Quadratur der Parabel -Quadrature of the Parabola

Ein parabolisches Segment.

Quadratur der Parabel ( griechisch : Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) ist eine Abhandlung über Geometrie , geschrieben von Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. und an seinen alexandrinischen Bekannten Dositheus gerichtet. Es enthält 24 Sätze über Parabeln , die in zwei Beweisen gipfeln, die zeigen, dass die Fläche eines Parabelsegments (der von einer Parabel und einer Linie eingeschlossene Bereich ) 4/3der Flächeeines bestimmten eingeschriebenen Dreiecks beträgt.

Es ist eines der bekanntesten Werke von Archimedes, insbesondere der zweite Teil wegen seiner genialen Anwendung der Erschöpfungsmethode . Archimedes hat die Fläche möglicherweise in unendlich viele Dreiecke zerlegt, deren Flächen eine geometrische Folge bilden . Er berechnet dann die Summe der resultierenden geometrischen Reihe und beweist, dass dies die Fläche des Parabelsegments ist. Dies stellt die anspruchsvollste Verwendung eines ad absurdum Argument in antiker griechischen Mathematik und Archimedes Lösung blieb , bis die Entwicklung von unübertroffener Integralrechnung im 17. Jahrhundert, durch gelungen ist Cavalieri Quadraturformel .

Hauptsatz

Ein parabolisches Segment ist der Bereich, der von einer Parabel und einer Linie begrenzt wird. Um die Fläche eines parabolischen Segments zu bestimmen, betrachtet Archimedes ein bestimmtes eingeschriebenes Dreieck. Die Basis dieses Dreiecks ist die gegebene Sehne der Parabel, und der dritte Scheitelpunkt ist der Punkt auf der Parabel, so dass die Tangente an die Parabel an diesem Punkt parallel zur Sehne ist. Satz 1 der Arbeit besagt, dass eine parallel zur Achse gezogene Linie vom dritten Scheitelpunkt die Sehne in gleiche Segmente teilt. Der Hauptsatz behauptet, dass die Fläche des parabolischen Segments 4/3 der des eingeschriebenen Dreiecks beträgt.

Aufbau des Textes

Der erste Beweis von Archimedes verwendet das Prinzip des Hebels, um die Fläche eines Parabelsegments zu bestimmen.

Kegelschnitte wie die Parabel waren bereits zu Archimedes Zeiten durch Menaechmus ein Jahrhundert zuvor bekannt. Vor dem Aufkommen der Differential- und Integralrechnung gab es jedoch keine einfachen Mittel, um die Fläche eines Kegelschnitts zu bestimmen. Archimedes bietet die erste nachgewiesene Lösung für dieses Problem, indem er sich speziell auf den Bereich konzentriert, der von einer Parabel und einem Akkord begrenzt wird.

Archimedes gibt zwei Beweise des Hauptsatzes: einen mit abstrakter Mechanik und den anderen mit reiner Geometrie. Im ersten Beweis betrachtet Archimedes einen Hebel im Gleichgewicht unter der Wirkung der Schwerkraft, mit gewichteten Segmenten einer Parabel und einem Dreieck, die entlang der Arme eines Hebels in bestimmten Abständen vom Drehpunkt aufgehängt sind . Wenn der Schwerpunkt des Dreiecks bekannt ist, ergibt das Gleichgewicht des Hebels die Fläche der Parabel bezogen auf die Fläche des Dreiecks mit gleicher Basis und gleicher Höhe. Archimedes weicht hier von der Vorgehensweise in On the Equilibrium of Planes dadurch ab, dass er die Schwerpunkte auf einer Ebene unterhalb der Waage hat. Der zweite und berühmtere Beweis verwendet reine Geometrie, insbesondere die Methode der Erschöpfung .

Von den vierundzwanzig Sätze sind die ersten drei ohne Beweis zitiert nach Euklid ‚s Elemente Conics (eine verlorene Arbeit von Euklid auf Kegelschnitte ). Die Sätze 4 und 5 legen elementare Eigenschaften der Parabel fest. Sätze 6-17 geben den mechanischen Beweis des Hauptsatzes; Die Sätze 18-24 liefern den geometrischen Beweis.

