Steiner Ellipse - Steiner ellipse

Die Steiner-Ellipse eines gleichschenkligen Dreiecks . Die drei Liniensegmente innerhalb des Dreiecks sind die Mediane des Dreiecks , die jeweils eine Seite halbieren . Die Mediane fallen am Schwerpunkt des Dreiecks zusammen , der auch das Zentrum der Steiner-Ellipse ist.

In der Geometrie ist die Steiner-Ellipse eines Dreiecks , zur Unterscheidung von der Steiner-Inellipse auch Steiner-Zirkellellipse genannt , die eindeutige Zirkumellipse ( Ellipse , die das Dreieck an seinen Eckpunkten berührt ), deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist . Benannt nach Jakob Steiner , ist es ein Beispiel für einen Zirkuskonischen . Im Vergleich dazu ist der Umkreis eines Dreiecks ein weiterer Umkreis, der das Dreieck an seinen Eckpunkten berührt, jedoch nicht auf dem Schwerpunkt des Dreiecks zentriert ist, es sei denn, das Dreieck ist gleichseitig .

Die Fläche der Steiner-Ellipse entspricht der Fläche der Dreieckszeiten und ist daher viermal so groß wie die Fläche der Steiner-Inellipse. Die Steiner-Ellipse hat die kleinste Fläche einer Ellipse, die um das Dreieck herum umschrieben ist. ${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}},}$

Die Steiner-Ellipse ist die skalierte Steiner-Inellipse (Faktor 2, Mitte ist der Schwerpunkt). Daher sind beide Ellipsen ähnlich (haben die gleiche Exzentrizität ).

Eigenschaften

Steiner-Ellipse eines gleichseitigen (links) und gleichschenkligen Dreiecks

Eine Steiner-Ellipse ist die einzige Ellipse, deren Mittelpunkt der Schwerpunkt eines Dreiecks ist und die Punkte enthält . Die Fläche der Steiner-Ellipse ist -fach der Fläche des Dreiecks. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle A, B, C}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {4 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}$

Beweis

A) Für ein gleichseitiges Dreieck ist die Steiner-Ellipse der Umkreis , der die einzige Ellipse ist, die die Voraussetzungen erfüllt. Die gewünschte Ellipse muss das Dreieck enthalten, das in der Mitte der Ellipse reflektiert wird. Dies gilt für den Umkreis. Ein Kegel wird eindeutig durch 5 Punkte bestimmt. Daher ist der Kreis die einzige Steiner-Ellipse.

B) Da ein beliebiges Dreieck das affine Bild eines gleichseitigen Dreiecks ist, ist eine Ellipse das affine Bild des Einheitskreises und der Schwerpunkt eines Dreiecks wird auf den Schwerpunkt des Bilddreiecks abgebildet, die Eigenschaft (eine eindeutige Zirkumellipse mit dem Schwerpunkt) als Zentrum) gilt für jedes Dreieck.

Die Fläche des Kreises eines gleichseitigen Dreiecks ist -fach der Fläche des Dreiecks. Eine affine Karte bewahrt das Flächenverhältnis. Daher gilt die Aussage zum Verhältnis für jedes Dreieck und seine Steiner-Ellipse. ${\ displaystyle {\ tfrac {4 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}$

Bestimmung von konjugierten Punkten

Eine Ellipse kann (per Computer oder von Hand) gezeichnet werden, wenn neben dem Zentrum mindestens zwei konjugierte Punkte auf konjugierten Durchmessern bekannt sind. In diesem Fall

entweder bestimmt man durch Rytz 'Konstruktion die Eckpunkte der Ellipse und zeichnet die Ellipse mit einem geeigneten Ellipsenkompass
oder verwendet eine parametrische Darstellung zum Zeichnen der Ellipse.

Schritte zur Bestimmung von Kongugatpunkten auf einer Steiner-Ellipse:
1) Transformation des Dreiecks in ein gleichschenkliges Dreieck
2) Bestimmung des Punktes, der mit (Schritte 1–5) konjugiert ist 3) Zeichnen der Ellipse mit konjugierten Halbdurchmessern

{\ displaystyle D}

{\ displaystyle C}

{\ displaystyle SC, SD}

Sei ein Dreieck und sein Schwerpunkt . Die Scherkartierung mit Achse durch und parallel zur Transformation des Dreiecks auf das gleichschenklige Dreieck (siehe Abbildung). Punkt ist ein Scheitelpunkt der Steiner-Ellipse des Dreiecks . Ein zweiter Scheitelpunkt dieser Ellipse liegt auf , weil senkrecht zu (Symmetriegründen). Dieser Scheitelpunkt kann aus den Daten bestimmt werden (Ellipse mit Mitte durch und , ) durch Berechnung . Es stellt sich heraus, dass ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle AB}$ ${\ displaystyle A'B'C '}$ ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle A'B'C '}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle SC '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle | A'B '| = c}$

{\ displaystyle | SD | = {\ frac {c} {\ sqrt {3}}} \.}

Oder durch Zeichnen : Mit der Methode von de la Hire (siehe mittleres Diagramm) wird der Scheitelpunkt der Steiner-Ellipse des gleichschenkligen Dreiecks bestimmt. ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle A'B'C '}$

Die inverse Scherkartierung wird auf und Punkt festgelegt, da es sich um einen Punkt auf der Scherachse handelt. Daher ist der Halbdurchmesser konjugiert mit . ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle SD}$ ${\ displaystyle SC}$

Mit Hilfe dieses Paares konjugierter Halbdurchmesser kann die Ellipse von Hand oder per Computer gezeichnet werden.

