischen Transformationstheorie gibt es die Hamilton-Jacobi-Methode , bei der Lösungen der Hamilton-Gleichungen gesucht werden, indem zuerst eine vollständige Lösung der zugehörigen Hamilton-Jacobi-Gleichung gefunden wird . In der klassischen Terminologie wird dies als Bestimmung einer Transformation in einen kanonischen Koordinatensatz beschrieben, der aus völlig vernachlässigbaren Variablen besteht; dh diejenigen, bei denen es keine Abhängigkeit des Hamilton-Operators von einem vollständigen Satz kanonischer "Orts"-Koordinaten gibt und daher die entsprechenden kanonisch konjugierten Impulse alle Erhaltungsgrößen sind. Bei kompakten Energieniveausätzen ist dies der erste Schritt zur Bestimmung der Wirkwinkelgrößen . In der allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom Hamilton-Jacobi- Typ existiert in sehr allgemeinen Fällen eine vollständige Lösung (dh eine, die von n unabhängigen Integrationskonstanten abhängt , wobei n die Dimension des Konfigurationsraums ist), aber nur in den lokalen Sinn. Daher ist die Existenz einer vollständigen Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung keineswegs eine Charakterisierung der vollständigen Integrierbarkeit im Sinne von Liouville. Die meisten Fälle, die "explizit integriert" werden können, beinhalten eine vollständige Trennung von Variablen , wobei die Trennungskonstanten den vollständigen Satz von erforderlichen Integrationskonstanten liefern. Nur wenn diese Konstanten innerhalb des vollen Phasenraums als die Werte eines vollständigen Satzes von Poisson-Kommutierungsfunktionen, beschränkt auf die Blätter einer Lagrange-Foliation, uminterpretiert werden können, kann das System als vollständig integrierbar im Sinne von Liouville angesehen werden.

Solitonen und inverse Spektralmethoden

Ein Wiederaufleben des Interesses an klassischen integrierbaren Systemen kam in den späten 1960er Jahren mit der Entdeckung, dass Solitonen , die stark stabile, lokalisierte Lösungen partieller Differentialgleichungen wie der Korteweg-de-Vries-Gleichung sind (die eindimensionale nicht dissipative Fluiddynamik beschreibt) in flachen Becken) könnte verstanden werden, indem man diese Gleichungen als unendlichdimensionale integrierbare Hamilton-Systeme betrachtet. Ihre Studie führt zu einem sehr fruchtbaren Ansatz für die "Integration" solcher Systeme, der inversen Streutransformation und allgemeineren inversen Spektralmethoden (oft reduzierbar auf Riemann-Hilbert-Probleme ), die lokale lineare Methoden wie die Fourier-Analyse auf nichtlokale Linearisierung durch die Lösung verallgemeinern der zugehörigen Integralgleichungen.

Die Grundidee dieser Methode besteht darin, einen linearen Operator einzuführen, der durch die Position im Phasenraum bestimmt wird und sich unter der Dynamik des jeweiligen Systems so entwickelt, dass sein "Spektrum" (im angemessen verallgemeinerten Sinne) invariant ist unter der Entwicklung, vgl. Lockeres Paar . Dies stellt in bestimmten Fällen genügend Invarianten oder "Bewegungsintegrale" bereit, um das System vollständig integrierbar zu machen. Bei Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden wie der KdV-Gleichung reicht dies nicht aus, um die Eigenschaft der Liouville-Integrabilität präzisieren. Bei geeignet definierten Randbedingungen kann die Spektraltransformation jedoch tatsächlich als Transformation in völlig vernachlässigbare Koordinaten interpretiert werden , bei der die Erhaltungsgrößen die Hälfte einer doppelt unendlichen Menge kanonischer Koordinaten bilden und die Strömung in diesen linearisiert. In einigen Fällen kann dies sogar als Transformation in Aktionswinkelvariablen angesehen werden, obwohl typischerweise nur eine endliche Anzahl der "Positions"-Variablen tatsächlich Winkelkoordinaten sind und der Rest nicht kompakt ist.

Hirota bilineare Gleichungen und -Funktionen

Ein anderer Standpunkt, der in der modernen Theorie integrierbarer Systeme entstand, entstand in einem von Ryogo Hirota entwickelten rechnerischen Ansatz , der darin bestand, das ursprüngliche nichtlineare dynamische System durch ein bilineares System konstanter Koeffizientengleichungen für eine Hilfsgröße zu ersetzen, die später als bekannt wurde -Funktion . Diese werden jetzt als Hirota-Gleichungen bezeichnet . Obwohl es ursprünglich nur als Rechengerät erschien, ohne klaren Bezug zum Ansatz der inversen Streuung oder der Hamilton-Struktur, ergab dies dennoch eine sehr direkte Methode, aus der wichtige Lösungsklassen wie Solitonen abgeleitet werden konnten.