Geometrischer Nachweis

Der zweite Beweis von Archimedes zerlegt das Parabelsegment in eine beliebige Anzahl von Dreiecken.

Präparation des Parabelsegments

Die Hauptidee des Beweises ist die Zerlegung des parabolischen Segments in unendlich viele Dreiecke, wie in der Abbildung rechts gezeigt. Jedes dieser Dreiecke ist in ein eigenes parabolisches Segment eingeschrieben, genauso wie das blaue Dreieck in das große Segment eingeschrieben ist.

Flächen der Dreiecke

In den Sätzen achtzehn bis einundzwanzig beweist Archimedes, dass die Fläche jedes grünen Dreiecks ein Achtel der Fläche des blauen Dreiecks beträgt. Das liegt aus moderner Sicht daran, dass das grüne Dreieck die halbe Breite und ein Viertel der Höhe hat:

Als Erweiterung hat jedes der gelben Dreiecke ein Achtel der Fläche eines grünen Dreiecks, jedes der roten Dreiecke hat ein Achtel der Fläche eines gelben Dreiecks und so weiter. Mit der Erschöpfungsmethode folgt, dass die Gesamtfläche des Parabelsegments gegeben ist durch

${\displaystyle {\text{Fläche}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .}$

Hier steht T für die Fläche des großen blauen Dreiecks, der zweite Term für die Gesamtfläche der beiden grünen Dreiecke, der dritte Term für die Gesamtfläche der vier gelben Dreiecke und so weiter. Dies vereinfacht das Geben

${\displaystyle {\text{Bereich}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\ ,+\,{\frac{1}{64}}\,+\,\cdots\right)T.}$

Summe der Reihe

Der Beweis von Archimedes, dass 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

Um den Beweis zu vervollständigen, zeigt Archimedes, dass

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\ ,+\,\cdots\;=\;{\frac {4}{3}}.}$

Die obige Formel ist eine geometrische Reihe – jeder nachfolgende Term ist ein Viertel des vorherigen Termes. In der modernen Mathematik ist diese Formel ein Sonderfall der Summenformel für eine geometrische Reihe .

Archimedes wertet die Summe mit einer rein geometrischen Methode aus, die im nebenstehenden Bild dargestellt ist. Dieses Bild zeigt ein Einheitsquadrat, das in unendlich viele kleinere Quadrate zerlegt wurde. Jedes aufeinanderfolgende violette Quadrat hat ein Viertel der Fläche des vorherigen Quadrats, wobei die gesamte violette Fläche die Summe ist

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .}$

Die violetten Quadrate sind jedoch mit beiden gelben Quadraten deckungsgleich und bedecken 1/3 der Fläche des Einheitsquadrats. Daraus folgt, dass die obige Reihe 4/3 ergibt (da 1+1/3 = 4/3).

Siehe auch

• Geschichte der Infinitesimalrechnung

Anmerkungen

Weiterlesen

• Ajose, Sunday und Roger Nelsen (Juni 1994). „Beweis ohne Worte: Geometrische Reihe“. Mathematik-Magazin . 67 (3): 230. doi : 10.2307/2690617 . JSTOR  2690617 .
• Ancora, Luciano (2014). "Quadratur der Parabel mit der quadratischen Pyramidenzahl" . Archimede . 66 (3).
• Bressoud, David M. (2006). Ein radikaler Ansatz zur realen Analyse (2. Aufl.). Mathematische Vereinigung von Amerika . ISBN 0-88385-747-2..
• Dijksterhuis, EJ (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN  0-691-08421-1
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• Swain, Gordon und Thomas Dence (April 1998). "Archimedes' Quadratur der Parabel Revisited". Mathematik-Magazin . 71 (2): 123–30. doi : 10.2307/2691014 . JSTOR  2691014 .
• Wilson, Alistair Macintosh (1995). Das Unendliche im Endlichen . Oxford University Press . ISBN 0-19-853950-9..

Externe Links

• Kasselmann, Bill. "Archimedes Quadratur der Parabel" . Volltext, übersetzt von TL Heath.
• Fakultät für Mathematik und Informatik der Xavier University . "Archimedes von Syrakus" . Text der Sätze 1–3 und 20–24, mit Kommentar.
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus