Summe der Winkel eines Dreiecks - Sum of angles of a triangle
In einem euklidischen Raum entspricht die Summe der Winkel eines Dreiecks dem geraden Winkel (180 Grad , π Radiant , zwei rechte Winkel oder eine halbe Umdrehung ). Ein Dreieck hat drei Winkel, einen an jedem Scheitelpunkt , der von zwei benachbarten Seiten begrenzt wird .
Es war lange Zeit unbekannt, ob andere Geometrien existieren, für die diese Summe unterschiedlich ist. Der Einfluss dieses Problems auf die Mathematik war im 19. Jahrhundert besonders stark. Letztendlich hat sich die Antwort als positiv erwiesen: In anderen Räumen (Geometrien) kann diese Summe größer oder kleiner sein, muss dann aber vom Dreieck abhängen. Der Unterschied zu 180 ° ist ein Fall von Winkelfehlern und dient als wichtige Unterscheidung für geometrische Systeme.
Fälle
Euklidische Geometrie
In der euklidischen Geometrie besagt das Dreieckspostulat, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks zwei rechte Winkel beträgt . Dieses Postulat entspricht dem parallelen Postulat . In Gegenwart der anderen Axiome der euklidischen Geometrie sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- Dreieckspostulat : Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt zwei rechte Winkel.
- Axiom von Playfair : Bei einer geraden Linie und einem Punkt, der nicht auf der Linie liegt, kann genau eine gerade Linie durch den Punkt parallel zur gegebenen Linie gezogen werden.
- Proclus 'Axiom : Wenn eine Linie eine von zwei parallelen Linien schneidet, muss sie auch die andere schneiden.
- Äquidistanzpostulat : Parallele Linien sind überall äquidistant (dh der Abstand von jedem Punkt auf einer Linie zur anderen Linie ist immer gleich.)
- Dreiecksflächeneigenschaft : Die Fläche eines Dreiecks kann beliebig groß sein.
- Drei-Punkte-Eigenschaft : Drei Punkte liegen entweder auf einer Linie oder auf einem Kreis .
- Satz von Pythagoras : In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten.
Hyperbolische Geometrie
Die Summe der Winkel eines hyperbolischen Dreiecks beträgt weniger als 180 °. Der Zusammenhang zwischen Winkeldefekt und Dreiecksfläche wurde erstmals von Johann Heinrich Lambert nachgewiesen .
Man kann leicht sehen, wie die hyperbolische Geometrie das Axiom von Playfair bricht, das Axiom von Proclus (die Parallelität, definiert als Nichtschnitt, ist in einer hyperbolischen Ebene intransitiv), das Postulat der Äquidistanz (die Punkte auf einer Seite einer bestimmten Linie und die Äquidistanz von einer bestimmten Linie) bilden keine Linie) und den Satz von Pythagoras. Ein Kreis kann keine beliebig kleine Krümmung haben , daher schlägt auch die Drei-Punkte-Eigenschaft fehl.
Die Summe der Winkel kann beliebig klein (aber positiv) sein. Für ein ideales Dreieck , eine Verallgemeinerung von hyperbolischen Dreiecken, ist diese Summe gleich Null.
Sphärische Geometrie
Bei einem sphärischen Dreieck ist die Summe der Winkel größer als 180 ° und kann bis zu 540 ° betragen. Insbesondere ist die Summe der Winkel
- 180 ° × (1 + 4 f ),
Dabei ist f der Bruchteil der Kugelfläche, der vom Dreieck umschlossen ist.
Beachten Sie, dass die sphärische Geometrie einige der Axiome von Euklid (einschließlich des parallelen Postulats ) nicht erfüllt .
Außenwinkel
Winkel zwischen benachbarten Seiten eines Dreiecks werden als Innenwinkel im euklidischen und anderen Geometrien. Es können auch Außenwinkel definiert werden, und das Postulat des euklidischen Dreiecks kann als Satz des Außenwinkels formuliert werden . Man kann auch die Summe aller drei Außenwinkel berücksichtigen, die im euklidischen Fall (wie bei jedem konvexen Polygon ) 360 ° entspricht, im sphärischen Fall weniger als 360 ° und im hyperbolischen Fall mehr als 360 ° beträgt.
In Differentialgeometrie
In der Differentialgeometrie von Flächen wird die Frage nach dem Winkeldefekt eines Dreiecks als Sonderfall des Gauß-Bonnet-Theorems verstanden, bei dem die Krümmung einer geschlossenen Kurve keine Funktion ist, sondern ein Maß mit der Unterstützung in genau drei Punkten - Eckpunkten eines Dreiecks.
Siehe auch
- Euklids Elemente
- Grundlagen der Geometrie
- Hilberts Axiome
- Saccheri viereckig (von Omar Khayyám früher als Saccheri betrachtet )
- Lambert Viereck
Verweise
-
^ a b Eric W. Weisstein (2003). CRC prägnante Enzyklopädie der Mathematik (2. Aufl.). p. 2147. ISBN
1-58488-347-2 .
Das parallele Postulat entspricht dem Äquidistanzpostulat , dem Playfair-Axiom , dem Proclus-Axiom , dem Dreieckspostulat und dem Satz von Pythagoras .
- ^ Keith J. Devlin (2000). Die Sprache der Mathematik: Das Unsichtbare sichtbar machen . Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3 .
- ^ Im Wesentlichen die Transitivität der Parallelität.
-
^ Ratcliffe, John (2006), Grundlagen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten , Graduate Texts in Mathematics, 149 , Springer, p. 99, ISBN 9780387331973 ,
Dass die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks Defekts ersten in Lamberts Monographie erschienen sein Winkel proportional ist Theorie der Parallellinien , die nach seinem Tod im Jahre 1786 veröffentlicht wurde.
- ^ Definiert als Punktmenge im festen Abstand von der Mitte.
- ^ Im differentiell-geometrischen Sinne definiert.
- ^ Aus der Definition eines Außenwinkels summiert sich seine Summe mit den Innenwinkeln zum geraden Winkel. Die Summe von drei Außenwinkeln, die zu der Summe von drei Innenwinkeln addiert wird, ergibt also immer drei gerade Winkel.