In der Folge wurde dies von Mikio Sato und seinen Schülern schön interpretiert, zunächst für den Fall integrierbarer Hierarchien von PDEs, wie der Kadomtsev-Petviashvili- Hierarchie, dann aber für viel allgemeinere Klassen integrierbarer Hierarchien, als eine Art universelle Phase Raum - Ansatz, bei dem, in der Regel wurden die Dynamik Pendeln einfach angesehen , wie durch eine feste (endlich oder unendlich) abelschen Gruppe Aktion auf einem (endlichen oder unendlichen) Graßmannschen Verteiler bestimmt. Die -Funktion wurde als Determinante eines Projektionsoperators von Elementen der Gruppenbahn zu einem Ursprung innerhalb des Grassmann- Operators angesehen , und die Hirota-Gleichungen als Ausdruck der Plucker-Beziehungen , die die Plücker-Einbettung des Grassmann- Operators in die Projektivisierung eines geeignet definierten ( unendlicher) Außenraum, betrachtet als fermionischer Fock-Raum .

Quantenintegrierbare Systeme

Es gibt auch einen Begriff von quantenintegrierbaren Systemen.

In der Quantenumgebung müssen Funktionen auf dem Phasenraum durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbert-Raum und der Begriff der Poisson-Kommutierungsfunktionen durch kommutierende Operatoren ersetzt werden. Der Begriff der Naturschutzgesetze muss auf lokale Naturschutzgesetze spezialisiert werden. Jeder Hamilton - Operator hat eine unendliche Reihe von Erhaltungsgrößen von Projektoren seiner Energie gegeben Eigenzuständen . Dies impliziert jedoch keine besondere dynamische Struktur.

Um die Quantenintegrität zu erklären, ist es hilfreich, die Einstellung freier Teilchen zu betrachten. Hier sind alle Dynamiken einkörperreduzierbar. Ein Quantensystem heißt integrierbar, wenn die Dynamik zweikörperreduzierbar ist. Die Yang-Baxter-Gleichung ist eine Konsequenz dieser Reduzierbarkeit und führt zu Spuridentitäten, die eine unendliche Menge von Erhaltungsgrößen liefern. All diese Ideen fließen in die Methode der quanteninversen Streuung ein, bei der der algebraische Bethe-Ansatz verwendet werden kann, um explizite Lösungen zu erhalten. Beispiele für quantenintegrierbare Modelle sind das Lieb-Liniger-Modell , das Hubbard-Modell und mehrere Variationen des Heisenberg-Modells . Bei explizit zeitabhängigen Quantenproblemen sind einige andere Arten der Quantenintegrierbarkeit bekannt, wie beispielsweise das getriebene Tavis-Cummings-Modell.

Exakt lösbare Modelle

In der Physik werden vollständig integrierbare Systeme, insbesondere im unendlich-dimensionalen Umfeld, oft als exakt lösbare Modelle bezeichnet. Dies verschleiert die Unterscheidung zwischen Integrierbarkeit im Hamiltonschen Sinne und dem allgemeineren Sinne dynamischer Systeme.

Auch in der statistischen Mechanik gibt es exakt lösbare Modelle, die enger mit quantenintegrierbaren Systemen verwandt sind als klassische. Zwei eng verwandte Methoden: Der Bethe-Ansatz im modernen Sinne auf der Grundlage der Yang-Baxter-Gleichungen und die Methode der quanteninversen Streuung liefern Quantenanaloga der inversen Spektralmethoden. Diese sind ebenso wichtig beim Studium lösbarer Modelle in der statistischen Mechanik.

Ein ungenauer Begriff von "exakter Lösbarkeit" im Sinne von: "Die Lösungen können explizit durch einige zuvor bekannte Funktionen ausgedrückt werden" wird manchmal auch verwendet, als ob dies eine intrinsische Eigenschaft des Systems selbst wäre und nicht die rein rechnerische Eigenschaft, dass wir haben zufällig einige "bekannte" Funktionen zur Verfügung, in denen die Lösungen ausgedrückt werden können. Dieser Begriff hat keine intrinsische Bedeutung, da das, was mit "bekannten" Funktionen gemeint ist, sehr oft genau dadurch definiert ist, dass sie bestimmten gegebenen Gleichungen genügen, und die Liste solcher "bekannter Funktionen" wächst ständig. Obwohl eine solche Charakterisierung von "Integrabilität" keine intrinsische Gültigkeit besitzt, impliziert sie oft die Art von Regelmäßigkeit, die in integrierbaren Systemen zu erwarten ist.

Liste einiger bekannter klassischer integrierbarer Systeme

Klassische mechanische Systeme (enddimensionaler Phasenraum)
Integrierbare Gittermodelle
Integrierbare PDEs in 2 + 1 Dimensionen

Siehe auch

Verwandte Bereiche

Einige wichtige Mitwirkende (seit 1965)

Verweise

Weiterlesen

Externe Links

Anmerkungen