Parametrische Darstellung und Gleichung

Steiner-Ellipse eines Dreiecks einschließlich der Achsen und Verices (lila)

Gegeben: Dreieck gesucht: Parametrische Darstellung und Gleichung der Steiner-Ellipse ${\ displaystyle \ A = (a_ {1}, a_ {2}), \; B = (b_ {1}, b_ {2}), \; C = (c_ {1}, c_ {2})}$

Der Schwerpunkt des Dreiecks ist ${\ displaystyle \ S = ({\ tfrac {a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}} {3}, {\ tfrac {a_ {2} + b_ {2} + c_ {2}} {3}})\ .}$

Parametrische Darstellung:

Aus der Untersuchung des vorherigen Abschnitts ergibt sich die folgende parametrische Darstellung der Steiner-Ellipse:

${\ displaystyle \ {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ overrightarrow {OS}} \; + \; {\ overrightarrow {SC}} \; \ cos t \; + \; {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ overrightarrow {AB}} \; \ sin t \; \ quad 0 \ leq t <2 \ pi \;.}$

Die vier Eckpunkte der Ellipse sind, woher sie kommen ${\ displaystyle \ quad {\ vec {p}} (t_ {0}), \; {\ vec {p}} (t_ {0} \ pm {\ frac {\ pi} {2}}), \; {\ vec {p}} (t_ {0} + \ pi), \}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$

{\ displaystyle \ cot (2t_ {0}) = {\ frac {{\ vec {f}} _ {1} ^ {\, 2} - {\ vec {f}} _ {2} ^ {\, 2 }} {2 {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}}} \ quad}

mit (siehe Ellipse ).

{\ displaystyle \ quad {\ vec {f}} _ {1} = {\ vec {SC}}, \ quad {\ vec {f}} _ {2} = {\ frac {1} {\ sqrt {3 }}} {\ vec {AB}} \ quad}

Die Rollen der Punkte zur Bestimmung der parametrischen Darstellung können geändert werden.

Beispiel (siehe Abbildung) : . ${\ Anzeigestil A = (- 5, -5), B = (0,25), C = (20,0)}$

Steiner-Ellipse als Beispiel für "Gleichung"

Gleichung:

Wenn der Ursprung der Schwerpunkt des Dreiecks (Mittelpunkt der Steiner-Ellipse) ist, lautet die der parametrischen Darstellung entsprechende Gleichung ${\ textstyle {\ vec {x}} = {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + {\ vec {f}} _ {2} \ sin t}$

${\ displaystyle \ (xf_ {2y} -yf_ {2x}) ^ {2} + (yf_ {1x} -xf_ {1y}) ^ {2} - (f_ {1x} f_ {2y} -f_ {1y} f_ {2x}) ^ {2} = 0 \,}$

mit . ${\ displaystyle \ {\ vec {f}} _ {i} = (f_ {ix}, f_ {iy}) ^ {T} \}$

Beispiel: Der Schwerpunkt des Dreiecks ist der Ursprung. Aus den Vektoren erhält man die Gleichung der Steiner-Ellipse: ${\ displaystyle \ quad A = (- {\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {3}}, - {\ tfrac {3} {2}}), \ B = ({\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}, - {\ tfrac {3} {2}}), \ C = ({\ sqrt {3}}, 3) \ quad}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1} = ({\ sqrt {3}}, 3) ^ {T}, \ {\ vec {f}} _ {2} = (2,0) ^ {T} \}$

{\ displaystyle 9x ^ {2} + 7y ^ {2} -6 {\ sqrt {3}} xy-36 = 0 \.}

Bestimmung der Halbachsen und der linearen Exzentrizität

Wenn die Eckpunkte bereits bekannt sind (siehe oben), können die Halbachsen bestimmt werden. Wenn man sich nur für die Achsen und die Exzentrizität interessiert, ist die folgende Methode besser geeignet:

Sei die Halbachse der Steiner-Ellipse. Aus dem Apollonios-Theorem über die Eigenschaften konjugierter Halbdurchmesser von Ellipsen erhält man: ${\ displaystyle a, b, \; a> b}$

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = {\ vec {SC}} ^ {2} + {\ vec {SD}} ^ {2} \, \ quad a \ cdot b = \ left | \ det ({\ vec {SC}}, {\ vec {SD}}) \ right | \.}

Bezeichnet man die rechten Seiten der Gleichungen durch und jeweils und das nicht lineare Systems Transformieren (Achtung ) führt zu: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle a> b> 0}$

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = M, \ ab = N \ quad \ rightarrow \ quad a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = M + 2N, \ a ^ {2 } -2ab + b ^ {2} = M-2N}

{\ displaystyle \ rightarrow \ quad (a + b) ^ {2} = M + 2N, \ (ab) ^ {2} = M-2N \ quad \ rightarrow \ quad a + b = {\ sqrt {M + 2N }}, \ ab = {\ sqrt {M-2N}} \.}

Lösen nach und man bekommt die Halbachsen : ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ a = {\ frac {1} {2}} ({\ sqrt {M + 2N}} + {\ sqrt {M-2N}}) \, \ qquad b = {\ frac {1} { 2}} ({\ sqrt {M + 2N}} - {\ sqrt {M-2N}}) \,}$

mit . ${\ displaystyle \ qquad M = {\ vec {SC}} ^ {2} + {\ frac {1} {3}} {\ vec {AB}} ^ {2} \, \ quad N = {\ frac { 1} {\ sqrt {3}}} | \ det ({\ vec {SC}}, {\ vec {AB}}) | \ qquad}$